源
2013年龍巖市初中畢業、升學考試
數 學 試 題
（滿分：150分 考試時間：120分鐘）
注意：
請把所有答案填涂或書寫到答題卡上！請不要錯位、越界答題！
在本試題上答題無效.
一、（本大題共10小題，每小題4分，共40分．每小題的四個選項中，只有一項是符合題目要求）
1．計算：
A．3 B． C．7 D．
2．右圖是由四個相同的小正方體組合而成的立體圖形，它的俯視圖是
A B C D
3．下列計算正確的是
A． B． C． D．
4．下列圖形，既是中心對稱圖 形，又是軸對稱圖形的是
A．等邊三角形 B．平行四邊形 C．正五邊形 D．正六邊形
5．在九年級某次體育測試中，某班參加仰臥起坐測試的一組女生（每組8人）成績如下（單位：次/分）：45、44、45、42、45、46、48、45，則這組數據的平均數、眾數分別為
A．44、45 B．45、45 C．44、46 D． 45、46
6．如圖，A、B、P是半徑為2的⊙O上的三點，∠APB＝45°，
則弦AB的長為
A． B．2 C． D．4
7．若我們把十位上的數字比個位和百位上的數字都大的三位數稱為凸數，如：786，465．則由1，2，3這三個數字構成的，數字不重復的三位數是“凸數”的概率是
A． B． C． D．
8．若二次函數 （ ）的圖象如圖所示，則下列選項正確的是
A． B． C． D．
9．如圖，邊長分別為4和8的兩個正方形ABCD和CEFG并排放在一起，連結BD并延長交EG于點T，交FG于點P，則GT＝
A． B． C．2 D．1
10．如圖，在平面直角坐標系 中，A(0，2)，B(0，6)，動點C在直線y＝x上．若以A、B、C三點為頂點的三角形是等腰三角形，則點C的個數是
A．2 B．3 C．4 D．5
二、題（本大題共7小題，每小題3分，共21分）
11．分解因式 ＝______________．
12．已知x＝3是方程 的一個根，則 ______．
13．已知 ，則 ＝____________.
14．如圖，PA是⊙O的切線，A為切點，B是⊙O上一點，
BC⊥AP于點C，且OB=BP=6，則BC=_____________．
15．如圖，AB∥CD，BC與AD相交于點，N是射線CD上的一點．
若∠B＝65°，∠DN＝135°，則∠AB＝_________．
16．下列說法：
①對頂角相等；
②打開電視機，“正在播放《新聞聯播》”是必然事件；
③若某次摸獎活動中獎的概率是 ，則摸5次一定會中獎；
④想了解端午節期間某市場粽子的質量情況，適合的調查方式是抽樣調查；
⑤若甲組數據的方差s2＝0.01，乙組數據的方差s2＝0.05，則乙組數據比甲組數據更穩定．
其中正確的說法是________________．（寫出所有正確說法的序號）
17．對于任意非零實數a、b，定義運算“ ”，使下列式子成立：
， ， ， ，…，則 ___________．
三、解答題（本大題共8小題，共89分）
18．(本題滿分10分)
（1）計算： ;
（2）解方程： ．
19．(本題滿分8分)先化簡，再求值： ，其中 ．
20．(本題滿分10分)如圖，四邊 形ABCD是平行四邊形，
E、F是對角線AC上的兩點，∠1＝∠2．
（1）求證：AE=CF；
（2）求證：四邊形EBFD是平行四邊形．
21．(本題滿分10分)某市在2013年義務教育質量監測過程中，為了解學生的家庭教育情況，就八年級學生平時主要和誰在一起生活進行了抽樣調查.下面是根據這次調查情況制作的不完整的頻數分布表和扇形統計圖．
頻數分布表
請根據上述信息，回答下列問題:
（1） _______________， _______________;
（2）在扇形統計圖中，和外公外婆一起生活的學生所對應扇形圓心角的度數是________;
（3） 若該市八年級學生共有3萬人，估計不與父母一起生活的學生有_______________人.
