2018年山東省濟南市高新區中考數學一模試卷
　
一、選擇題（本大題共12小題，每小題4分，共48分）
1．（4分）?3的相反數是（　�。�
A．?3 B．3 C．  D．
2．（4分）隨著高鐵的發展，預計2020年濟南西客站客流量將達到2150萬人，數字2150用科學 記數法表示為（　�。�
A．0.215×104 B．2.15×103 C．2.15×104 D．21.5×102
3．（4分）下列圖形中，中心對稱圖形的是（　�。�
A．  B．  C．  D．
4．（4分）下列計算正確的是（　�。�
A．a6÷a3=a3 B．（a2）3=a8 C．（a?b）2=a2?b2 D．a2+a2=a4
5．（4分）如圖，直線AB∥CD，AF交CD于點E，∠CEF=140°，則∠A等于（　�。�
 
A．35° B．40° C．45° D．50°
6．（4分）化簡 ÷ 的結果是（　�。�
A．  B．  C．  D．2（x+1）
7．（4分）為了迎接體育中考，體育委員到體育用品商店購買排球和實心球，若購買2個排球和3個實心球共需95元，若購買5個排球和7個實心球共需230元 ，若設每個排球x元，每個實心球y元，則根據題意列二元一次方程組得（　　）
A．  B．
C．  D．
8．（4分）如圖，直徑為10的⊙A上經過點C（0，5）和點0（0，0），B是y軸右側⊙A優弧上一點，則∠OBC的余弦值為（　�。�
 
A．  B．  C．  D．
9．（4分）如圖，矩形ABOC的頂點A的坐標為（?4，5），D是OB的中點，E是OC上的一點，當△ADE的周長最小時，點E的坐標是（　　）
 
A．（0， ） B．（0， ） C．（0，2） D．（0， ）
10．（4分）一次函數y=ax+b與反比例函數y= ，其中ab＜0，a、b為常數，它們在同一坐標系中的圖象可以是（　　）
A．  B．  C．  D．
11．（4分）如圖，在▱ABCD中，AC，BD相交于點O，點E是OA的中點，連接BE并延長AD于點F，已知S△AEF=4，則下列結論中不正確的是（　�。�
 
A．  B．S△BCE=36 C．S△ABE=12 D．△AFE∽△ACD
12．（4分）如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（?1，0），與y軸的交點B在（0，?2）和（0，?1）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1，（1）abc＞0；（2）4a+2b+c＞0；（3）4ac?b2＜16a；（4） ＜a＜ ；（5）b＜c，其中正確的結論有（　�。�
 
A．（2）（3）（4）（5） B．（1）（3）（4）（5） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（5）
　
二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）
13．（4分）因式分解：xy2?4x=　   �。�
14．（4分）關于x的一元二次方程（k?1）x2+6x+k2?k=0的一個根是0，則k的值是　   �。�
15．（4分）在一個不透明的袋子中，裝有大小，形狀，質地都相同，但顏色不同的紅球3個，黃球2個，白球若干個，從袋子中隨機摸出一個小球是黃球的概率是 ，則袋子中白色小球有　   　個；
16．（4分）如圖，矩形ABCD的邊AB=1，BE平分∠ABC，交AD于點E，AD=2AB，以點B為圓心，BE為半徑畫弧，交BC于點F，則圖中陰影部分的面積是　   �。�
 
17．（4分）如圖，菱形OABC的一邊OA在x軸的負半軸上，O是坐標原點，tan∠AOC= ，反比例函數y=? 的圖象經過點C，與AB交與點D，則△COD的面積的值等于　   �。�
 
18．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y= 與x軸交于點B1，以OB1為邊 長作等邊三角形A1OB1，過點A1作A1B2平行于x軸，交直線l于點B2，以A1B2為邊長作等邊三角形A2A1B2，過點A2作A2B3平行于x軸，交直線l于點B3，以A2B3為邊長作等邊三角形A3A2B3，…，則點A2018的橫坐標是　   　．
 
