山

（2013•牡丹江）已知∠ACD=90°，N是過點A的直線，AC=DC，DB⊥N于點B，如圖（1）．易證BD+AB= CB，過程如下：
過點C作CE⊥CB于點C，與N交于點E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．
∵四邊形ACDB內角和為360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．
∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．
又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB為等腰直角三角形，∴BE= CB．
又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB= CB．
（1）當N繞A旋轉到如圖（2）和圖（3）兩個位置時，BD、AB、CB滿足什么樣關系式，請寫出你的猜想，并對圖（2）給予證明．
（2）N在繞點A旋轉過程中，當∠BCD=30°，BD= 時，則CD=　2　，CB=　 +1�。�

考點：全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；旋轉的性質．3718684
分析：（1）過點C作CE⊥CB于點C，與N交于點E，證明△ACE≌△DCB，則△ECB為等腰直角三角形，據此即可得到BE= CB，根據BE=AB?AE即可證得；
（2）過點B作BH⊥CD于點H，證明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的長，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得．
解答：（1）如圖（2）：AB?BD= CB．
證明：過點C作CE⊥CB于點C，與N交于點E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°?∠DCE，∠BCD=90°?∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥N，
∴∠CAE=90°?∠AFC，∠D=90°?∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE= CB．
又∵BE=AB?AE，
∴BE=AB?BD，
∴AB?BD= CB．

如圖（3）：BD?AB= CB．
證明：過點C作CE⊥CB于點C，與N交于點E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥N，
∴∠CAE=90°?∠AFB，∠D=90°?∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE= CB．
又∵BE=AE?AB，
∴BE=BD?AB，
∴BD?AB= CB．

（2）如圖（1），過點B作BH⊥CD于點H，
∵∠ABC=45°，DB⊥N，
∴∠CBD=135°，
∵∠BCD=30°，
∴∠CBH=60°，
∴∠DBH=75°，
∴∠D=15°，
∴BH=BD•sin45°，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴DH=BH= BD= × =1，
∵∠BCD=30°
∴CD=2DH=2，
∴CH= = ，
∴CB=CH+BH= +1；

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性質是全等三角形的對應邊相等，對應角相等．
�。�2013•綏化）如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，每個小正方形的頂點叫格點，△ABC的頂點均在格點上，請按要求完成下列步驟：
（1）畫出將△ABC向右平移3個單位后得到的△A1B1C1，再畫出將△A1B1C1繞點B1按逆時針方向旋轉90°后所得到的△A2B1C2；
（2）求線段B1C1旋轉到B1C2的過程中，點C1所經過的路徑長．

考點：作圖-旋轉變換；作圖-平移變換．3718684
分析：（1）根據平移的性質得出對應點位置以及利用旋轉的性質得出對應點位置畫出圖形即可；
（2）根據弧長計算公式求出即可．
解答：解：（1）如圖所示：

（2）點C1所經過的路徑長為： =2π．

點評：此題主要考查了圖形的旋轉與平移變換以及弧長公式應用等知識，根據已知得出對應點位置是解題關鍵．
　（2013•河南）如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，
∠B=∠E=30°.
（1）操作發現
如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉，當點D恰好落在AB邊上時，：
①線段DE與AC的位置關系是_________；
②設△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數量關系是_________________.

（2）猜想論證
當△DEC繞點C旋轉到圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數量關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC
中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想.

（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，點D是其角平分線上一點，BD=CD=4，DE//AB交BC于點E（如圖4）.
若在射線BA上存在點F，使S△DCF=S△BDE，
請直接寫出相應的BF的長.

（2013•畢節地區）四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點，且DE=BF，連接AE、AF、EF．
（1）求證：△ADE≌△ABF；
（2）：△ABF可以由△ADE繞旋轉中心　A　 點，按順時針方向旋轉　90　 度得到；
（3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面積．

考點：旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；正方形的性質．
專題：證明題．
分析：（1）根據正方形的性質得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易證得△ADE≌△ABF；
（2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，則∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，根據旋轉的定義可得到△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到；
（3）先利用勾股定理可計算出AE=10，在根據△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根據直角三角形的面積公式計算即可．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，
而F是DCB的延長線上的點，
∴∠ABF=90°，
在△ADE和△ABF中
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；

（2）解：∵△ADE≌△ABF，
∴∠BAF=∠DAE，
而∠DAE+∠EBF=90°，
∴∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，
∴△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到；
故答案為A、90；

（3）解：∵BC=8，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，
∴AE= =10，
∵△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴△AEF的面積=AE2=×100=50（平方單位）．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了全等三角形的判定與性質以及勾股定理．
15.（2013•昆明）在平面直角坐標系中，四邊形ABCD的位置如圖所示，解答下列問題：（1）將四邊形ABCD先向左平移4個單位，再向下平 移6個單位，得到四邊形A1B1C1D1，畫出平移后的四邊形A1B1C1D1；
（2）將四邊形A1B1C1D1繞點A1逆時針旋轉90?，得到四邊形A1B2C2D2,,畫出旋轉后的四邊形A1B2C2D2，并寫出點C2的坐標。

（2013•邵陽）如圖所示，將△ABC繞AC的中點O順時針旋轉180°得到△CDA，添加一個條件　∠B=90°　，使四邊形ABCD為矩形．

考點：旋轉的性質；矩形的判定．
專題：開放型．
分析：根據旋轉的性質得AB=CD，∠BAC=∠DCA，則AB∥CD，得到四邊形ABCD為平行四邊形，根據有一個直角的平行四邊形為矩形可添加的條件為∠B=90°．
解答：解：∵△ABC繞AC的中點O順時針旋轉180°得到△CDA，
∴AB=CD，∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
當∠B=90°時，平行四邊形ABCD為矩形，
∴添加的條件為∠B=90°．
故答案為∠B=90°．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了矩形的判定．
（2013•柳州） 如圖，將小旗ACDB放于平面直角坐標系中，得到各頂點的坐標為A（?6，12），B（?6，0），C（0，6），D（?6，6）．以點B為旋轉中心，在平面直角坐標系內將小旗順時針旋轉90°．
（1）畫出旋轉后的小旗A′C′D′B′；
（2）寫出點A′，C′，D′的坐標；
（3）求出線段BA旋轉到B′A′時所掃過的扇形的面積．

考點：作圖-旋轉變換；扇形面積的計算．
專題：作圖題．
分析：（1）根據平面直角坐標系找出A′、C′、D′、B′的位置，然后順次連接即可；
（2）根據旋轉的性質分別寫出點A′，C′，D′的坐標即可；
（3）先求出AB的長，再利用扇形面積公式列式計算即可得解．
解答：解：（1）小旗A′C′D′B′如圖所示；

（2）點A′（6，0），C′（0，?6），D′（0，0）；

（3）∵A（?6，12），B（?6，0），
∴AB=12，
∴線段BA旋轉到B′A′時所掃過的扇形的面積= =36π．

點評：本題考查了利用旋轉變換作圖，扇形的面積計算，熟練掌握旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關鍵．
（2013•茂名）在格紙上按以下要求作圖，不用寫作法：
（1）作出“小旗子”向右平移6格后的圖案；
（2）作出“小旗子”繞O點按逆時針方向旋轉 后的圖案.

山
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