6、（2013•資陽）在一個邊長為a（單位：c）的正方形ABCD中，點E、分別是線段AC，CD上的動點，連結DE并延長交正方形的邊于點F，過點作N⊥DF于H，交AD于N．
（1）如圖1，當點與點C重合，求證：DF=N；
（2）如圖2，假設點從點C出發，以1c/s的速度沿CD向點D運動，點E同時從點A出發，以 c/s速度沿AC向點C運動，運動時間為t（t＞0）；
①判斷命題“當點F是邊AB中點時，則點是邊CD的三等分點”的真假，并說明理由．
②連結F、FN，△NF能否為等腰三角形？若能，請寫出a，t之間的關系；若不能，請說明理由．
考點：四邊形綜合題
分析：（1）證明△ADF≌△DNC，即可得到DF=N；
（2）①首先證明△AFE∽△CDE，利用比例式求出時間t= a，進而得到C= a= CD，所以該命題為真命題；
②若△NF為等腰三角形，則可能有三種情形，需要分類討論．
解答：（1）證明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，
∴∠ADF=∠DCN．
在△ADF與△DNC中，
，
∴△ADF≌△DNC（ASA），
∴DF=N．
（2）解：①該命題是真命題．
理由如下：當點F是邊AB中點時，則AF= AB= CD．
∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，
∴ ，
∴AE= EC，則AE= AC= a，
∴t= = a．
則C=1•t= a= CD，
∴點為邊CD的三等分點．
②能．理由如下：
易證AFE∽△CDE，∴ ，即 ，得AF= ．
易證△ND∽△DFA，∴ ，即 ，得ND=t．
∴ND=C=t，AN=D=a?t．
若△NF為等腰三角形，則可能有三種情形：
（I）若FN=N，則由AN=D知△FAN≌△ND，
∴AF=D，即 =t，得t=0，不合題意．
∴此種情形不存在；
（II）若FN=F，由N⊥DF知，HN=H，∴DN=D=C，
∴t= a，此時點F與點B重合；
（III）若F=N，顯然此時點F在BC邊上，如下圖所示：
易得△FC≌△ND，∴FC=D=a?t；
又由△ND∽△DCF，∴ ，即 ，∴FC= ．
∴ =a?t，
∴t=a，此時點F與點C重合．
綜上所述，當t=a或t= a時，△NF能夠成為等腰三角形．
點評：本題是運動型幾何綜合題，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命題證明等知識點．解題要點是：（1）明確動點的運動過程；（2）明確運動過程中，各組成線段、三角形之間的關系；（3）運用分類討論的數學思想，避免漏解．
7、（2013•寧波）若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，我們把這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．如菱形就是和諧四邊形．
（1）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求證：BD是梯形ABCD的和諧線；
（2）如圖2，在12×16的網格圖上（每個小正方形的邊長為1）有一個扇形BAC，點A．B．C均在格點上，請在答題卷給出的兩個網格圖上各找一個點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形的兩條對角線都是和諧線，并畫出相應的和諧四邊形；
（3）四邊形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四邊形ABCD的和諧線，求∠BCD的度數．
考點：四邊形綜合題．
分析：（1）要證明BD是四邊形ABCD的和諧線，只需要證明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；
（2）根據扇形的性質弧上的點到頂點的距離相等，只要D在 上任意一點構成的四邊形ABDC就是和諧四邊形；連接BC，在△BAC外作一個以AC為腰的等腰三角形ACD，構成的四邊形ABCD就是和諧四邊形，
（3）由AC是四邊形ABCD的和諧線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖4，圖5，圖6三種情況運用等邊三角形的性質，正方形的性質和30°的直角三角形性質就可以求出∠BCD的度數．
解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ADB，
∴△ADB是等腰三角形．
在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，
∴∠BDC=∠C=75°，
∴△BCD為等腰三角形，
∴BD是梯形ABCD的和諧線；
（2）由題意作圖為：圖2，圖3
（3）∵AC是四邊形ABCD的和諧線，
∴△ACD是等腰三角形．
∵AB=AD=BC，
如圖4，當AD=AC時，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°．
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠BCD=60°+75°=135°．
