數是隨著客觀實際與社會實踐的需要而不斷擴充的．
從有理數到無理數，經歷過漫長曲折的過程，是一個巨大的飛躍，由于引入無理數后，數域就由有理數域擴充到實數域，這樣，實數與數軸上的點就建立了一一對應的關系．
由于引入開方運算，完善了代數的運算．平方根、立方根的概念和性質，是學習二次根式、一元二次方程等知識的基礎．平方根、立方根是最簡單的方根，建立概念的方法，以及它們的性質是進一步學習偶次方根、奇次方根的基礎．
有理數和無理數統稱為實數，實數有下列重要性質：
1．有理數都可以寫成有限小數或循環小數的形式，都可以表示成分數 的形式；無理數是無限不循環小數，不能寫成分數 的形式，這里 、 是互質的整數，且 ．
2．有理數對加、減、乘、除是封閉的，即任何兩個有理數的和、差、積、商還是有理數；無理數對四則運算不具有封閉性，即兩個無理數的和、差、積、商不一定是無理數．
例題求解
【例1】若a、b滿足 3=7，則S＝ 的取值范圍是 ．
(全國初中數學聯賽試題)
思路點撥 運用 、 的非負性，建立關于S的不等式組．
注： 古希臘的畢達哥拉斯學派認為，宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比．但是該學派的成員希伯索斯發現邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數，也不是整數的比所能表示，這嚴重地沖擊了當時希臘人的傳統見解，這一事件在數學史上稱為第一次數學危機．希伯索斯的發現沒有被畢達哥拉斯學派的信徒所接受，相傳畢氏學派就因這一發現而把希伯索斯投入海中處死．
【例2】 設 是一個無理數，且a、b滿足ab－a－b+1=0，則b是一個( )
A．小于0的 有理數 B．大于0的有理數 C．小于0的無理數 D．大于0的無理數
(武漢市選拔賽試題)
思路點撥 對等式進行恰當的變形，建立a或b的關系式．
【例3】已知a 、b是有理數，且 ，求a、b的值．
思路點拔 把原等式整理成有理數與無理數兩部分，運 用實數的性質建立關于a、b的方程組．
【例4】(1) 已知a、b為有理數，x，y分別表示 的整數部分和小數部分，且滿足axy+by2＝1，求a+b的值． (南昌市競賽題)
(2)設x為一實數，表示不大于x的最大整數，求滿足=x+1的整數x的值．(江蘇省競賽題)
思路點撥 (1)運用估算的方法，先確 定x，y的值，再代入xy+by2＝1中求出a、b的值；(2)運用的性質，簡化方程．
注： 設x為一實數，則表示不大于x的最大整數，]又叫做實數x的整數部分，有以下基本性質：
(1)x－1<≤x (2)若y< x，則≤ (3)若x為實數，a為整數，則= + a．
【例5】 已知在等式 中，a、b、c、d都是有理數，x是無理數，解答：
(1)當a、b、c、d滿足什么條件時，s是有理數；
(2) 當a、b、c、d滿足什么條件時，s是無理數．
( “希望杯” 邀請賽試題)
思路點撥 (1)把s用只含a、b、c、d的代數式表示；(2)從以下基本性質思考：
設a 是有理數，r是無理數，那么①a+r是無理數；②若a ≠0，則a r也是無理數；③
r的倒數 也是無理數，解本例的關鍵之一還需運用分式的性質，對a、b、c、d取值進 行詳細討論．
注：要證一個數是有理數，常證這個數能表示威幾十有理數的和，差，積、商的形式；要證一個數是無理數，常用反證法，即假設這個數是有理數，設法推出矛盾．
學力訓練
1．已知x、y是實數， ，若 ，則a= ．
(2002年個數的平方根是 和 ，那么這個數是 ．
3．方程 的解是 ．
4．請你觀察思考下列計算過 程：∵112＝121，∴ ；同樣∵1112=12321，∴ ；…由此猜想 ．
(濟南市中考題)
5．如圖，數軸上表示1、 的對應點分別為A、B，點B關于點A的對稱點為C，則點C所表示的數是( )
A． B． C． D．
(江西省中考題)
6．已知x是實數， 則 的值是( )
A． B． C． D．無法確定的
( “希望杯”邀請賽試題)
7．代數式 的最小值是( )
A．0 B． C．1 D．不存在的
( “希望杯”邀請賽試題)
8．若實數a、b滿足 ，求2b+a－1的值．
(山西省中考題)
9．細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答問題．
， ； ， ； ， ；…
(1)請用含有n(n是正整數)的等式表示上述變化規律；
(2)推算出OA10的長；
(3)求出Sl2+S22+S32+…+S210的值． (煙臺市中考題)
10．已知實數 a、b、c滿足 ，則a(b+c)= ．
11．設x、y都是有理數，且滿足方程 ，那么x－y的值是 ．
( “希望杯’邀請賽試題)
12．設a是一個無理數，且a、b滿足ab+a－b＝1，則b= ．
(四川省競賽題)
13．已知正數a、b有下列命題：
①若a=1，b＝1，則 ； ②若 ，則 ；
③若a＝2，b=3，則 ； ④若a=1，b=5，則 ．
根據以上幾個命題所提供的信息，請猜想，若a=6，b=7，則 ．
(黃 岡市競賽題)
14．已知： ，那么代數式 的值為( )
A． B． C． D．
(重慶市競賽題)
15．設表示最接近x的整數(x≠n+0.5，n為整數) ， 則+++…+的值為( )
A．5151 B．5150 C．5050 D．5049
( “五羊杯”邀請賽試題)
16．設a
(全國初中數學競賽題)
17．若a、b、c為兩兩不等的有理數，求證： 為有理數．
18．某人用一架不等臂天平稱一鐵塊a的質量，當把鐵塊放在天平左盤中時，稱得它的質量為300克，當把鐵塊放在天平的右盤中時，稱得它的質量為900克，求這一鐵塊的實際質量．
(安徽省中考題)．
19．閱讀下面，并解答下列問題：
在形如ab=N的式于中，我們已經研究過兩種情況：
①已知a和b，求N，這是乘方運算，②已知b和N，求a，這是開方運算．
現在我們研究第三種情況；已知a和N，求b，我們把這種運算叫做對數運算．
定義：如果ab=N (a>0，a≠1，N>0)，則b叫做以a為底的N的對數，記作b=logaN．
例如：因為23=8，所以log28=3；因為2-3= ，所以log2 =－3．
(1)根據定義計算:
①log3 81= ；②log33= ；③log3l= ；④如果logx 16=4，那么x= ．
(2)設ax=M，ay＝N，則logaM=x；logaN＝y(a>0，a≠1，N>0，M，N均為正數)．
用logAM，logAN的代數式分別表示logaMN及loga ，并說明理由．
(泰州市中考題)
20．設 ，a、b、c、d都是有理數，x是無理數．求證：
(1)當bc=ad時，y是有理數；
(2)當bc≠ad時，y是無理數．
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