第二十七章圓章末測試（二）
總分120分120分鐘
一．選擇題（共8小題，每題 3分）
1．如圖，BC是⊙O的直徑，AD⊥BC，若∠D=36°．則∠BAD的度數是（ �。�
A．72° B．54° C．45° D．36°
2．將 沿弦BC折疊，交直徑AB于點D，若AD=4，DB=5，則BC的長是（ �。�
A．3 B．8 C． D．2
3．如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且點C、D在AB的異側，連結AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，則∠AOD的度數為（ �。�
A．70° B．60° C．50° D．40°
4．如圖，等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，⊙O1經過⊙O2的圓心O2，連接AO1并延長交⊙O1于點C，則∠ACO2的度數為（ ）
A．60° B．45° C．30° D．20°
5．關于半徑為5的圓，下列說法正確的是（ �。�
A．若有一點到圓心的距離為5，則該點在圓外
B．若有一點在圓外，則該點到圓心的距離不小于5
C．圓上任意兩點之間的線段長度不大于10
D．圓上任意兩點之間的部分可以大于10π
6．如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點C，聯結BC，若∠A=36°，則∠C等于（ �。�
A．36° B．54° C．60° D．27°
7．如圖，PA與⊙O相切于點A，PO的延長線與⊙O交于點C，若⊙O的半徑為3，PA=4．弦AC的長為（ �。�
A．5 B． C． D．
8．如圖，PA切⊙O于點A，PB切⊙O于點B，如果∠APB=60°，⊙O半徑是3，則劣弧AB的長為（ �。�
A． B．π C．2π D．4π
二．填空題（共6小題，每題3分）
9．在邊長為1的3×3的方格中，點B、O都在格點上，則劣弧BC的長是 _________�。�
10．已知扇形弧長為2π，半徑為3cm，則此扇形所對的圓心角為 _________ 度．
11．已知⊙A的半徑為5，圓心A（3，4），坐標原點O與⊙A的位置關系是 _________ ．
12．如圖，⊙O的半徑OC=5cm，直線l⊥OC，垂足為H，且l交⊙O于A、B兩點，AB=8cm，則l沿OC所在直線向下平移 _________ cm時與⊙O相切．
13．如圖，∠APB=30°，點O是射線PB上的一點，OP=5cm，若以點O為圓心，半徑為1.5cm的⊙O沿BP方向移動，當⊙O與PA相切時，圓心O移動的距離為 _________ cm．
14．如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點H，若∠D=30°，CH=1cm，則AB= _________ cm．
三．解答題（共10小題）
15．（6分）如圖，點A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，C是弧AB的中點．
（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）若BC=6 cm，求圖中陰影部分的面積．
16．（6分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為△ABC的高，以AD為直徑的⊙0與AB、AC兩邊分別交于點E、F．連接DE、DF．
（1）求證：BE=CF；
（2）若AD=BC=2 ．求ED的長．
17．（6分）如圖，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點（不與A，C重合），延長BD至E．
（1）求證：AD的延長線平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，且△ABC底邊BC邊上高為1，求△ABC外接圓的周長．
18．（8分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，OD⊥AC，垂足為E，連接BD
（1）求證：BD平分∠ABC；
（2）當∠ODB=30°時，求證：BC=OD．
19．（8分）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點E．
（1）求證：△ADE∽△BCE；
（2）如果AD2=AE•AC，求證：CD=CB．
20．（8分）如圖，以AB為直徑的⊙O交∠BAD的角平分線于C，過C作CD⊥AD于D，交AB的延長線于E．
（1）求證：CD為⊙O的切線．
（2）若 = ，求cos∠ DAB．
