26.1.1二次函數的定義
一．選擇題（共8小題）
1．在下列y關于x的函數中，一定是二次函數的是（ �。�
A．y=x2 B．y= C．y=kx2 D．y=k2x
2．下列各式中，y是x的二次函數的是（ �。�
A．xy+x2=2 B．x2?2y+2=0 C． y= D．y2?x=0
3．下列函數中，屬于二次函數的是（ ）
A．y= B．y=2（x+1）（x?3） C．y=3x?2 D．y=
4．下列函數是二次函數的是（ �。�
A．y=2x+1 B．y=?2x+1 C．y=x2+2 D．y= x?2
5．下列函數中，屬于二次函數的是（ �。�
A．y=2x?3 B．y=（x+1）2?x2 C．y=2x2?7x D．y= ?
6．已知函數①y=5x?4，②t= x2?6x，③y=2x3?8x2+3，④y= x2?1，⑤y= +2，其中二次函數的個數為（ �。�
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列四個函數中，一定是二次函數的是（ ）
A． B．y=ax2+bx+c C．y=x2?（x+7）2 D．y=（x+1）（2x?1）
8．已知函數 y=（m+2） 是二次函數，則m等于（ �。�
A．±2 B．2 C．?2 D．±1
二．填空題（共6小題）
9．若y=（m+1） 是二次函數，則m的值為 _________�。�
10．已知y=（a+1）x2+ax是二次函數，那么a的取值范圍是 _________�。�
11．已知方程ax2+bx+cy=0（a≠0、b、c為常數），請你通過變形把它寫成你所熟悉的一個函數表達式的形式．則函數表達式為 _________ ，成立的條件是 _________ ，是 _________ 函數．
12．已知y=（a+2）x2+x?3是關于x的二次函數，則常數a應滿足的條件是 _________�。�
13．二次函數y=3x2+5的二次項系數是 _________ ，一次項系數是 _________�。�
14．已知y=（k+2） 是二次函數，則k的值為 _________�。�
三．解答題（共8小題）
15．已知函數y=（m2?m）x2+mx?2（m為常數），根據下列條件求m的值：
（1）y是x的一次函數；
（2）y是x的二次函數．
16．已知函數y=（m?1） +5x?3是二次函數，求m的值．
17．已知函數y=?（m+2）xm2?2（m為常數），求當m為何值時：
（1）y是x的一次函數？
（2）y是x的二次函數？并求出此時縱坐標為?8的點的坐標．
18．函數y=（kx?1）（x?3），當k為何值時，y是x的一次函數？當k為何值時，y是x的二次函數？
19．已知函數y=m• ，m2+m是不大于2的正整數，m取何值時，它的圖象開口向上？當x取何值時，y隨x的增大而增大？當x取何值時，y隨x的增大而減少？當x取何值時，函數有最小值？
20．己知y=（m+1 ） +m是關于x的二次函數，且當x＞0時，y隨x的增大而減小．求：
（1）m的值．
（2）求函數的最值．
21．已知 是x的二次函數，求出它的解析式．
22．如果函數y=（m?3） +mx+1是二次函數，求m的值．
26.1.1二次函數的定義
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．在下列y關于x的函數中，一定是二次函數的是（ �。�
A． y=x2 B．y= C．y=kx2 D． y=k2x
考點： 二次函數的定義．
分析： 根據二次函數的定義形如y=ax2+bx+c （ a≠0）是 二次函數．
解答： 解：A、是二次函數，故A符合提議；
B、是分式方程，故B錯誤；
C、k=0時，不 是函數，故C錯誤；
D、k=0是常函數，故D錯誤；
故選：A．
點評： 本題考查二次函數的定義，形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函數．
2．下列各式中，y是x的二次函數的是（ �。�
A． xy+x2=2 B．x2?2y+2=0 C．y= D． y2?x= 0
考點： 二次函數的定義．
分析： 整理成一般形式后，根據二次函數的定義判定即可．
