2018-2019學年廣東省廣州市越秀區XX中學九年級（上）期中數學試卷
一、選擇意（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（3分）觀察下列圖案，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（ �。�
A． B． C． D．
2．（3分）在平面直角坐標系中，點A（?3，1）與點B關于原點對稱，則點B的坐標為（ �。�
A．（?3，1） B．（?3，?1） C．（3，1） D．（3，?1）
3．（3分）一元二次方程x2?2x?7=0用配方法可變形為（ �。�
A．（x+1）2=8 B．（x+2）2=11 C．（x?1）2=8 D．（x?2）2=11
4．（3分）設x1，x2是一元二次方程x2?2x?3=0的兩根，則 =（ �。�
A．?2 B．2 C．3 D．?3
5．（3分）將拋物線y=?2x2向左平移3個單位，再向下平移4個單位，所得拋物線為（ �。�
A．y=?2（x?3）2?4 B．y=?2（x+3）2?4 C．y=?2（x?3）2+4 D．y=?2（x+3）2+4
6．（3分）若拋物線y=x2+2x+c與y軸交點為（0，?3），則下列說法不正確的是（ �。�
A．拋物線口向上
B．當x＞?1時，y隨x的增大而減小
C．對稱軸為x=?1
D．c的值為?3
7．（3分）設A（?2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y=?（x+1）2+2上的三點，則y1，y2，y3的大小關系為（ �。�
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
8．（3分）△ABC是等邊三角形，點P在△ABC內，PA=2，將△PAB繞點A逆時針旋轉得到△P1AC，則P1P的長等于（ �。�
A．2 B． C． D．1
9．（3分）在一次會議中，每兩人都握了一次手，共握手21次，設有x人參加會議，則可列方程為（ �。�
A．x（x+1）=21 B．x（x?1）=21 C． D．
10．（3分）已知二 次函數y=ax2+bx+c中，函數y與自變量x的部分對應值如下表：
x … ?2 ?1 0 1 2 …
y … 11 6 3 2 3 …
則當y＜6時，x的取值范圍是（ ）
A．?1＜x＜3 B．?3＜x＜3 C．x＜?1或x＞3 D．x＞3
二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）
11．（3分）若x =?2是一元二次方程x2+2x+a=0的一個根，那么a= ．
12．（3分）如圖所示，將一個含30°角的直角三角板ABC繞點A旋轉，使得點B，A，C′在同一條直線上，則三角板ABC旋轉的角度是 �。�
13．（3分）拋物線y= +5的頂點坐標是 �。�
14．（3分）關于x的一元二次方程kx2?x+1=0有實數根，則k的取值范圍是 �。�
15．（3分）一座石拱橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如圖所示的平面直角坐標系，其函數關系式為y=? ，當水面離橋拱頂的高度OC是4m時，水面的寬度AB為 m．
16．（3分）如圖，已知 Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D為AB邊的中點，∠EDF=90°，∠EDF繞D點旋轉，它的兩邊分別交AC、CB的延長線于E、F．下面結論一定成立的是 �。ㄌ钚蛱枺�
①CD= AB；②DE=DF；③S△DEF=2S△CEF；④S△DEF?S△CEF=S△ABC．
三、解答題（本大題共9小題，滿分102，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（10分）（1）x2?2x?8=0．
（2）（x?2）（x?5）+1=0．
18．（9分）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為（?1，1），B（?3，1），C（?1，4）．
（1）畫出△ABC繞點C順時針旋轉90°后得到的△A1B1C．
（2）畫出△ABC關于點P（1，0）對稱的△A2B2C2．
19．（9分）某購物網站今年8月份的銷售額為110萬元，10月份的銷售額達到133.1萬元，求該購物網站8月份到10月份銷售額的月平均增長率．
20．（10分）如圖，△BAD是由△BEC在平面內繞點B逆時針旋轉60°得到，且AB⊥BC，連接DE．
（1）∠DBE的度數．
（2）求證：△BDE≌△BCE．
21．（12分）已知關于x的一元二次方程x2?（k+1）x+ +1=0．
（1）若方程有兩個實數根，求k的取值范圍．
（2）若方程的兩根x1，x2是一個矩形兩鄰邊的長，矩形的面積為5，求k的值．