21．（8分）如圖，AC=BC，∠C=90°，點E在AC上，點F在BC上，CE=CF，連結AF和BE，點O在BE上，⊙O經過點B、F，交BE于點G．
（1）求證：△ACF≌△BCE；
（2）求證：AF是⊙O的切線．
22．（8分）如圖，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圓，點P在直徑BD的延長線上，且AB=AP．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若AB=2 ，求圖中陰影部分的面積．（結果保留π和根號）
23．（10分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，∠AOC=60°，OC=2．
（1）求OE和CD的長；
（2）求圖中陰影部分的面積．
24．（10分）如圖，已知點A、B、C、D均在已知圓上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四邊形ABCD的周長為15．
（1）求此圓的半徑；
（2）求圖中陰影部分的面積．
第二十七章圓章末測試（二）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．如圖，BC是⊙O的直徑，AD⊥BC，若∠D=36°．則∠BAD的度數是（ �。�
A． 72° B．54° C．45° D． 36°
考點： 圓周角定理．
分析： 先根據圓周角定理求出∠B的度數，再根據AD⊥BC求出∠AEB的度數，根據直角三角形的性質即可得出結論．
解答： 解：∵∠B與∠D是同弧所對的圓周角，∠D=36°，
∴∠B=36°．
∵AD⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAD=90°?36°=54°．
故選B．
點評： 本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等是解答此題的關鍵．
2．將 沿弦BC折疊，交直徑AB于點D，若AD=4，DB=5，則BC的長是（ ）
A． 3 B．8 C． D． 2
考點： 圓周角定理；翻折變換（折疊問題）；射影定理．
專題： 計算題．
分析： 若連接CD、AC，則根據同圓或等圓中，相等的 圓周角所對的弦相等，求得AC=CD；過C作AB的垂線，設垂足為E，則DE= AD，由此可求出BE的長，進而可在Rt△ABC中，根據射影定理求出BC的長．
解答： 解：連接CA、CD；
根據折疊的性質，知 所對的圓周角等于∠CBD，
又∵ 所對的圓周角是∠CBA，
∵∠CBD=∠CBA，
∴AC=CD（相等的圓周角所對的弦相等）；
∴△CAD是等腰三角形；
過C作CE⊥AB于E．
∵AD=4，則AE=DE=2；
∴BE=BD+DE=7；
在Rt△ACB中，CE⊥AB，根據射影定理，得：
BC2=BE•AB=7×9=63；
故BC=3 ．
故選A．
點評： 此題考查的是折疊的性質、圓周角定理、以及射影定理；能夠根據圓周角定理來判斷出△ACD是等腰三角形，是解答此題的關鍵．
3．如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且點C、D在AB的異側，連結AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，則∠AOD的度數為（ �。�
A． 70° B．60° C．50° D． 40°
考點： 圓的認識；平行線的性質．
分析： 首先由AD∥OC可以得到∠BOC=∠DAO，又由OD=OA得到∠ADO=∠DAO，由此即可求出∠AOD的度數．
解答： 解：∵AD∥OC，
∴∠AOC=∠DAO=70°，
又∵OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO=70°，
∴∠AOD=180?70°?70°=40°．
故選D．
點評： 此題比較簡單，主要考查了平行線的性質、等腰三角形的性質，綜合利用它們即可解決問題．
4．如圖，等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，⊙O1經過⊙O2的圓心O2，連接AO1并延長交⊙O1于點C，則∠ACO2的度數為（ ）
A． 60 ° B．45° C．30° D． 20°
考點： 相交兩圓的性質；等邊三角形的判定與性質；圓周角定理．
分析： 利用等圓的性質進而得出△AO1O2是等邊三角形，再利用圓周角定理得出∠ACO2的度數．
解答： 解：連接O1O2，AO2，
∵等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，⊙O1經過⊙O2的圓心O2，連接AO1并延長交⊙O1于點C，
∴AO1=AO2=O1O2，