如圖5，當AD=CD時，
∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD=90°，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°
如圖6，當AC=CD時，過點C作CE⊥AD于E，過點B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD．CE⊥AD，
∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四邊形ABFE是矩形．
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF=BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，
∴∠BCD=15°×3=45°．
點評：本題是一道四邊形的綜合試題，考查了和諧四邊形的性質的運用，和諧四邊形的判定，等邊三角形的性質的運用，正方形的性質的運用，30°的直角三角形的性質的運用．解答如圖6這種情況容易忽略，解答時合理運用分類討論思想是關鍵．
8、(2013年武漢)已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點，DE與CF交于點G．
（1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證 ；
（2）如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當∠B與∠EGC滿足什么關系時，使得 成立？并證明你的結論；
（3）如圖③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，請直接寫出 的值．
解析：
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴ ．
（2）當∠B+∠EGC＝180°時， 成立，證明如下：
在AD的延長線上取點，使C＝CF，則∠CF＝∠CF．
∵AB∥CD，∴∠A＝∠CD，
∵∠B+∠EGC＝180°，
∴∠AED＝∠FCB，∴∠CF＝∠AED．
∴△ADE∽△DC，
∴ ，即 ．
（3） ．
9、（2013杭州壓軸題）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，對稱中心為點P，點F為BC邊上一個動點，點E在AB邊上，且滿足條件∠EPF=45°，圖中兩塊陰影部分圖形關于直線AC成軸對稱，設它們的面積和為S1．
（1）求證：∠APE=∠CFP；
（2）設四邊形CPF的面積為S2，CF=x， ．
①求y關于x的函數解析式和自變量x的取值范圍，并求出y的最大值；
②當圖中兩塊陰影部分圖形關于點P成中心對稱時，求y的值．
考點：四邊形綜合題．
分析：（1）利用正方形與三角形的相關角之間的關系可以證明結論；
（2）本問關鍵是求出y與x之間的函數解析式．
①首先分別用x表示出S1與S2，然后計算出y與x的函數解析式．這是一個二次函數，求出其最大值；
②注意中心對稱、軸對稱的幾何性質．
解答：（1）證明：∵∠EPF=45°，
∴∠APE+∠FPC=180°?45°=135°；
而在△PFC中，由于PF為正方形ABCD的對角線，則∠PCF=45°，
則∠CFP+∠FPC=180°?45°=135°，
∴∠APE=∠CFP．
（2）解：①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，
∴△APE∽△CPF，則 ．
而在正方形ABCD中，AC為對角線，則AC= AB= ，
又∵P為對稱中心，則AP=CP= ，
∴AE= = =．
如圖，過點P作PH⊥AB于點H，PG⊥BC于點G，
P為AC中點，則PH∥BC，且PH=BC=2，同理PG=2．
S△APE= =×2×=，
∵陰影部分關于直線AC軸對稱，
∴△APE與△APN也關于直線AC對稱，
則S四邊形AEPN=2S△APE= ；
而S2=2S△PFC=2× =2x，
∴S1=S正方形ABCD?S四邊形AEPN?S2=16? ?2x，
∴y= = = +?1．
∵E在AB上運動，F在BC上運動，且∠EPF=45°，
∴2≤x≤4．
令=a，則y=?8a2+8a?1，當a= =，即x=2時，y取得最大值．
而x=2在x的取值范圍內，代入x=2，則y最大=4?2?1=1．
∴y關于x的函數解析式為：y= +?1（2≤x≤4），y的最大值為1．
②圖中兩塊陰影部分圖形關于點P成中心對稱，
而此兩塊圖形也關于直線AC成軸對稱，則陰影部分圖形自身關于直線BD對稱，
則EB=BF，即AE=FC，
∴=x，解得x= ，
代入x= ，得y= ?2．
點評：本題是代數幾何綜合題，考查了正方形的性質、相似三角形、二次函數的解析式與最值、幾何變換（軸對稱與中心對稱）、圖形面積的計算等知識點，涉及的考點較多，有一定的難度．本題重點與難點在于求出y與x的函數解析式，在計算幾何圖形面積時涉及大量的計算，需要細心計算避免出錯．
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