22．（12分）如圖，在一面靠墻的空地上用長為24 米的籬笆，圍成中間隔有二道籬笆的長方形花圃，設花圃的寬AB為x米，面積為S平方米．
（1）求S與x的函數關系式及自變量的取值范圍；
（2）當x取何值時所圍成的花圃面積最大，最大值是多少？
（3）若墻的最大可用長度為8米，則求圍成花圃的最大面積．
23．（12分）已知二次函數y=x2?2mx+m2?3（m是常數）．
（1）求證：不論m為何值，該函數的圖象與x軸都有兩個交點．
（2）當m的值改變時，該函數的圖象與x軸兩個交點之間的距離是否改變？若不變，請求出距離；若改變，請說明理由．
24．（14分）如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點C．A（1，1）、B（3，1）．動點P從O點出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動．過P點作PQ垂直于直線OA，垂足為Q，設P點移動的時間為t秒（0＜t＜4），△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．
（1）求經過O、A、B三點的拋物線解析式；
（2）求S與t的函數關系式；
（3）將△OPQ繞著點P順時針旋轉90°，是否存t，使得△OPQ的頂點O或Q在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．
25．（14分）如圖，已知直線y= x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，將△AOB繞點O順時針旋轉90°后得到△COD．
（1）點C的坐標是 ，線段AD的長等于 ．
（2）點M是CD的中點，拋物線y=x2+bx+c經過點C、M．
①求b和c的值．
②如果點E在y軸上，且位于點C的下方，點F在直線AC上，那么在拋物線y=x2+bx+c上是否存在點P，使得以C，E，F，P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出該菱形的周長l；若不存在，請說明理由．
2018-2019學年廣東省廣州市越秀區XX中學九年級（上）期中數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇意（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（3分）觀察下列圖案，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，不符合題意，故本選項錯誤；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意，故本選項錯誤；
C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意，故本選項正確；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意，故本選項錯誤．
故選C．
2．（3分）在平面直角坐標系中，點A（?3，1）與點B關于原點對稱，則點B的坐標為（ ）
A．（?3，1） B．（?3，?1） C．（3，1） D．（3，?1）
【解答】解：∵點A坐標為（?3，1），
∴點B的坐標為（3，?1）．
故選：D．
3．（3分）一元二次方程x2?2x?7=0用配方法可變形為（ �。�
A．（x+1）2=8 B．（x+2）2=11 C．（x?1）2=8 D．（x?2）2=11
【解答】解：一元二次方程x2?2x?7=0用配方法可變形為（x?1）2=8，
故選C
4．（3分）設x1，x2是一元二次方程x2?2x?3=0的兩根，則 =（ �。�
A．?2 B．2 C．3 D．?3
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2?2x?3=0的兩根，
∴x1+x2=2，x1•x2=?3，
∴ = = =?2，
故選A．
5．（3分）將拋物線 y=?2x2向左平移3個單位，再向下平移4個單位，所得拋物線為（ �。�
A．y=?2（x?3）2?4 B．y=?2（x+3）2?4 C．y=?2（x?3）2+4 D．y=?2（x+3）2+4
【解答】解：把拋物線y=?2x2先向左平移3個單位，再向下平移4個單位，所得的拋物線的解析式是y=?2（x+3）2?4，
故選B．
6．（3分）若拋物線y=x2+2x+c與y軸交點為（0，?3），則下列說法不正確的是（ ）
A．拋物線口向上
B．當x＞?1時，y隨x的增大而減小
C．對稱軸為x=?1
D．c的值為?3
【解答】解：
∵y=x2+2x+c與y軸交點為（0，?3），
∴c=?3，故D正確，不符合題意，