∴△AO1O2是等邊三角形，
∴∠AO1O2=60°，
∴∠ACO2的度數為；30°．
故選：C．
點評： 此題主要考查了相交兩圓的性質以及等邊三角形的判定和圓周角定理等知識，得出△AO1O2是等邊三角形是解題關鍵．
5．關于半徑為5的圓，下列說法正確的是（ ）
A． 若有一點到圓心的距離為5，則該點在圓外
B． 若有一點在圓外，則該點到圓心的距離不小于5
C． 圓上任意兩點之間的線段長度不大于10
D． 圓上任意兩點之間的部分可以大于10π
考點： 點與圓的位置關系．
分析： 根據點與圓的位置關系進而分別判斷得出即可．
解答： 解：A、關于半徑為5的圓，有一點到圓心的距離為5，則該點在圓上，故此選項錯誤；
B、關于半徑為5的圓，若有一點在圓外，則該點到圓心的距離大于5，故此選項錯誤；
C、圓上任意兩點之間的線段長度不大于10，此選項正確；
D、圓上任意兩點之間的部分不可以大于10π，故此選項錯誤；
故選：C．
點評： 此題主要考查了點與圓的位置關系，點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有：
①點P在圓外⇔d＞r，②點P在圓上⇔d=r，③點P在圓內⇔d＜r．
6．如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點C，聯結BC，若∠A=36°，則∠C等于（ �。�
A． 36° B．54° C．60° D． 27°
考點： 切線的性質．
分析： 根據題目條件易求∠BOA，根據圓周角定理求出∠C= ∠BOA，即可求出答案．
解答： ∵AB與⊙O相切于點B，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=36°，
∴∠BOA=54°，
∴由圓周角定理得：∠C= ∠BOA=27°，
故選D．
點評： 本 題考查了三角形內角和定理，切線的性質，圓周角定理的應用，關鍵是求出∠BOA度數．
7．如圖，PA與⊙O相切于點A，PO的延長線與⊙O交于點C，若⊙O的半徑為3，PA=4．弦AC的長為（ �。�
A． 5 B． C． D．
考點： 切線的性質；相似三角形的判定與性質．菁優網版權 所有
專題： 壓軸題．
分析： 連接AO，AB，因為PA是切線，所以∠PAO=90°，在Rt△PAO中，PA=4，OA=3，故PO=5，所以PB=2；BC是直徑，所以∠BAC=90°，∠PAB和∠CAO都是∠BAO的余角，
進而證明△PAB∽△PCA，利用相似三角形的性質即可求出BA和AC的比值，進一步利用勾股定理即可求出AC的長．
解答： 解：連接AO，AB，因為PA是切線，所以∠PAO=90°，在Rt△PAO中，PA=4，OA=3，故PO=5，
所以PB=2；
∵BC是直徑，
∴∠BAC=90°，
因為∠PAB和∠CAO都是∠BAO的余角，
所以∠PAB=∠CAO，
又因為∠CAO=∠ACO，
所以∠PAB=∠ACO，
又因為∠P是公共角，
所以△PAB∽△PCA，
故 ，
所以 ，
在Rt△BAC中，AB2+（2AB）2=62；
解得：AB= ，
所以AC=
故選：D．
點評： 本題考查了切線的性質、圓周角定理、相似三角形的判定和性質以及勾股定理的應用，題目的綜合性很強，難度中等．
8．如圖，PA切⊙O于點A，PB切⊙O于點B，如果∠APB=60°，⊙O半徑是3，則劣弧AB的長為（ �。�
A． B．π C．2π D． 4π
考點： 弧長的計算；切線的性質．
分析： 連接OA，OB，根據切線的性質，以及四邊形的內角和定理求得∠AOB的度數，利用弧長的計算公式即可求解．
解答： 解：連接OA，OB．
則OA⊥PA，OB⊥PB
∵∠APB=60°
∴∠AOB=120°
∴劣弧AB的長是： =2π．
故選C．
點評： 本題主要考查了切線的性質定理以及弧長的計算公式，正確求得∠AOB的度數是解題的關鍵．
二．填空題（共6小題）
9．在邊長為1的3×3的方格中，點B、O都在格點上，則劣弧BC的長是 ．
考點： 弧長的計算．
分析： 根據網格得出BO的長，再利用弧長公式計算得出即可．
解答： 解：如圖所示：∠BOC=45°，BO=2 ，
∴劣弧BC的長是： = ．
故答案為： ．
點評： 此題主要考查了弧長公式的應用，熟練記憶弧長公式是解題關鍵．
10．已知扇形弧長為2π，半徑為3cm，則此扇形所對的圓心角為 120 度．
考點： 弧長的計算．
分析： 直接利用扇形弧長公式代入求出即可．
解答： 解：∵扇形弧長為2π，半徑為3cm，
∴l= =2π，即 =2π，
解得：n=120°，
∴ 此扇形所對的圓心角為：120°．
故答案為：120．
點評： 此題主要考查了弧長公式的應用，正確利用弧長公式是解題關鍵．
11．已知⊙A的半徑為5，圓心A（3，4），坐標原點O與⊙A的位置關系是 在⊙A上 ．