　
三、解答題（本題共78分，第19～21題，每小題5分，第22～23題，每小題5分，第24～25題，每小題5分，第26～27題，每小題5分，解答應寫出文字說明，驗算步驟或證明過程．）
19．（5分）計算： ?|?2|+（ ）?1?2cos45°
20．（6分）解不等式組： ，并把解集在數軸上表示出來．
21．（6分）如圖，矩形ABCD中，過對角線BD中點O的直線分別交AB，CD邊于點E，F．求證：四邊形BEDF是平行四邊形．
 
22．（8分）濟南在創建全國文明城市的進程中，高新區為美化城市環境，計劃種植樹木30000棵，由于志愿者的加入，實際每天植樹比原計劃多20%．結果提前10天完成任務，求原計劃每天植樹多少棵．
23．（10分）濟南某中學在參加“創文明城，點贊泉城”書畫比賽中，楊老師從全校30個班中隨機抽取了4個班（用A，B，C，D表示），對征集到的作鼎的數量進行了分析統計，制作了兩幅不完整的統計圖．
 
請根據以上信息，回答下列問題：
（l）楊老師采用的調查方式是　   　（填“普查”或“抽樣調查”）；
（2）請補充完整條形統計圖，并計算扇形統計圖中C班作品數量所對應的圓心角度數　   �。�
（3）請估計全校共征集作品的什數．
（4）如果全枝征集的作品中有5件獲得一等獎，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，現要在獲得一樣等獎的作者中選取兩人參加表彰座談會，請你用列表或樹狀圖的方法，求恰好 選取的兩名學生性別相同的概率．
24．（9分）某款籃球架的示意圖如圖所示，已知底座BC=0.60米，底座BC與支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的長為2米，籃板頂端F點到籃框點D的距離FD=1.35米，籃板底部支架HE與支架AF所成的角∠FHE=60°，求籃框D到地面的距離（精確到0.1米）．（參考數據：cos75°≈0.26，sin75°≈0.97，tan75°≈3.73， ≈1.73， ≈1.41）
 
25．（10分）如圖，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，雙曲線 （k＞0）與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F．
（1）若E是AB的中點，求F點的坐標；
（2）若將△BEF沿直線EF對折，B點落在x軸上的D點，作EG⊥OC，垂足為G，證明△EGD∽△DCF，并求k的值．
 
26．（12分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D在射線BC上（與B、C兩點不重合），以AD為邊作正方形ADEF，使點E與點B在直線AD的異側，射線BA與直線CF相交于點G．
（1）若點D在線段BC上，如圖（1），判斷：線段BC與線段CG的數量關系：　   　，位置關系：　   �。�
（2）如圖（2），①若點D在線段BC的延長線上，（1）中判斷線段BC與線段CG的數量關系與位置關系是否仍然成立，并說明理由；
②當G為CF中點，連接GE，若AB= ，求線段GE的長．
 
27． （12分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a＜0，a、b、c為常數）與x軸交于A、C兩點，與y軸交于B點，A（?6，0），C（1，0），B（0， ）．
（1）求該拋物線的函數關系式與直線AB的函數關系式；
（2）已知點M（m，0）是線段OA上的一個動點，過點M作x軸的垂線l，分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點，當m為何值時，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形？
（3）在（2）問條件下，當△BDE恰妤是以DE為底邊的等腰二角形時，動點M相應位置記為點M′，將OM′繞原點O順時針旋轉得到ON（旋轉角在0°到90°之間）；
i：探究：線段OB上是否存在定點P（P不與O、B重合），無論ON如何旋轉， 始終保持不變，若存在，試求出P點坐標：若不存在，請說明理由；
ii：試求出此旋轉過程中，（NA+ NB）的最小值．
 
　
 