解答： 解：A、整理為y= + ，不是二次函數，故此選項錯誤；
B、x2?2y+2=0變形，得y= x2+1，是二次函數，故此選項正確；
C、分母中含自變量，不是二次函數，故此選項錯誤；
D、y的指數是2，不是函數，故此選項錯誤．
故選B．
點評： 本題考查了二次函數的定義，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項．y?ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）也叫做二次函數的一般形式．
3．下列函數中，屬于二次函數的是（ �。�
A． y= B．y=2（x+1）（x?3） C．y=3x?2 D． y=
考點： 二次函數的定義．
分析： 根據反比例函數的定義，二次函數的定義，一次函數的定義對各選項分析判斷后利用排除法求解．
解答： 解：A、y= 是反比例函數，故本選項錯誤；
B、y=2（x+1）（x?3）=2x2?4x?6，是二次函數，故本選項正確；
C、y=3x?2是一次 函數，故本選項錯誤；
D、y= =x+ ，不是二次函數，故本選項錯誤．
故選B．
點評： 本題考查了二次函數的定義，解題關鍵是掌握一次函數、二次函數、反比例函數的定義．
4．下列函數是二次函數的是（ �。�
A． y=2x+1 B．y=?2x+1 C．y=x2+2 D ． y= x?2
考點： 二次函數的定義．
分析： 直接根據二次函數的定義判定即可．
解答： 解：A、y=2x+1，是一次函數，故此選項錯誤；
B、y=?2x+1，是一次函數，故此選項錯誤；
C、y=x2+2是二次函數，故此選項正確；
D、y= x?2，是一次函數，故此選項錯誤．
故選：C．
點評： 此題主要考查了二次函數的定義， 根據定義直接判斷是解題關鍵．
5．下列函數中，屬于二次函數的是（ �。�
A． y=2x?3 B．y=（x+1）2?x2 C．y=2x2?7x D． y=?
考點： 二次函數的定義．
分析： 二次函數是指未知數的最高次數為二次的多項式函數．二次函數可以表示為y=ax2+bx+c（a不為0）．
解答： 解：A、函數y=2x?3是一次函數，故本選項錯誤；
B、由原方程，得y=2x+1，屬于一次函數，故本選項錯誤；
C、函數y=2x2?7x符號二次函數的定義；故本選項正確；
D、y=? 不是整式；故本選項錯誤．
故選C．
點評： 本題考查了二次函數的定義．二次函數y=ax2+bx+c的定義條件是：a、b、c為常數，a≠0，自變量最高次數為2．
6．已知函數 ①y=5x?4，②t= x2?6x，③y=2x3?8x2+3，④y= x2?1，⑤y= +2，其中二次函數的個數為（ �。�
A． 1 B．2 C．3 D． 4
考點： 二次函數的定義．
分析： 首先去掉不是整式的函數，再利用二次函數的定義條件判定即可．
解答： 解：①y=5x?4，③y=2x3?8x2+3，⑤y= +2不符合二次函數解析式，
②t= x2?6x，④y= x2?1符合二次函數解析式，有兩個．
故選B．
點評： 本題考查二次函數的定義．
7．下列四個函數中，一定是二次函數的是（ �。�
A． B．y=ax2+bx+c C．y=x2?（x+7）2 D． y=（x+1）（2x?1）
考點： 二次函數的定義．
專題： 推理填空題．
分析： 根據二次函數的定義解答．
解答： 解：A、未知數的最高次數不是2，故本選項錯誤；
B、二次項系數a=0時，y=ax2+bx+c不是二次函數，故本選項錯誤；
C、∵y=x2?（x+7）2=?14x?49，即y=?14x?49，沒有二次項，故本選項錯誤；
D、由原方程得，y=2x2?x?1，符合二次函數的定義，故本選項正確．
故選：D．
點評： 本題主要 考查了二次函數的定義．二次函數是指未知數的最高次數為二次的多項式函數．二次函數可以表示為f（x）=ax2+bx+c（a≠0）．
8．已知函數 y=（m+2） 是二次函數，則m等于（ ）
A． ±2 B．2 C．?2 D． ±1
考點： 二次函數的定義．
專題： 計算題．
分析： 根據二次函數的定義，令m2?2=2，且m+2≠0，即可求出m的取值范圍．