考點： 點與圓的位置關系；坐標與圖形性質．
分析： 先根據兩點間的距離公式計算出OA，然后根據點與圓的位置關系的判定方法判斷點O與⊙A的位置關系．
解答： 解：∵點A的坐標為（4，3），
∴OA= =5，
∵半徑為5，
而5=5，
∴點O在⊙A上．
故答案為：在⊙A上．
點評： 本題考查了點與圓的位置關系：點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，當點P在圓外⇔d＞r；當點P在圓上⇔d=r；當點P在圓內⇔d＜r．
12．如圖，⊙O的半徑OC=5cm，直線l⊥OC，垂足為H，且l交⊙O于A、B兩點，AB=8cm，則l沿OC所在直線向下平移 2 cm時與⊙O相切．
考點： 直線與圓的位置關系；垂徑定理．
分析： 根據直線和圓相切，則只需滿足OH=5．又由垂徑定理構造直角三角形可求出此時OH的長，從而計算出平移的距離．
解答： 解：∵直線和圓相切時，OH=5，
又∵在直角三角形OHA中，HA= =4，OA=5，
∴OH=3．
∴需要平移5?3=2cm．故答案為：2．
點評： 本題考查垂徑定理及直線和圓的位置關系．注意：直線和圓相切，則應滿足d=R．
13．如圖，∠APB=30°，點O是射線PB上的一點，OP=5cm，若以點O為圓心，半徑為1.5cm的⊙O沿BP方向移動，當⊙O與PA相切時，圓心O移動的距離為 2或8 cm．
考點： 直線與圓的位置關系．
分析： 首先根據題意畫出圖形，然后由切線的性質，可得∠O′CP=90°，又由∠APB=30°，O′C=1cm，即可求得O′P的長，繼而求得答案．
解答： 解：①如圖1，當⊙O平移到⊙O′位置時，⊙O與PA相切時，且切點為C，
連接O′C，則O′C⊥PA，
即∠O′CP=90°，
∵∠APB=30°，O′C=1.5cm，
∴O′P=2O′C=3cm，
∵OP=5cm，
∴OO′=OP?O′P=2（cm）；
②如圖2：同理可得：O′P=3cm，
∴O′O=8cm．
故答案為：2或8．
點評： 此題考查了切線的性質與含30°角的直角三角形的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．
14．如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點H，若∠D=30°，CH=1cm，則AB= 2 cm．
考點： 垂徑定理．
專題： 推理填空題．
分析： 連接AC、BC．利用圓周角定理知∠D=∠B，然后根據已知條件“CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點H”，利用垂徑定理知BH= AB；最后再由直角三角形CHB的正切函數求得BH的長度，從而求得AB的長度．
解答： 解：連接AC、BC．
∵∠D=∠B（同弧所對的圓周角相等），∠D=30° ，
∴∠B=30°；
又∵CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點H，
∴BH= AB；
在Rt△CHB中，∠B=30°，CH=1cm，
∴BH= ，即BH= ；
∴AB=2 cm．
故答案是：2 ．
點評： 本題考查了垂徑定理和直角三角形的性質，解此類題目要注意將圓的問題轉化成三角形的問題再進行計算．
三．解答題（共10小題）
15．如圖，點A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，C是弧AB的中點．
（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）若BC=6 cm，求圖中陰影部分的面積．
考點： 圓周角定理；等邊三角形的判定與性質；圓心角、弧、弦的關系；扇形面積的計算．
分析： （1）先由C是弧AB的中點可得出 = ，由圓周角定理可知∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°，再由三角形內角和定理可知∠ACB=60°，故可得出結論；
（2）連接BO、OC，過O作OE⊥BC于E，由垂徑定理可得出BE的長，根據圓周角定理可得出∠BOC的度數，在Rt△BOE中由銳角三角函數的定義求出OB的長，根據S陰影=S扇形?S△BOC即可得出結論．
解答： 解：（1）△ABC是等邊三角形．
∵C是弧AB的中點，
∴ = ，
∴∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠ BDC=60°
∴∠ACB=60°，
∴AC=AB=BC，
∴△ABC是等邊三角形；
（2）連接BO、OC，過O作OE⊥BC于E，
∵BC=6 cm，
∴BE=EC=3 cm，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BOE=60°，在Rt△BOE中，sin60°= ，