2018年山東省濟南市高新區中考數學一模試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（本大題共12小題，每小題4分，共48分）
1．（4分）?3的相反數是（　�。�
A．?3 B．3 C．  D．
【解答】解：?3的相反數是3．
故選：B．
　
2．（4分）隨著高鐵的發展，預計2020年濟南西客站客流量將達到2150萬人，數字2150用科學記數法表示為（　　）
A．0.215×104 B．2.15×103 C．2.15×104 D．21.5×102
【解答】解：2150=2.15×103，
故選：B．
　
3．（4分）下列圖形中，中心對稱圖形的是（　�。�
A．  B．  C．  D．
【解答】解：A、不是中心對稱圖形，不符合題意；
B、不是中心對稱圖形，不符合題意；
C、不是中心對稱圖形，不符合題意；
D、是中心對稱圖形，符合題意．
故選：D．
　
4．（4分）下列計算正確的是（　�。�
A．a6÷a3=a3 B．（a2）3=a8 C．（a?b）2=a2?b2 D．a2+a2=a4
【解答】解：A、a6÷a3=a3，故A選項正確；
B、（a2）3=a6，故B選項錯誤；
C、（a?b）2=a2?2ab+b2，故C選項錯誤；
D、a2+a2=2a2，故D選項錯誤．
故選：A．
　
5．（4分）如圖，直線AB∥CD，AF交CD于點E，∠C EF=140°，則∠A等于（　　）
 
A．35° B．40° C．45° D．50°
【解答】解：∵∠CEF=140°，
∴∠FED=180°?∠CEF=180°?140°=40°，
∵直線AB∥CD，
∴∠A=∠FED=40°．
故選：B．
　
6．（4分）化簡 ÷ 的結果是（　�。�
A．  B．  C．  D．2（x+1）
【解答】解：原式= •（x?1）= ，
故選：A．
　
7．（4分）為了迎接體育中考，體育委員到體育用品商店購買排球和實心球，若購買2個排球和3個實心球共需95元，若購買5個排球和7個實心球共需230 元，若設每個排球x元，每個實心球y元，則根據題意列二元一次方程組得（　�。�
A．  B．
C．  D．
【解答】解：設每個排球x元，每個實心球y元，
則根據題意列二元一次方程組得： ，
故選：B．
　
8．（4分）如圖，直徑為10的⊙A上經過點C（0，5）和點0（0，0），B是y軸右側⊙A優弧上一點，則∠OBC的余弦值為（　�。�
 
A．  B．  C．  D．
【解答】解：如圖，延長CA交⊙A與點D，連接OD， ，
∵同弧所對的圓周角相等，
∴∠OBC=∠ODC，
∵CD是⊙A的直徑，
∴∠COD=90°，
∴cos∠ODC= = = ，
∴cos∠OBC= ，
即∠OBC的余弦值為 ．
故選：C．
　
9．（4分）如圖，矩形ABOC的頂點A的坐標為（?4，5），D是OB的中點，E是OC上的一點，當△ADE的周長最小時，點E的坐標是（　�。�
 
A．（0， ） B．（0， ） C．（0，2） D．（0， ）
【解答】解：作A關于y軸的對稱點A′，連接A′D交y軸于E，
則此時，△ADE的周長最小，
∵四邊形ABOC是矩形，
∴AC∥OB，AC=OB，
∵A的坐標為（?4，5），
∴A′（4，5），B（?4，0），
∵D是OB的中點，
∴D（?2，0），
設直線DA′的解析式為y=kx+b ，
∴ ，
∴ ，
∴直線DA′的解析式為y= x+ ，
當x=0時，y= ，
∴E（0， ），
故選：B．
 