解答： 解：∵y=（m+2） 是二次函數，
∴m2?2=2，且m+2≠0，
∴m=2，
故選B．
點評： 本題考查了二次函數的定義，要注意，二次項系數不能為0．
二．填空題（共6小題）
9．若y=（m+1） 是二次函數，則m的值為 7�。�
考點： 二次函數的定義．
分析： 根據二次函數的定義列出關于m的方程，求出m的值即可．
解答： 解：∵y=（m+1） 是二次函 數，
∴m2?6m?5=2，
∴m=7或m=?1（舍去）．
故答案為：7．
點評： 此題考查了二次函數的定義，關鍵是根據定義列出方程，在解題時要注意m+1≠0．
10．已知y=（a+1）x2+ax是二次函數，那么a的取值范圍是 a≠?1�。�
考點： 二次函數的定義．
分析： 根據二次函數的定義條件列出不等式求解即可．
解答： 解：根據二次函數的定義可得a+1≠0，
即a≠?1．
故a的取值范圍是a≠?1．
點評： 本題考查二次函數的定義．
11．已知方程ax2+bx+cy=0（a≠0、b、c為常數），請你通過變形把它寫成你所熟悉的一個函數表達式的形式．則函數表達式為 y=? x2? x ，成立的條件是 a≠0，c≠0 ，是 二次 函數．
考點： 二次函數的定義．
專題： 壓軸題．
分析： 函數通常情況下是用x表示y．注意分母不為0，二次項的系數不為0．
解答： 解：整理得函數表達式為y=? x2? x，成立的條件是a≠0，c≠0，是二次函數．
故答案為：y=? x2? x；a≠0，c≠0；二次．
點評： 本題考查常用的用一個字母表示出另一字母的函數，注意自變量的取值，及二次項系數的取值．
12．已知y=（a+2）x2+x?3是關于x的二次函數，則常數a應滿足的條件是 a≠?2�。�
考點： 二次函數的定義．
分析： 根據形如y=ax2+bx+c （a是不等于零的常數）是二次函數，可得答案．
解答： 解：由y=（a+2）x2+x?3是關于x的二次函數，得
a+2≠0．
解得a≠?2，
故 答案為：a≠?2．
點評： 本題考查了二次函數的定義，利用了二次函數的定義．
13．二次函數y=3x2+5的二次項系數是 3 ，一次項系數是 0�。�
考點： 二次函數的定義．
分析： 根據二次函數的定義解答即可．
解答： 解：二次函數y=3x2+5的二次項系數是3，一次項系數是0．
故答案為：3；0．
點評： 本題考查二次函數的定義，是基礎題，熟記概念是解題的關鍵，要注意沒有一次項，所以一次項系數看做是0．
14．已知y=（k+2） 是二次函數，則k的值為 1�。�
考點： 二次函數的定義．
分析： 利用二次函數的定義列方程求解即可．
解答： 解：∵y=（k+2） 是二次函數，
∴k2+k=2且≠0，解得k=1，
故答案為：1．
點評： 本題主要考查了二次函數的定義，熟記定義是解題的關鍵．
三．解答題（共8小題）
15．已知函數y=（m2?m）x2+mx?2（m為常數），根據下列條件求m的值：
（1）y是x的一次函數；
（2）y是x的二次函數．
考點： 二次函數的定義；一次函數的定義．
分析： 根據一次函和二次函數的定義可以解答．
解答： 解：（1）y是x的一次函數，則可以知道，m2?m=1，解之得：m=1，或m=0，又因為m≠0， 所以，m=1．
（2）y是x的二次函數，只須m2?m≠0，
∴m≠1和m≠0．
點評： 本題考查了一元二次方程的定義，熟記概念是解答本題的關鍵．
16．已知函數y=（m?1） +5x?3是二次函數，求m的值．
考點： 二次函數的定義．
分析： 根據二次函數是y=ax2+bx+c的形式，可得答案．
解答： 解：y=（m?1） +5x?3是二次函數，得
，
解得m=?1．
點評： 本題考查了二次函數，注意二次項的系數不等于零，二次項的次數是2．
17．已知函數y=?（m+2）xm2?2（m為常數），求當m為何值時：
（1）y是x的一次函數 ？
（2）y是x的二次函數？并求出此時縱坐標為?8的點的坐標．
考點： 二 次函數的定義；一次函數的定義．
分析： （1）根據形如y=kx（k≠0，k是常數）是一次函數，可得一次函數；
（2）根據形如y=ax2（a是常數，且a≠0）是二次函數，可得答案，根據函數值，可得自變量的值，可得符合條件的點．