∴OB=6cm，
∴S扇形= =12πcm2，
∵S△BOC= ×6 ×3=9 cm2，
∴S陰影=12π?9 cm2，
答：圖中陰影部分的面積是（12π?9 ）cm2．
點評： 本題考查的是圓周角定理、垂徑定理及扇形的面積等相關知識，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．
16．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為△ABC的高，以AD為直徑的⊙0與AB、AC兩邊分別交于點E、F．連接DE、DF．
（1）求證：BE=CF；
（2）若AD=BC=2 ．求ED的長．
考點： 圓周角定理；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；勾股定理．
分析： （1）根據等腰三角形“三合一”的性質推知∠1=∠2．由“直徑所對的圓周角是直角”得到∠AED=∠AFD=90°．則根據角平分線的性質證得結論；
（2）在直角△ABD中利用勾股定理求得斜邊AB的長度，然后根據面積法來求ED的長度．
解答： （1）證明：如圖，∵在△ABC中，AB=AC，AD為△ABC的高，
∴∠1=∠2．
又∵AD為直徑，
∴∠AED=∠AFD=90°，即DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE =DF；
（2）如圖，∵在△ABC中，AB=AC，AD為△ABC的高，AD=BC=2 ．
∴BD=CD= BC= ．
∴由勾股定理得到AB= =5．
∵由（1）知DE⊥AB，
∴ AD•BD= AB•ED，
∴ED= = =2．
故ED的長為2．
點評： 本題考查了等腰三角形的性質、勾股定理．注意，勾股定理應用于直角三角形中．
17．如圖，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點（不與A，C重合），延長BD至E．
（1）求證：AD的延長線平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，且△ABC底邊BC邊上高為1，求△ABC外接圓的周長．
考點： 圓周角定理；勾股定理；垂徑定理．
分析： （1）要證明AD的延長線平分∠CDE，即證明∠EDF=∠CDF，轉化為證明∠ADB=∠CDF，再根據A，B，C，D四點共圓的性質，和等腰三角形角之間的關系即可得到．
（2）求△ABC外接圓的面積，只需解出圓半徑，故作等腰三角形底邊上的垂直平分線即過圓心，再連接OC，根據角之間的關系在三角形內即可求得圓半徑，可得到外接圓面積．
解答： （1）證明：如圖，設F為AD延長線上一點，
∵A，B，C，D四點共圓，
∴∠CDF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠CDF，
∵∠ADB=∠EDF（對頂角相等），
∴∠EDF=∠CDF，
即AD的延長線平分∠CDE．
（2）解：設O為外接圓圓心，連接AO比延長交BC于H，連接OC，
∵AB=AC，
∴ = ，
∴AH⊥BC，
∴∠OAC=∠OAB= ∠BAC= ×30°=15°，
∴∠COH=2∠OAC=30°，
設圓半徑為r，
則OH=OC•cos30°= r，
∵△ABC中BC邊上的高為1，
∴AH=OA+OH=r+ r=1，
解得：r=2（2? ），
∴△ABC的外接圓的周長為：4π（2? ）．
點評： 此題主要考查圓內接多邊形的性質、圓周角定理、等腰三角形的性質以及三角形的外接圓的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與方程思想的應用．
18．如圖，⊙O是△ABC的 外接圓，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，OD⊥AC，垂足為E，連接BD
（1）求證：BD平分∠ABC；
（2）當∠ODB=30°時，求證：BC=OD．
考點： 圓周角定理；含30度角的直角三角形；垂徑定理．
專題： 證明題；壓軸題．
分析： （1）由OD⊥AC OD為半徑，根據垂徑定理，即可得 = ，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可證得BD平分∠ABC；
（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度數，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度數，然后由AB是⊙O的直徑，根據圓周角定理，可得∠ACB=90°，繼而可證得BC=OD．
