考點跟蹤突破31　圖形的相似
一、選擇題
1．(2017?重慶)已知△ABC∽△DEF，且相似比為1∶2，則△ABC與△DEF的面積比為(　A　)
A．1∶4  B．4∶1  C．1∶2  D．2∶1
2．(2017?棗莊)如圖，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是(　C　)
 
 ,第2題圖)　　　 ,第3題圖)
3．(2017?杭州)如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，則(　B　)
A.ADAB＝12  B.AEEC＝12
C.ADEC＝12  D.DEBC＝12
4．(2017?綿陽)為測量操場上旗桿的高度，小麗同學想到了物理學中平面鏡成像的原理，她拿出隨身攜帶的鏡子和卷尺，先將鏡子放在腳下的地面上，然后后退，直到她站直身子剛好能從鏡子里看到旗桿的頂端E，標記好腳掌中心位置為B，測得腳掌中心位置B到鏡面中心C的距離是50 cm，鏡面中心C距離旗桿底部D的距離為4 m，如圖所示．已知小麗同學的身高是1.54 m，眼睛位置A距離小麗頭頂的距離是4 cm，則旗桿DE的高度等于(　B　)
A．10 m  B．12 m  C．12.4 m  D．12.32 m
 ,第4題圖)　　　 ,第5題圖)
5．(導學號：65244155)(2017?黑龍江)如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E，F是AD邊上的兩個動點，且AE＝FD，連接BE，CF，BD，CF與BD交于點G，連接AG交BE于點H，連接DH，下列結論正確的個數是(　C　)
①△ABG∽△FDG；②HD平分∠EHG；③AG⊥BE；④S△HDG∶S△HBG＝tan∠DAG；⑤線段DH的最小值是25－2.
A．2個  B．3個  C．4個  D．5個
二、填空題
6．(2017?臨沂)如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點O.若BOOC＝23，AD＝10，則AO＝__4__．
 ,第6題圖)　　　 ,第7題圖)
7．(2017?杭州)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，點D在邊AC上，AD＝5，DE⊥BC于點E，連接AE，則△ABE的面積等于__78__．
8．(2017?蘭州)如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，位似中心是點O，OEOA＝35，則FGBC＝__35__．
 ,第8題圖)　　　 ,第9題圖)
9．(2017?內江)如圖，在正方形ABCD中，BC＝2，點M是邊AB的中點，連接DM，DM與AC交于點P，點E在DC上，點F在DP上，且∠DFE＝45°.若PF＝56，則CE＝__76__．
 
10．(2017?齊齊哈爾)經過三邊都不相等的三角形的一個頂點的線段把三角形分成兩個小三角形，如果其中一個是等腰三角形，另外一個三角形和原三角形相似，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”．如圖，線段CD是△ABC的“和諧分割線”，△ACD為等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，則∠ACB的度數為__113°或92°__．
三、解答題
11．(2018?舟山)如圖，△ABC和△DEC的面積相等，點E在BC邊上，DE∥AB交AC于點F，AB＝12，EF＝9，則DF的長是多少？
 
解：∵△ABC與△DEC的面積相等，∴△CDF與四邊形AFEB的面積相等，∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA，∵EF＝9，AB＝12，∴EF∶AB＝9∶12＝3∶4，∴△CEF和△CBA的面積比＝9∶16，設△CEF的面積為9k，則四邊形AFEB的面積＝7k，∴S△CDF＝7k，∴DF∶EF＝7k∶9k，∴DF＝7

12．(2017?蘭州)如圖，△ABC內接于⊙O，BC是⊙O的直徑，弦AF交BC于點E，延長BC到點D，連接OA，AD，使得∠FAC＝∠AOD，∠D＝∠BAF.
(1)求證：AD是⊙O的切線；
(2)若⊙O的半徑為5，CE＝2，求EF的長．
 
解：(1)∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAF＋∠FAC＝90°，∵∠D＝∠BAF，∠AOD＝∠FAC，∴∠D＋∠AOD＝90°，∴∠OAD＝90°，∴AD是⊙O的切線　(2)連接BF，∴∠FAC＝∠AOD，∴△ACE∽△OCA，∴ACOC＝AEOA＝CEAC，∴AC5＝AE5＝2AC，∴AC＝AE＝10，∵∠CAE＝∠CBF，∴△ACE∽△BFE，∴AECE＝BEEF，∴102＝8EF，∴EF＝8105

13．(2018?玉林)如圖，在平面直角坐標系網格中，將△ABC進行位似變換得到△A1B1C1.
(1)△A1B1C1與△ABC的位似比是__2∶1__；
(2)畫出△A1B1C1關于y軸對稱的△A2B2C2；
(3)設點P(a，b)為△ABC內一點，則依上述兩次變換后，點P在△A2B2C2內的對應點P2的坐標是__(－2a，2b)__．
 
解：(2)如圖所示
 
14．(導學號：65244156)(2017?東營)如圖，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，點D是BC邊上的一個動點(不與B，C重合)，在AC上取一點E，使∠ADE＝30°.
(1)求證：△ABD∽△DCE；
(2)設BD＝x，AE＝y，求y關于x的函數解析式并寫出自變量x的取值范圍；
(3)當△ADE是等腰三角形時，求AE的長．
 
解：(1)∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，∴∠ABD＝∠ACB＝30°，∴∠ABD＝∠ADE＝30°，∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠ABD＋∠DAB，∴∠EDC＝∠DAB，∴△ABD∽△DCE
(2)如圖1，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，過A作AF⊥BC于F，∴∠AFB＝90°，
 
∵AB＝2，∠ABF＝30°，∴AF＝12AB＝1，∴BF＝3，∴BC＝2BF＝23，則DC＝23－x，EC＝2－y，∵△ABD∽△DCE，∴ABBD＝DCCE，∴2x＝23－x2－y，即y＝12x2－3x＋2(0＜x＜23)　(3)當AD＝DE時，如圖2，由(1)可知：此時△ABD∽△DCE，
 
則AB＝CD，即2＝23－x，x＝23－2，代入y＝12x2－3x＋2，解得y＝4－23，即AE＝4－23；當AE＝ED時，如圖3，∠EAD＝∠EDA＝30°，∠AED＝120°，∴∠DEC＝60°，∠EDC＝90°，則ED＝12EC，
 
即y＝12(2－y)，解得y＝23，即AE＝23，當AD＝AE時，∠AED＝∠EDA＝30°，∠EAD＝120°，此時點D與點B重合，不符合題意，∴當△ADE是等腰三角形時，AE的長為4－23或23

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