　
10．（4分）一次函數y=ax+b與反比例函數y= ，其中ab＜0，a、b為常數，它們在同一坐標系中的圖象可以是（　�。�
A．  B．  C．  D．
【解答】解：A、由一次函數圖象過一、三象限，得a＞0，交y軸負半軸，則b＜0，
滿足ab＜0，
∴a?b＞0，
∴反比例函數y= 的圖象過一、三象限，
所以此選項不正確；
B、由一次函數圖象過二、四象限，得a＜0，交y軸正半軸，則b＞0，
滿足ab＜0，
∴a?b＜0，
∴反比例函數y= 的圖象過二、四象限，
所以此選項不正確；
C、由一次函數圖象過一、三象限，得a＞0，交y軸負半軸，則b＜0，
滿足ab＜0，
∴a?b＞0，
∴反比例函數y= 的圖象過一、三象限，
所以此選項正確；
D、由一次函數圖象過二、四象限，得a＜0，交y軸負半軸，則b＜0，
滿足ab＞0，與已知相矛盾
所以此選項不正確；
故選：C．
　
11．（4分）如圖，在▱ABCD中，AC，BD相交于點O，點E是OA的中點，連接BE并延長AD于點F，已知S△AEF=4，則下列結論中不正確的是（　　）
 
A．  B．S△BCE=36 C．S△ABE=1 2 D．△AFE∽△ACD
【解答】解：∵在▱ABCD中，AO= AC，
∵點E是OA的中點，
∴AE= CE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴ = = ，
∵AD=BC，
∴AF= AD，
∴ = ；故選項A正確，不合題意；
∵S△AEF=4，  =（ ）2= ，
∴S△BCE=36；故選項B正確，不合題意；
∵ = = ，
∴ = ，
∴S△ABE=12，故選項C正確，不合題意；
∵BF不平行于CD，
∴△AEF與△ADC只有一個角相等，
∴△AEF與△ACD不一定相似，故選項D錯誤，符合題意．
故選：D．
 
　
12．（4分） 如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（?1，0），與y軸的交點B在（0，?2）和（0，?1）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1，（1）abc＞0；（2）4a+2b+c＞0；（3）4ac?b2＜16a；（4） ＜a＜ ；（5）b＜c，其中正確的結論有（　�。�
 
A．（2）（3）（4）（5） B．（1）（3）（4）（5） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（5）
【解答 】解：①∵函數開口方向向上，
∴a＞0；
∵對稱軸在y軸右側，
∴ab異號，
∵拋物線與y軸交點在y軸負半軸，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正確；
②∵圖象與x軸交于點A（?1，0），對稱軸為直線x=1，
∴圖象與x軸的另一個交點為（3，0），
∴當x=2時，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②錯誤；
③∵圖象與x軸交于點A（?1，0），
∴當x=?1時，y=（?1）2a+b×（?1）+c=0，
∴a?b+c=0，即a=b?c，c=b?a，
∵對稱軸為直線x=1
∴? =1，即b=?2a，
∴c=b?a=（?2a）?a=?3a，
∴4ac?b2=4•a•（?3a）?（?2a）2=?16a2＜0
∵16a＞0
∴4ac?b2＜16a
故③正確
④∵圖象與y軸的交點B在（0，?2）和（0，?1）之間，
∴?2＜c＜?1
∴?2＜?3a＜?1，
∴ ＜a＜ ；
故④正確
⑤∵a＞0，
∴b?c＞0，即b＞c；
故⑤錯誤；
故選：C．
　
二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）
13．（4分）因式分解：xy2?4x=　x（y+2）（y?2）�。�
【解答】解：xy2?4x，
=x（y2?4），
=x（y+2）（y?2）．
　
14．（4分）關于x的一元二次方程（k?1）x2+6x+k2?k=0的一個根是0，則k的值是　0�。�
【解答】解：由于關于x的一元二次方程（k?1）x2+6x+k2?k=0的一個根是0，
把x=0代入方程，得k2?k=0，
解得，k1=1，k2=0
當k=1時，由于二次項系數k?1=0，
方程（k?1）x2+6x+k2?k=0不是關于x的二次方程，故k≠1．
所以k的值是0．
故答案為：0
　
15．（4分）在一個不透明的袋子中，裝有大小，形狀，質地都相同，但顏色不同的紅球3個，黃球2個，白球若干個，從袋子中隨機摸出一個小球是黃球的概率是 ，則袋子中白色小球有　3　個；
【解答】解：設白球x個，由題意可得，
 = ，
解得：x=3．
故答案為：3．
　
16．（4分）如圖，矩形ABCD的邊AB=1，BE平分∠ABC，交AD于點E，AD=2AB，以點B為圓心，BE為半徑畫弧，交BC于點F，則圖中陰影部分的面積是　 ? 　．
 