解答： 證明：（1）∵OD⊥AC OD為半徑，
∴ = ，
∴∠CBD=∠ABD，
∴BD平分∠ABC；
（2）∵OB=OD，
∴∠OBD=∠0DB=30°，
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，
又∵OD⊥AC于E，
∴∠OEA=90°，
∴∠A=180°?∠OEA?∠AOD=180°?90°?60°=30°，
又∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，BC= AB，
∵OD= AB，
∴BC=OD．
點評： 此題考查了圓周角定理、垂徑定理以及直角三角形的性質等知識．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．
19．如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點E．
（1）求證：△ADE∽△BCE；
（2）如果AD2=AE•AC，求證：CD=CB．
考點： 圓周角定理；相似三角形的判定與性質．
專題： 證明題．
分析： （1）由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得∠A=∠B，又由對頂角相等，可證得：△ADE∽△BCE；
（2）由AD2=AE•AC，可得 ，又由∠A是公共角，可證得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直徑，以求得AC⊥BD，由垂徑定理即可證得CD=CB．
解答： 證明：（1）如圖，∵∠A與∠B是 對的圓周角，
∴∠A=∠B，
又∵∠1=∠2，
∴△ADE∽△BCE；
（2）如圖，
∵AD2=AE•AC，
∴ ，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED=∠ADC，
又∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
即∠AED=90°，
∴直徑AC⊥BD，
∴ = ，
∴CD=CB．
點評： 此題考查了圓周角定理、垂徑定理一相似三角形的判定與性質．此題難度不大，注意數形結合思想的應用．
20．如圖，以AB為直徑的⊙O交∠BAD的角平分線于C，過C作CD⊥AD于D，交AB的延長線于E．
（1）求證：CD為⊙O的切線．
（2）若 = ，求cos∠DAB ．
考點： 切線的判定；角平分線的性質；勾股定理；解直角三角形．
專題： 幾何綜合題．
分析： （1）連接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根據切線的判定判斷即可；
（2）連接BC，可證明△ACD∽△ABC，得出比例式，求出BC，求出圓的直徑AB，再根據勾股定理得出CE，即可求出答案．
解答： （1）證明：連接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC為⊙O半徑，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：連接BC，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB，
∵ = ，
∴令CD=3，AD=4，得AC=5，
∴ = ，
= ，
∴BC= ，
由勾股定理得AB= ，
∴OC= ，
∵OC∥AD，
∴ = ，
∴ = ，
解得AE= ，
∴cos∠DAB= = = ．
點評： 本題考查了切線的判定以及角平分線的定義、勾股定理和解直角三角形，是中學階段的重點內容．
21．如圖，AC=BC，∠C=90°，點E在AC上，點F在BC上，CE=CF，連結AF和BE，點O在BE上，⊙O經過點B、F，交BE于點G．
（1）求證：△ACF≌△BCE；
（2）求證：AF是⊙O的切線．
考點： 切線的判定；全等三角形的判定與性質．
專題： 證明題．
分析： （1）利用“SAS”證明△ACF≌△BCE；
（2）連結OF，如圖，根據全等三角形的性質，由△ACF≌△BCE得到∠A=∠B，則∠B+∠AFC=90°，加上∠B=∠OFB，所以∠OFB+∠AFC=90°，則∠AFO=90°，然后根據切線的判定定理即可得到AF是⊙O的切線．
解答： 證明：（1）在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS）；
（2）連結OF，如圖，
∵△ACF≌△BCE，
∴∠A=∠B，
而∠A+∠AFC= 90°，
∴∠B+∠AFC=90°，
∵OB=OF，
∴∠B=∠OFB，
∴∠OFB+∠AFC=90°，
∴∠AFO=90°，
∴OF⊥AF，
∴AF是⊙O的切線．