解答： 解：（1）由y=?（m+2）xm2?2（m為常數），y是x的一次函數，得
，
解得m= ，
當m= 時，y是x的一次函數；
（2）y=?（m+2）xm2?2（m為常數），是二次函數 ，得
，
解得m=2，m=?2（不符合題意的要舍去），
當m=2時，y是x的二次函數，
當y=?8時，?8=?4x2，
解得x= ，
故縱坐標為? 8的點的坐標的坐標是（ ，0）．
點評： 本題考查了二次函數的定義，利用了二次函數的定義，一次函數的定義，注意二次項的系數不能為零．
18．函數y=（kx?1）（x?3），當k為何值時，y是x的一次函數？當k為何值時，y是x的二次函數？
考點： 二次函數的定義；二次函數的圖象．
分析： 利用一次函數與二次函數的定義分別分析得出即可．
解答： 解：∵y=（kx?1）（x?3）=kx2?3kx?x+3=kx2?（3k+1）x+3，
∴k= 0時，y是x的一次函數，
k≠0時，y是x的二次函數．
點評： 此題主要考查了二次函數與一函數的定義，正確把握有關 定義是解題關鍵．
19．已知函數y=m• ，m2+m是不大于2的正整數，m取何值時，它的圖象開口向上？當x取何值時，y隨x的增大而增大？當x取何值時，y隨x的增大而減少？當x取何值時，函數有最小值？
考點： 二次函數的定義；二次函數的性質．
分析： 根據二次函數的定義，可得m的值，根據二次函數的性質，可得函數圖象的增減性，根據頂點坐標公式，可得答案．
解答： 解：由y=m• ，m2+m是不大于2的正整數，得
當m2+m=2時．解得m=?2=或m=1；
當m2+m=1時，解得m= ，或m= ，
當m=1時，y=m• 的圖象開口向上；
當x＞0時，y隨x的增大而增大；
當x＜0時，y隨x的增大而減少；
當x=0時，函數有最小值，y最小=0．
點評： 本題考查了二次函數的定義，利用了二次函數的定義，二次函數的性質：a＞0時，對稱軸左側，y隨x的增大而減��；對稱軸的右側，y隨x的增大而增大；頂點坐標的縱坐標是函數的最小值．
20．己知y=（m+1） +m是關于x的二次函數，且當x＞0時，y隨x的增大而減�。螅�
（1）m的值．
（2）求函數的最值．
考點： 二次函數的定義．
分析： （1）根據y=（m+1） +m是關于x的二次函數，可得m2=2，再由當x＞0時，y隨x的增大而減小，可得m+1＜0，從而得出m的值；
（2）根據頂點坐標即可得出函數的最值．
解答： 解：（1）∵y=（m+1） +m是關于x的二次函數，
∴m2=2，解得m= ，
∵當x＞0時，y隨x的增大而減小，
∴m+1＜0，m=? ，m= （不符合題意，舍）；
（2）當x=0時，y最大=m=? ．
點評： 本題考查了二次函數的定義，利用了二次函數的定義，二次函數的性質．
21．已知 是x的二次函數，求出它的解析式．
考點： 二次函數的定義．
分析： 根據二次函數的定義列出不等式求解即可．
解答： 解：根據二次函數的定義可得：m2?2m?1=2，且m2?m≠0，
解得，m=3或m=?1；
當m=3時，y=6x2+9；
當m=?1時，y=2x2? 4x+1；
綜上所述，該二次函數的解析式為：y=6x2+9或y=2x2?4x+1．
點評： 本題考查二次函數的定義．一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項．y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）也叫做二次函數的一般形式．
22．如果函數y=（m?3） +mx+1是二次函數，求m的值．
考點 ： 二次函數的定義．
專題： 計算題．
分析： 根據二次函數的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數，即可答題．
解答： 解：根據二次函數的定義：m2?3m+2=2，且m?3≠0，
解得：m=0．
點評： 本題考查了二次函數的定義，屬于基礎題，比較簡單，關鍵是對二次函數定義的掌握．
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