【解答】解：∵矩形ABCD的邊AB=1，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBF=45°，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE=45°，
∴AB=AE=1，BE= ，
∵點E是AD的中點，
∴AE=ED=1，
∴圖中陰影部分的面積=S矩形ABCD?S△ABE?S扇形EBF
=1×2? ×1×1? = ? ．
故答案為： ? ．
　
17．（4分）如圖，菱形OABC的一邊OA在x軸的負半軸上，O是坐標原點，tan∠AOC= ，反比例函數y=? 的圖象經過點C，與AB交與點D，則△COD的面積的值等于　10��；
 
【解答】解：作DE∥AO，CF⊥AO，設CF=4x，
 
∵四邊形OABC為菱形，
∴AB∥CO，AO∥BC，
∵DE∥AO，
∴S△ADO=S△DEO，
同理S△BCD=S△CDE，
∵S菱形ABCO=S△ADO+S△DEO+S△BCD+S△CDE，
∴S菱形ABCO=2（S△DEO+S△CDE）=2S△CDO，
∵tan∠AOC= ，
∴OF=3x，
∴OC=5x，
∴OA=OC=5x，
∵S菱形ABCO=AO•CF=20x2，
∵C（?3x，4x），
∴ ×3x×4x=6，
∴x2=1，
∴S菱形ABCO=20，
∴△COD的面積=10，
故答案為10．
　
18．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，直線l：y= 與x軸交于點B1，以OB1為邊長作等邊三角形A1OB1，過點A1作A1B2平行于x軸，交直線l于點B2，以A1B2為邊長作等邊三角形A2A1B2，過點A2作A2B3平行于x軸，交直線l于點B3，以A2B3為邊長作等邊三角形A3A2B3，…，則點A2018的橫坐標是　 �。�
 
【解答】解：由直線l：y= x? 與x軸交于點B1，可得B1（1，0），D（0，? ），
∴OB1=1，∠OB1D=30°，
如圖所示，過A1作A1A⊥OB1于A，則OA= OB1= ，
即A1的橫坐標為 = ，
由題可得∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，
∴∠A1B1B2=90°，
∴A1B2=2A1B1=2，
過A2作A2B⊥A1B2于B，則A1B= A1B2=1，
即A2的橫坐標為 +1= = ，
過A3作A3C⊥A2B3于C，
同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C= A2B3=2，
即A3的橫坐標為 +1+2= = ，
同理可得，A4的橫坐標為 +1+2+4= = ，
由此可得，An的橫坐標為 ，
∴點A2018的橫坐標是 ，
故答案為： ．
 
　
三、解答題（本題共78分，第19～21題，每小題5分，第22～23題，每小題5分，第24～25題，每小題5分，第26～27題，每小題5分，解答應寫出文字說明，驗算步驟或證明過程．）
19．（5分）計算： ?|?2|+（ ）?1?2cos45°
【解答】解：原式=2 ?2+3?2×
=2 +1?
= +1．
　
20．（6分）解不等式組： ，并把解集在數軸上表示出來．
【解答】解： ，
由①得，x＞?2；
由②得，x≥ ，
故此不等式組的解集為：x≥ ．
在數軸上表示為： ．
　
21．（6分）如圖，矩形ABCD中，過對角線BD中點O的直線分別交AB，CD邊于點E，F．求證：四邊形BEDF是平行四邊形．
 