∴拋物線解析式為y=x2+2x?3=（x+1）2?4，
∴拋物線開口向上，對稱軸為x=?1，當x＞?1時，y隨x的增大而增大，故A、C正確，不符合題意，B不正確，
故選B．
7．（3分）設A（?2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y=?（x+1）2+2上的三點，則y1，y2，y3的大小關系為（ �。�
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【解答】解：
∵A（?2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y=?（x+1）2+2上的三點，
∴y1=?（?2+1）2+2=1，y2=?（1+1）2+2=?2，y3=?（2+1）2+2=?7，
∵1＞?2＞?7，
∴y1＞y2＞y3，
故選A．
8．（3分）△ABC是等邊三角形，點P在△ABC內，PA=2，將△PAB繞點A逆時針旋轉得到△P1AC，則P1P的長等于（ ）
A．2 B． C． D．1
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB，∠CAB=60°，
∵將△PAB繞點A逆時針旋轉得到△P1AC，
∴△CP1A≌△BPA，
∴AP1=AP，∠CAP1=∠BAP，
∴∠CAB=∠CAP+∠BAP=∠CAP+∠CAP1=60°，
即∠PAP1=60°，
∴△APP1是等邊三角形，
∴P1P=PA=2，
故選A．
9．（3分）在一次會議中，每兩人都握了一次手，共握手21次，設有x人參加會議，則可列方程為（ �。�
A．x（x+1）=21 B．x（x?1）=21 C． D．
【解答】解：設x人參加這次聚會，則每個人需握手：x?1（次）；
依題意，可列方程為： =21；
故選：D．
10．（3分）已知二次函數y=ax2+bx+c中，函數y與自變量x的部分對應值如下表：
x … ?2 ?1 0 1 2 …
y … 11 6 3 2 3 …
則當y＜6時，x的取值范圍是（ �。�
A．?1＜x＜3 B．?3＜x＜3 C．x＜?1或x＞3 D．x＞3
【解答】解：∵點（0，3）、（1，2）、（2，3）在二次函數y=ax2+bx+c上，
∴a＞0，二次函數圖象的對稱軸為直線x=1．
∵當x=?1時，y=6，
∴當x=3時，y=6．
∴當y＜6時，x的取值范圍為?1＜x＜3．
故選A．
二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）
11．（3分）若x=?2是一元二次方程x2+2x+a=0的一個根，那么a= 0 ．
【解答】解：把x=2代入x2+2x+a=0，得
（?2）2+2×（?2）+a=0，
解得a=0．
故答案為：0．
12．（3分）如圖所示，將一個含30°角的直角三角板ABC繞點A旋轉，使得點B，A，C′在同一條直線上，則三角板ABC旋轉的角度是 150°�。�
【解答】解：
∵直角三角板ABC繞點A旋轉，使得點B，A，C′在同一條直線上，
∴旋轉角是∠CAC′=180°?30°=150°．
故答案為：150°．
13．（3分）拋物線y= +5的頂點坐標是�。�1，5）�。�
【解答】解：二次函數y= +5的頂點坐標是（1，5）．
故答案為（1，5）．
14．（3分）關于x的一元二次方程kx2?x+1=0有實數根，則k的取值范圍是 k≤ 且k≠0�。�
【解答】解：∵關于x的一元二次方程kx2?x+1=0有實數根，
∴ ，
解得：k≤ 且k≠0．
故答案為：k≤ 且k≠0．
15．（3分）一座石拱橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如圖所示的平面直角坐標系，其函數關系式為y=? ，當水面離橋拱頂的高度OC是4m時，水面的寬度AB為 16 m．
【解答】 解：根據題意B的縱坐標為?4，
把y=?4代入y=? x2，
得x=±8，
∴A（?8，?4） ，B（8，?4），
∴AB=16m．
即水面寬度AB為16m．
故答案為：16．
16．（3分）如圖，已知 Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D為AB邊的中點，∠EDF=90°，∠EDF繞D點旋轉，它的兩邊分別交AC、CB的延長線于E、F．下面結論一定成立的是�、佗凇。ㄌ钚蛱枺�
①CD= AB；②DE=DF；③S△DEF=2S△CEF；④S△DEF?S△CEF=S△ABC．
【解答】解：連接CD，如圖，
∵∠C=90°，D為AB邊的中點，
∴CD=AD=DB，即CD= AB，所以①正確；
∵CA=CB，∠C=90°，
∴∠ABC=45°，CD⊥BD，
∴∠DCE=135°，∠DBF=135°，