22．(本題滿分12分)如圖①，在矩形紙片ABCD中， ．
（1）如圖②，將矩形紙片向上方翻折，使點D恰好落在AB邊上的 處，壓平折痕交CD于點E，則折痕AE的長為_______________；
（2）如圖③，再將四邊形 沿 向左翻折，壓平后得四邊形 , 交AE于點F，則四邊形 的面積為_______________；
（3）如圖④，將圖②中的 繞點E順時針旋轉 角，得 ，使得 恰好經過頂點B，求弧 的長.（結果保留 ）
23．(本題滿分12分)某公司欲租賃甲、乙兩種設備，用來生產A產品80件、B產品100件．已知甲種設備每天租賃費為400元，每天滿負荷可生產A產品12件和B產品10件；乙種設備每天租賃費為300元，每天滿負荷可生產A產品7件和B產品10件．
（1）若在租賃期間甲、乙兩種設備每天均滿負荷生產，則需租賃甲、乙兩種設備各多少天恰好完成生產任務？
（2）若甲種設備最多只能租賃5天，乙種設備最多只能租賃７天，該公司為確保完成生產任務，決定租賃這兩種設備合計10天（兩種設備的租賃天數均 為整數），問該公司共有哪幾種租賃方案可供選擇？所需租賃費最少是多少？
24．(本題滿分13分)如圖，將邊長為４的等邊三角形AOB放置于平面直角坐標系 中，F是AB邊上的動點（不與端點A、B重合），過點F的反比例函數 與OA邊交于點E，過點F作 軸于點C，連結EF、OF．
（1）若 ，求反比例函數的解析式;
（2）在（1）的條件下，試判斷以點E為圓心，EA長
為半徑的圓與 軸的位置關系，并說明理由;
（3）AB邊上是否存在點F，使得 ？
若存在，請求出 的值；若不存在，請說明理由．
25．(本題滿分14分)如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD交于點 O ，且 ，
．動點、N分別以每秒１個單位的速度從點A、D同時出發，分別沿 和 運動，當點N到達點A時，、N同時停止運動．設運動時間為t秒．
（1）求菱形ABCD的周長；
（2）記 的面積為S, 求S關于t的解析式，并求S的最大值；
（3）當t=30秒時，在線段OD的垂直平分線上是否存在點P，使得∠DPO＝∠DON？若存在，這樣的點P有幾個？并求出點P到線段OD的距離；若不存在，請說明理由．
2013年龍巖市初中畢業、升學考試
參 考 答 案 及 評 分 標 準
數 學
說明 ：評分最小單位為1分，若學生解答與本參考答案不同，參照給 分．
一、（本大題共10題，每題4分，共40分）
題號12345678910
答案ACDDBCACB B
二、題（本大題共7題，每題3分，共21分．注：答案不正確、不完整均不給分）
11． 12．9 13．8 14．3
15． 16．①④ 17． ．
三、解答題（本大題共8題，共89分）
18．(10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分)
（1）解：原式= 4分
= 5分
（2）解：方程兩邊同乘（2x+1），得 4=x+2x+12分
3=3x
x=13分
檢驗：把x=1代入2x+1=3≠04分
∴原分式方程的解為x=1.5分
19．（8分）解：原式= 4分
= 6分
當x=2時，原式= .8分
20．(10分)
(1)證明：（法一）如圖：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD=BC，AD∥BC，∠3=∠41分
∵∠1=∠3+∠5, ∠2=∠4+∠62分
∠1=∠2
∴∠5=∠63分
∴△ADE≌△CBF 5分
∴AE=CF 6分
（法二）如圖：連接BD交AC于點O1分
在平行四邊形ABCD中
OA=OC，OB=OD2分
∵∠1=∠2,∠7=∠8
∴△BOF≌△DOE4分
∴OE=OF 5分
∴OA－OE=OC－OF
即AE=CF.6分
(2) )證明：（法一）∵∠1=∠2,
∴DE∥BF7分
∵△ADE≌△CBF
∴DE=BF9分
∴四邊形EBFD是平行四邊形.10分
（法二）∵OE=OF，OB=OD9分
∴四邊形EBFD是平行四邊形.10分
其他證法，請參照標準給分.