【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
 ，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四邊形BEDF是平行四邊形；
　
22．（8分）濟南在創建全國文明城市的進程中，高新區為美化城市環境，計劃種植樹木30000棵，由于志愿者的加入，實際每天植樹比原計劃多20%．結果提前10天完成任務，求原計劃每天植樹多少棵．
【解答】解：設原計劃每天種樹x棵，則實際每天栽樹的棵數為（1+20%），
由題意得， ? =10，
解得：x=500，
經檢驗，x=500是原分式方程的解，且符合題意．
答：原計劃每天種樹500棵．
　
23．（10分）濟南某中學在參加“創文明城，點贊泉城”書畫比賽中，楊老師從全校30個班中隨機抽取了4個班（用A，B，C，D表示），對征集到的作鼎的數量進行了分析統計，制作了兩幅不完整的統計圖．
 
請根據以上信息，回答下列問題：
（l）楊老師采用的調查方式是　抽樣調查�。ㄌ睢捌詹椤被颉俺闃诱{查”）；
（2）請補充完整條形統計圖，并計算扇形統計圖中C班作品數量所對應的圓心角度數　150°�。�
（3）請估計全校共征集作品的什數．
（4）如果全枝征集的作品中有5件獲得一等獎， 其中有3名作者是男生，2名作者是女生，現要在獲得一樣等獎的作者中選取兩人參加表彰座談會，請你用列表或樹狀圖的方法，求恰好選取的兩名學生性別相同的概率．
【解答】解：（1）楊老師從全校30個班中隨機抽取了4個班，屬于抽樣調查．
故答案為：抽樣調查．

（2）所調查的4個班征集到的作品數為：6÷ =24件，
C班有24?（4+6+4）=10件，
補全條形圖如圖所示，
 
扇形統計圖中C班作品數量所對應的圓心角度數360°× =150°；
故答案為：150°；

（3）∵平均每個班 =6件，
∴估計全校共征集作品6×30=180件．

（4）畫樹狀圖得：
 
∵共有20種等可能的結果，兩名學生性別相同的有8種情況，
∴恰好選取的兩名學生性別相同的概率為 = ．
　
24．（9分）某款籃球架的示意圖如圖所示，已知底座BC=0.60米，底座BC與支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的長為2米，籃板頂端F點到籃框點D的距離FD=1.35米，籃板底部支架HE與支架AF所成的角∠FHE=60°，求籃框D到地面的距離（精確到0.1米）．（參考數據：cos75°≈0.26，sin75°≈0.97，tan75°≈3.73， ≈1.73， ≈1.41）
 
【解答】解：延長FE交CB的延長線于M，過A作AG⊥FM于G，
在Rt△ABC中，tan∠ACB= ，
則AB=BC•tan75°=0.6×3.73=2.24（m），
故GM=AB=2.24m，
在Rt△AGF中，
∵∠FAG=∠FHD=60°，
sin∠FAG= ，
∴sin60°= = ，
∴FG≈1.72m，
∴DM=FG+GM?DF≈2.6（m），
答：籃框D到地面的距離是2.6m．
 
　
25．（10分）如圖，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，雙曲線 （k＞0）與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F．
（1）若E是AB的中點，求F點的坐標；
（2）若將△BEF沿直線EF對折，B點落在x軸上的D點，作EG⊥OC，垂足為G，證明△EGD∽△DCF，并求k的值．
 
【解答】解：（1）∵點E是AB的中點，OA=2，AB=4，
∴點E的坐標為（2，2），
將點E的坐標代入y= ，可得k=4，
即反比例函數解析式為：y= ，
∵點F的橫坐標為4，
∴點F的縱坐標= =1，
故點F的坐標為（4，1）；