點評： 本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑；當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．也考查了全等三角形的判定與性質．
22．如圖，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圓，點P在直徑BD的延長線上，且AB=AP．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若AB=2 ，求圖中陰影部分的面積．（結果保留π和根號）
考點： 切線的判定；扇形面積的計算．
分析： （1）如圖，連接OA；證明∠OAP=90°，即可解決問題．
（2）如圖，作輔助線；求出OM=1，OA=2；求出△AOB、扇形AOB的面積，即可解決問題．
解答： 解：（1）如圖，連接OA；
∵∠C=60°，
∴∠AOB=120°；而OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°；而AB=AP，
∴∠P=∠ABO=30°；
∵∠AOB=∠OAP+∠P，
∴∠OAP=120°?30°=90°，
∴PA是⊙O的切線．
（2）如圖，過點O作OM⊥AB，則AM=BM= ，
∵tan30°= ，sin30°= ，
∴OM=1，OA=2；
∴ = × ×1= ，
= ，
∴圖中陰影部分的面積= ．
點評： 該題主要考查了切線的判定、扇形的面積公式及其應用問題；解題的關鍵是作輔助線；靈活運用圓周角定理及其推論、垂徑定理等幾何知識點來分析、判斷、解答．
23．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，∠AOC=60°，OC=2．
（1）求OE和CD的長；
（2）求圖中陰影部分的面積．
考點： 扇形面積的計算；垂徑定理．
分析： （1）在△OCE中，利用三角函數即可求得CE，OE的長，再根據垂徑定理即可求得CD的長；
（2）根據半圓的面積減去△ABC的面積，即可求解．
解答： 解：（1）在△OCE中，
∵∠CEO=90°，∠EOC=60°，OC=2，
∴OE= OC=1，
∴CE= OC= ，
∵OA⊥CD，
∴CE=DE，
∴CD= ；
（2）∵S△ABC= AB•EC= ×4× =2 ，
∴ ．
點評： 本題主要考查了垂徑定理以及三角函數，一些不規則的圖形的面積可以轉化為規則圖形的面積的和或差求解．
24．如圖，已知點A、B、C、D均在已知圓上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四邊形ABCD的周長為15．
（1）求此圓的半徑；
（2）求圖中陰影部分的面積．
考點： 扇形面積的計算；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理．
分析： （1）根據條件可以證得四邊形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=DC，∠BDC=90°，在直角△BDC中，BC是圓的直徑，BC=2DC，根據四邊形ABCD的周長為15，即可求得BC，即可得到圓的半徑；
（2）根據S陰影=S扇形AOD?S△AOD即可求解．
解答： 解：（1）∵AD∥BC，∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠DCB=180°?∠BAD=180°?120°=60°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=30°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠BDC=90°
∴BC是圓的直徑．
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°
∴ = = ，∠BCD=60°
∴AB=AD=DC，
∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°，
在直角△BDC中，BC是圓的直徑，BC=2DC．
∴BC+ BC=15，
解得：BC=6
故此圓的半徑為3．
（2）設BC的中點為O，由（1）可知O即為圓心．
連接OA，OD，過O作OE⊥AD于E．
在直角△AOE中，∠AOE=30°
∴OE=OA•cos30°=
S△AOD= ×3× = ．
∴S陰影=S扇形AOD?S△AOD= ? = ? = ．
點評： 本題主要考查了扇形的面積的計算，正確證得四邊形ABCD是等腰梯形，是解題的關鍵．
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