21．（10分，第（1）小題4分，第（2）小題3分，第（3）小題3分）
（1） 0.11 ， 540 ； （注：每空2分）
（2） ；
（3）9000．
22．（12分，每小題4分）
（1） 4分
（2） 8分
（3）∵∠C＝ ，BC= ，EC＝1
∴tan∠BEC＝ =
∴∠BEC＝ 9分
由翻折可知：∠DEA＝ 10分
∴ ＝ 11分
∴l 12分
23．（12分，第（1）小題5分，第（2）小題7分）
解：（1）設需租賃甲、乙兩種設備分別為x、y天．1分
則依題意得 3分
解得 4分
答：需租賃甲種設備2天、乙種設備8天. 5分
（2）設租賃甲種設備 天、乙種設備(10－ )天，總費用為 元．6分
依題意得
∴3≤ ≤5．
∵ 為 整數，
∴ ＝3、4、5．8分
方法一：
∴共有三種方案．
方案（1）甲3天、乙7天，總費用400×3+300×7＝3300;9分
方案（2）甲4天、乙6天，總費用400×4+300×6＝3400;10分
方案（3）甲5天、乙5天，總費用400×5+300×5＝3500. 11分
∵3300 <3400<3500 ∴方案（1）最省，最省費用為3300元．12分
方法二：
則 ＝400 +300(10－ )＝100 +300010分
∵100＞0，
∴ 隨 的增大而增大．
∴當 ＝3時， ＝3300． 11分
答：共有3種租賃方案：①甲3天、乙7天；②甲4天、乙6天；③甲5天、乙5天.最少租賃費用3300元． 12分
方法三：能用窮舉法把各種方案枚舉出來，并得出三種符合條件的方案，求出最省費用的，參照標準酌情 給分．
24.（1）設F（x，y），(x＞0，y＞0) ．
則OC=x, CF=y1分
∴ ．2分
∴xy= ．
∴k= ．3分
∴反比例函數解析式為y= (x＞0) ．4分
（2）該圓與y軸相離． 5分
理由：過點E作EH⊥x軸，垂足為H，過點E作EG⊥y軸，垂足為G．
在△AOB中，OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A= ．
設OH=,則 ．
∴EH= ，OE=2．
∴E坐標為（, ）．6分
∵E在反比例y= 圖像上，
∴ = ．
∴1= ， 2=- (舍去)．
∴OE= ，EA= ，EG= 7分
∵ ＜ ，
∴EA＜EG．
∴以E為圓心，EA垂為半徑的圓與y軸相離． 8分
（3） 存在．9分
方法一：假設存在點F，使AE⊥FE．過點F作FC⊥OB于點 C，過E點作EH⊥OB于點H．
設BF= x.
∵△AOB是等邊三角形，
∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A= ．
∴BC=FB•cos∠FBC＝
FC=FB•sin∠FBC=
∴AF=4－x，OC=OB －BC=4－
∵AE⊥FE
∴AE=AF•cos∠A=2－
∴OE=O A－AE= +2
∴OH=OE•cos∠AOB= ，
EH=OE•sin∠AOB=
∴E( , )，F(4－ ， )11分
∵E、F都在雙曲線y= 的圖象上，
∴（ ）（ ）＝（4－ ）
解得 x 1=4，x2= ．12分
當BF=4時，AF=0， 不存在，舍去．
當BF= 時，AF= ， ．13分
方法二：假設存在點F，使AE⊥FE．過E點作EH⊥OB于 H.
∵△AOB是等邊三角形，設E(, )，則OE=2, AE=4－2．
∴AB=OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A= ．
∵ ，
∴AF=2AE=8－4，FB=4－4．
∴FC=FB•sin∠FBC= － ， BC=FB•cos∠FBC=2－2．
∴OC=6－2
∴F(6－2, － )．11分
∵E、F都在雙曲線y= 上，
∴• =(6－2)( － )
化簡得：52-16+12=0
解得： 1=2，2= ．12分
當＝2時，AF=8－4=0，BF=4，F與B重合，不合題意，舍去．
當＝ 時，AF=8－4＝ ，BF=4－ = ．
∴ ．13分
25. (1)在菱形ABCD中，
∵AC⊥BD
∴AD= =50.
∴菱形ABCD的周長為200.4分
(2) 過點作P⊥AD，垂足為點P.
①當0＜t≤40
∵
∴P=
∴
= 6分
②當40<t ，∴
∵Sin
∴P=
∴
8分
∴
當0＜t≤40時，S隨t的增大而增大，當t＝40時，最大值為480.
當40＜t≤50時，S隨t的增大而減小，當t＝40時，最大值為480.
綜上所述，S的最大值為480. 9分
（3）存在2個點P，使得∠DPO=∠DON. 10分
方法一：過點N作NF⊥OD于點F，
則 ，DF=
∴OF=12，∴ 11分
作 的平分線交NF于點G，過點G作GH⊥ON于點H.
∴
∴FG=
∴
設OD中垂線與OD的交點為K，由對稱性可知：
∴ 12分
∴
∴PK= 13分
根據菱形的對稱性可知，在線段OD的下方存在與點P關于OD軸對稱的點 .
∴存在兩個點P到OD的距離都是 .14分
方法二：如圖，作ON的垂直平分線，交EF于點I，連結OI，IN.
過點N作NG⊥OD，NH⊥EF,垂足分別為G，H.
當t=30時，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO，
∴ ．
即 ． ∴NG=24,DG=18．10分
∵EF垂直平分OD，
∴OE= ED＝15，EG=NH=3．11分
設OI=R，EI=x,則
在Rt△OEI中，有R2=152+x2 ①
在Rt△NIH中，有R2=32+(24-x)2 ②
由①、②可得：
∴PE=PI+IE= ．13分
根據對稱性可得，在BD下方還存在一個點 也滿足條件．
∴存在兩個點P，到OD的距離都是 .14分
(注：只求出一個點P并計算正確的扣1分.)
源
本文來自：逍遙右腦記憶 /chusan/219662.html
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