（2）由折疊的性質可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，
∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，
∴∠CDF=∠GED，
又∵∠EGD=∠DCF=90°，
∴△EGD∽△DCF，
結合圖形可設點E坐標為（ ，2），點F坐標為（4， ），
則C F= ，BF=DF=2? ，ED=BE=AB?AE=4? ，
在Rt△CDF中，CD= = = ，
∵ = ，即 = ，
∴ =1，
解得：k=3．
　
26．（12分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D在射線BC上（與B、C兩點不重合），以AD為邊作正方形ADEF，使點E與點B在直線AD的異側，射線BA與直線CF相交于點G．
（1）若點D在線段BC上，如圖（1），判斷：線段BC與線段CG的數量關系：　BC=CG　，位置關系：　BC⊥CG�。�
（2）如圖（2），①若點D在線段BC的延長線上，（1）中判斷線段BC與線段CG的數量關系與位置關系是否仍然成立，并說明理由；
②當G為CF中點，連接GE，若AB= ，求線段GE的長．
 
【解答】解：（1）BC=CG，BC⊥CG，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°?∠DAC，∠CAF=90°?∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
則在△BAD和△CAF中，
 ，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠B=45°，BD=CF，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
∴BC⊥CG，
同理△ADC≌△AFG，
∴CD=GF，
∴BD+CD=CF+GF，
即BC=CG，
故答案為：BC=CG，BC⊥CG；

（2）①仍然成立
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°?∠DAC，∠CAF=90°?∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
則在△BAD和△CAF中，
 ，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠B=45°，BD=CF，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
∴BC⊥CG，
同理△ADC≌△AFG，
∴CD=GF，
∴BD+CD=CF+GF，
即BC=CG，
②與①同理，可得BD=CF，BC=CG，BC⊥CG，
∵AB= ，G為CF中點，
∴BC=CG=FG=CD=2，
如圖（2），過點A作AM⊥BD于M，
∴AM=1，MD=3，
∴AD= ，
過點 E作EN⊥FG于N，
在△AMD與△FNE中， ，
∴△AMD≌△FNE，
∴FN=AM=1，
∴FG=2FN，
∴NE為FG的垂直平分線，
即GE=FE=AD= ．
 
　
27．（12分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a＜0，a、b、c為常數）與x軸交于A、C兩點，與y軸交于B點，A（?6，0），C（1，0），B（0， ）．
（1）求該拋物線的函數關系式與直線AB的函數關系式；
（2）已知點M（m，0）是線段OA上的一個動點，過點M作x軸的垂線l，分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點，當m為何值時，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形？
（3）在（2）問條件下，當△BDE恰妤是以DE為底邊的等腰二角形時，動點M相應位置記為點M′，將OM′繞原點O順時針旋轉得到ON（旋轉角在0°到90°之間）；
i：探究：線段OB上是否存在定點P（P不與O、B重合），無論ON如何旋轉， 始終保持不變，若存在，試求出P點坐標：若不存在，請說明理由；
ii：試求出此旋轉過程中，（NA+ NB）的最小值．
 
【解答】解：設拋物線解析式為y=a（x+6x）（x?1），（a≠0）．
將B（0， ）代入，得 =a（x+6）（x?1），
解得a=? ，
∴該拋物線解析式為y=? （x+6）（x?1）或y=? x2? x+ ．
設直線AB的解析式為y=kx+n（k≠0）．
將點A（?6，0），B（0， ）代入，得
 ，
解得 ，
則直線AB的解析式為：y= x+ ；

（2）∵點M（m，0），過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點，
∴D（m，  m+ ），當DE為底時，
如圖1，作BG⊥DE于G，則EG=GD= ED，GM=OB= ，
∵DM+DG=GM=OB，
∴ m+ + （? m2? m+ ? m? ）= ，
解得：m1=?4，m2=0（不合題意，舍去），
∴當m=?4時，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形；

（3）i：存在，如圖．
∵ON=OM′=4，OB= ，
∵∠NOP=∠BON，
∴當△NOP∽△BON時，  = = = ，
∴ 不變，
即OP= ON= ×4=3，
∴P（0，3）；

ii：∵N在以O為圓心，4為半徑的半圓上，由i知，  = = ，
∴NP= NB，
∴（NA+ NB）的最小值=NA+NP，
∴此時N，A，P三點共線，
∴（NA+ NB）的最小值= =3 ．

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