∵∠EDF=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CDE和△BDF中
，
∴△CDE≌△BDF，
∴DE=DF，所以②正確；
∴△DEF我等腰直角三角形，
∴DE= EF，
∴S△DEF= DE2= EF2，
而EF2=CE2+CF2，
∴S△DEF= （CE2+CF2），
而S△CEF= CE•CF，
∴S△DEF?S△CEF= （CE2+CF2）? CE•CF= （CF?CE）2= （BC+BF?CE）2= BC2= S△ABC，所以③④錯誤．
故答案為①②．
三、解答題（本大題共9小題，滿分102，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（10分）（1）x2?2x?8=0．
（2）（x?2）（x?5）+1=0．
【解答】解：（1）（x?4）（x+2）=0，
x?4=0或x+2=0，
所以x1=4，x2=?2；
（2）x2?7x+11=0，
△=（?7）2?4×11=5，
x= ，
所以x1= ，x2= ．
18．（9分）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為（?1，1），B（?3，1），C（?1，4）．
（1）畫出△ABC繞點C順時針旋轉90°后得到的△A1B1C．
（2）畫出△ABC關于點P（1，0）對稱的△A2B2C2．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C即為所求；
（2）如圖，△A2B2C2即為所求．
19．（9分）某購物網站今年8月份 的銷售額為110萬元，10月份的銷售額達到133.1萬元，求該購物網站8月份到10月份銷售額的月平均增長率．
【解答】解：設該購物網站平均每年銷售額增長的百分率為x，
根據題意，得：110（1+x）2=133.1，
解得：x1=0.1=10%，x2=?2.1（不符合題意，舍去）．
答：該購物網站8月份到10月份銷售額的月平均增長率為10%．
20．（10分）如圖，△BAD是由△BEC在平面內繞點B逆時針旋轉60°得到，且AB⊥BC，連接DE．
（1）∠DBE的度數．
（2）求證：△BDE≌△BCE．
【解答】解：（1）∵△BAD是由△BEC在平面內繞點B旋轉60°而得，
∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠DBE=∠CBE=30°，
（2）證明：在△BDE和△BCE中，
∵ ，
∴△BDE≌△BCE（SAS）．
21．（12分）已知關于x的一元二次方程x2?（k+1）x+ +1=0．
（1）若方程有兩個實數根，求k的取值范圍．
（2）若方程的兩根x1，x2是一個矩形兩鄰邊的長，矩形的面積為5，求k的值．
【解答】解：（1）∵方程x2?（k+1）x+ +1=0有實數根，
∴△=[?（k+1）]2?4×1×（ k2+1）=2k?3≥0，
解得：k≥ ．
（2）根據題意得：x1x2= k2+1=5，
解得：k=±4，
∵k≥ ，
∴k=4．
22．（12分）如圖，在一面靠墻的空地上用長為24米的籬笆，圍成中間隔有二道籬笆的長方形花圃，設花圃的寬AB為x米，面積為S平方米．
（1）求S與x的函數關系式及自變量的取值范圍；
（2）當x取何值時所圍成的花圃面積最大，最大值是多少？
（3）若墻的最大可用長度為8米，則求圍成花圃的最大面積．
【解答】解：（1）∵AB=x米，
∴BC=（24?4x）米，
∴S=AB•BC=x（24?4x）=?4x2+24x（0＜x＜6）；
（2）S=?4x2+24x=?4（x?3）2+36，
∵0＜x＜6，
∴當x=3時，S有最大值為36平方米；
（3）∵ ，
∴4≤x＜6，
∴當x=4時，花圃的最大面積為32平方米．
23．（12分）已知二次函數y=x2?2mx+m2?3（m是常數）．
（1）求證：不論m為何值，該函數的圖象與x軸都有兩個交點．
（2）當m的值改變時，該函數的圖象與x軸兩個交點之間的距離是否改變？若不變，請求出距離；若改變，請說明理由．
【解答】（1）證明：y=x2?2mx+m2?3，
∵a=1，b=?2m，c=m2?3，
∴△=b2?4ac=4m2?4（m2?2）=8＞0，
∴函數的圖象與x軸有兩個公共點；
（2）解：設x2?2mx+m2?3=0的兩個根為x1、x2，
則x1+x2=2m，x1x2=m2 ?3，
∴|x1?x2|= = = = =2 ，
∴當m的值改變時，該函數的圖象與x軸兩個交點之間的距離不變，其距離為2 ．
24．（14分）如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點C．A（1，1）、B（3，1）．動點P從O點出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動．過P點作PQ垂直于直線OA，垂足為Q，設P點移動的時間為t秒（0＜t＜4），△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．
