2013年中考數學試題（四川內江卷）
（本試卷分A卷（100分）、B卷（60分），滿分160分，考試時間120分鐘）
A卷（共100分）
一、（本大題共12小題，每小題3分，共36分）
1．下列四個實數中，絕對值最小的數是【 】
A．－5 B． C．1 D．4
2．一個幾何體的三視圖如圖所示，那么這個幾何體是【 】
A． B． C． D．
3．某公司開發一個新的項目，總投入約11500000000元，11500000000元用科學記數法表示為【 】
A．1.15×1010 B．0.115×1011 C．1.15×1011 D．1.15×109
4．把不等式組 的解集表示在數軸上，下列選項正確的是【 】
A． B． C． D．
5．今年我市有近4萬名考生參加中考，為了解這些考生的數學成績，從中抽取1000名考生的數學成績進行統計分析，以下說法正確的是【 】
A．這1000名考生是總體的一個樣本 B．近4萬名考生是總體
C．每位考生的數學成績是個體 D．1000名學生是樣本容量
6．把一塊直尺與一塊三角板如圖放置，若∠1=40°，則∠2的度數為【 】

A．125° B．120° C．140° D．130°
7．成渝路內江至成都段全長170千米，一輛小汽車和一輛客車同時從內江、成都兩地相向開出，經過1小時10分鐘相遇，小汽車比客車多行駛20千米．設小汽車和客車的平均速度為x千米/小時和y千米/小時，則下列方程組正確的是【 】
A． B． C． D．
8．如圖，在 ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F， ，則DE：EC=【 】

A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
9．若拋物線 與y軸的交點為（0，?3），則下列說法不正確的是【 】
A．拋物線開口向上 B．拋物線的對稱軸是x=1
C．當x=1時，y的最大值為?4 D．拋物線與x軸的交點為（－1，0），（3，0）

10．同時拋擲A、B兩個均勻的小立方體（每個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6），設兩立方體朝上的數字分別為x、y，并以此確定點P（x，y），那么點P落在拋物線 上的概率為【 】
A． B． C． D．
11．如圖，反比例函數 （x＞0）的圖象經過矩形OABC對角線的交點，分別于AB、BC交于點D、E，若四邊形ODBE的面積為9，則k的值為【 】

A．1 B．2 C．3 D．4
12．如圖，半圓O的直徑AB=10c，弦AC=6c，AD平分∠BAC，則AD的長為【 】

A． c B． c C． c D．4 c
二、題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．若2－n2=6，且－n=2，則＋n=　 ▲ �。�
14．函數 中自變量x的取值范圍是　 ▲ �。�
15．一組數據3，4，6，8，x的中位數是x，且x是滿足不等式組 的整數，則這組數據的平均數是　 ▲ �。�
16．已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，、N分別是邊BC、CD的中點，P是對角線BD上一點，則P+PN的最小值=　 ▲ �。�

三、解答題（本大題共5小題，共44分）
17．計算： ．
18．已知，如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D為AB邊上一點．求證：BD=AE．

19．隨著車輛的增加，交通違規的現象越來越嚴重，交警對某雷達測速區檢測到的一組汽車的時速數據進行整理，得到其頻數及頻率如表（未完成）：
數據段頻數頻率
30～40100.05
40～5036
50～600.39
60～70
70～80200.10
總計2001
注：30～40為時速大于等于30千米而小于40千米，其他類同
（1）請你把表中的數據填寫完整；
（2）補全頻數分布直方圖；
（3）如果汽車時速不低于60千米即為違章，則違章車輛共有多少輛？

20．如圖，某校綜合實踐活動小組的同學欲測量公園內一棵樹DE的高度，他們在這棵樹的正前方一座樓亭前的臺階上A點處測得樹頂端D的仰角為30°，朝著這棵樹的方向走到臺階下的點C處，測得樹頂端D的仰角為60°．已知A點的高度AB為3米，臺階AC的坡度為 （即AB：BC= ），且B、C、E三點在同一條直線上．請根據以上條件求出樹DE的高度（側傾器的高度忽略不計）．

21．某地區為了進一步緩解交通擁堵問題，決定修建一條長為6千米的公路．如果平均每天的修建費y（萬元）與修建天數x（天）之間在30≤x≤120，具有一次函數的關系，如下表所示．
x506090120
y40383226
（1）求y關于x的函數解析式；
（2）后來在修建的過程中計劃發生改變，政府決定多修2千米，因此在沒有增減建設力量的情況下，修完這條路比計劃晚了15天，求原計劃每天的修建費．
　B卷（共60分）
四、題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）
22．在△ABC中，已知∠C=90°， ，則 =　 ▲ �。�
23．如圖，正六邊形硬紙片ABCDEF在桌面上由圖1的起始位置沿直線l不滑行地翻滾一周后到圖2位置，若正六邊形的邊長為2c，則正六邊形的中心O運動的路程為　 ▲ 　c．

24．如圖，已知直線l： ，過點（2，0）作x軸的垂線交直線l于點N，過點N作直線l的垂線交x軸于點1；過點1作x軸的垂線交直線l于N1，過點N1作直線l的垂線交x軸于點2，…；按此作法繼續下去，則點10的坐標為　 ▲ �。�

25．在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心的圓過點A（13，0），直線 與⊙O交于B、C兩點，則弦BC的長的最小值為　 ▲ �。�
五、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分）
26．如圖，AB是半圓O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點C，BD⊥PD，垂足為D，連接BC．
（1）求證：BC平分∠PDB；
（2）求證：BC2=AB•BD；
（3）若PA=6，PC=6 ，求BD的長．

27．如圖，在等邊△ABC中，AB=3，D、E分別是AB、AC上的點，且DE∥BC，將△ADE沿DE翻折，與梯形BCED重疊的部分記作圖形L．
（1）求△ABC的面積；
（2）設AD=x，圖形L的面積為y，求y關于x的函數解析式；
（3）已知圖形L的頂點均在⊙O上，當圖形L的面積最大時，求⊙O的面積．

28．已知二次函數 （a＞0）的圖象與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）兩點，與y軸交于點C，x1，x2是方程 的兩根．
（1）若拋物線的頂點為D，求S△ABC：S△ACD的值；
（2）若∠ADC=90°，求二次函數的解析式．

123456789101112
CCABCDDBCACA

13. 3
14. 且x≠1
15. 5
16. 5
17. 解：原式= 。
18. 證明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE。
∵∠ACD=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，∴∠ACE=∠BCD。
在△ACE和△BCD中， ，
∴△ACE≌△BCD（SAS）。
∴BD=AE。
19. 解：（1）填表如下：
數據段頻數頻率
30～40100.05
40～50360.18
50～60780.39
60～70560.28
70～80200.10
總計2001
（2）如圖所示：

（3）違章車輛數：56+20=76（輛）。
答：違章車輛有76輛。
20. 【答案】解：如圖，過點A作AF⊥DE于F，則四邊形ABEF為矩形，
∴AF=BE，EF=AB=3。
設DE=x，
在Rt△CDE中， ，
在Rt△ABC中，∵ ，AB=3，∴BC= 。
在Rt△AFD中，DF=DE?EF=x?3，
∴ 。
∵AF=BE=BC+CE，∴ 。解得x=9。
答：樹高為9米。
21. 解：（1）設y與x之間的函數關系式為 ，由題意，得
，解得： 。
∴y與x之間的函數關系式為： （30≤x≤120）。
（2）設原計劃要天完成，則增加2k后用了（+15）天，由題意，得
，解并檢驗得：=45。
∴
答：原計劃每天的修建費為41萬元。
22
23
24. （884736，0）
25. 24
26. 【答案】解：（1）證明：連接OC，
∵PD為圓O的切線，∴OC⊥PD。
∵BD⊥PD，∴OC∥BD�！唷螼CB=∠CBD。
∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC。
∴∠CBD=∠OBC，即BC平分∠PBD。
（2）證明：連接AC，
∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°。
∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，∴△ABC∽△CBD。
∴ ，即BC2=AB•BD。
（3）∵PC為圓O的切線，PAB為割線，∴PC2=PA•PB，即72=6PB，解得：PB=12。
∴AB=PB－PA=12－6=6�！郞C=3，PO=PA+AO=9。
∵△OCP∽△BDP，∴ ，即 。
∴BD=4。
27. 解：（1）如圖1，作AH⊥BC于H，則∠AHB=90°。
∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=3。
∵∠AHB=90°，∴BH= BC= 。
在Rt△ABH中，由勾股定理，得AH= 。
∴ 。
（2）如圖2，當0＜x≤ 時， 。
作AG⊥DE于G，∴∠AGD=90°，∠DAG=30°。
∴DG=x，AG= 。
∴ 。
如圖3，當 ＜x＜3時，作G⊥DE于G，
∵AD=x，∴BD=D=3－x，
∴DG= ，F=N=2x－3，G=
∴ 。
綜上所述，y關于x的函數解析式為 。
（3）當0＜x≤ 時，
∵a= ＞0，開口向上，在對稱軸的右側y隨x的增大而增大，
∴x= 時， 。
當 ＜x＜3時， ，
∵a= ＜0，開口向下，∴x=2時，
∵ ＞ ，∴y最大時，x=2。
∴DE=2，BD=D=1。
如圖4，作FO⊥DE于O，連接O，E，
∴DO=OE=1。∴D=DO。
∵∠DO=60°，∴△DO是等邊三角形。
∴∠DO=∠DO=60°，O=DO=1。
∴O=OE，∠OE=120°。
∴∠OE=30°�！唷螪E=90°。
∴DE是直徑。
∴ 。
28. 解：（1）解方程 ，得x=－5或x=1，
∵x1＜x2，∴x1=?5，x2=1。∴A（?5，0），B（1，0）。
∴拋物線的解析式為： （a＞0）。
∴對稱軸為直線x=2，頂點D的坐標為（－2，－9a）。
令x=0，得y=－5a，∴C點的坐標為（0，?5a）。
依題意畫出圖形，如圖所示，
則OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a。
過點D作DE⊥y軸于點E，
則DE=2，OE=9a，CE=OE－OC=4a。
∴
。
而 ，
∴ 。
（2）如圖所示，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，
設對稱軸x=2與x軸交于點F，則AF=3，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2。
∵∠ADC=90°，∴△ACD為直角三角形，
由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，
即 ，化簡得： 。
∵a＞0，∴ 。
∴拋物線的解析式為： ，即 。

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