（1）求經過O、A、B三點的拋物線解析式；
（2）求S與t的函數關系式；
（3）將△OPQ繞著點P順時針旋轉90°，是否存t，使得△OPQ的頂點O或Q在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）解法一：由圖象可知：拋物線經過原點，
設拋物線解析式為y=ax2+bx（a≠0）．
把A（1，1），B（3，1）代入上式得 ，
解得 ，
∴所求拋物線解析式為y=? x2+ x；
解法二：∵A（1，1）， B（3，1），∴拋物線的對稱軸是直線x=2．
設拋物線解析式為y=a（x?2）2+h（a≠0），
把O（0，0），A（1，1）代入得
解得 ∴所求拋物線解析式為：y=? （x?2）2+ ．
（2）分三種情況：
①當0＜t≤2，重疊部分的面積是S△OPQ，過點A作AF⊥x軸于點F，
∵A（1，1），在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，
在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，
∴PQ=OQ=tcos45°= t，
∴S= （ t）2= t2．
②當2＜t≤3，設PQ交AB于點G，
作GH⊥x軸于點H，∠OPQ=∠QOP=45°，則四邊形OAGP是等腰梯形，
重疊部分的面積是S梯形OAGP．
∴AG=FH=t?2，
∴S= （AG+OP）AF= （t+t?2）×1=t?1．
③當3＜t＜4，設PQ與AB交于點M，交BC于點N，
重疊部分的面積是S五邊形OAMNC．
因為△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，
所以重疊部分的面積是S五邊形OAMNC=S梯形OABC?S△BMN．
∵B（3，1），OP=t，
∴PC=CN=t?3，
∴BM=BN=1?（t?3）=4?t，
∴S= （2+3）×1? （4?t）2 S=? t2+4t? ；
（3）存在t1=1，t2=2．
將△OPQ繞著點P順時針旋轉90°，此時Q（t+ ， ），O（t，t）
①當點Q在拋物線上時， = ×（t+ ）2+ ×（t+ ），解得t=2；
②當點O在拋物線上時，t=? t2+ t，解得t=1．
25．（14分）如圖，已知直線y= x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，將△AOB繞點O順時針旋轉90°后得到△COD．
（1）點C的坐標是�。�0，3） ，線段AD的長等 于 4 ．
（2）點M是CD的中點，拋物線y=x2+bx+c經過點C、M．
①求b和c的值．
②如果點E在y軸上，且位于點C的下方，點F在直線AC上，那么在拋物線y=x2+bx+c上是否存在點P，使得以C，E，F，P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出該菱形的周長l；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）當y=0時， x+1=0，解得x=?3，則A（?3，0），
當x=0時，y= x+1=1，則B（0，1），
∴OA=3，OB=1，
∵△AOB繞點O順時針旋轉90°后得到△COD，
∴OC=OA=3，OD=OB=1，
∴C（0，3），AD=OA+OD=3+1=4；
故答案為（0，3），4；
（2）①∵C（0，3），D（1，0），
而點M是C D的中點，
∴M（ ， ）；
把C（0，3），M（ ， ）代入y=x2+bx+c得 ，
解得b=? ，c=3；
②存在．
拋物線的解析式為y=x2? x+3，易得直線AC的解析式為y=x+3，
當OE為對角線時，如圖1，
∵C、E點在y軸上，四邊形CFEP為菱形，
∴點F與點P關于y軸對稱，
設F（t，t+3），則P（?t，t+3），
把P（?t，t+3）代入y=x2? x+3得t2+ t+3=t+3，解得t1=0（舍去），t2=? ，
此時F（? ， ），
∴CF= = ，
∴菱形CFEP的周長l=10 ；
當OE為邊時，如圖2，設F（t，t+3），則CF= = t，
∵四邊形CEPF為菱形，
∴PF∥CE，PF=CF，
∴P（t，t+3? t），
把P（t，t+3? t）代入y=x2? x+3得t2? t+3=t+3? t，解得t1=0（舍去），t2= ? ，
∴此時菱形CFEP的周長l=4 t=4 （ ? ）=18 ?8，
綜上所述，菱形CFEP的周長l為10 或18 ?8．
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