1．（3分）（2013?荊門）?6的倒數是（ �。�
A．6B．?6C． D．?
考點：倒數．
分析：根據倒數的定義求解．
解答：解：?6的倒數是? ．
故選D．
點評：倒數的定義：若兩個數的乘積是1，我們就稱這兩個數互為倒數．
2．（3分）（2013?荊門）小明上網查得H7N9禽流感病毒的直徑大約是0.00000008米，用科學記數法表示為（ �。�
A．0.8×10?7米B．8×10?7米C．8×10?8米D．8×10?9米
考點：科學記數法—表示較小的數．
分析：絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10?n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
解答：解：0.00000008米用科學記數法表示為8×10?8米．
故選C．
點評：本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10?n，其中1≤a＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
3．（3分）（2013?荊門）過正方體上底面的對角線和下底面一頂點的平面截去一個三棱錐所得到的幾何體如圖所示，它的俯視圖為（ ）
A． B． C． D．
考點：簡單組合體的三視圖．
分析：俯視圖是從上向下看得到的視 圖，結合選項即可作出判斷．
解答：解：所給圖形的俯視圖是B選項所給的圖形．
故選B．
點評：本題考查了簡單組合體的三視圖，屬于基礎題，關鍵掌握俯視圖是從上向下看得到的視圖．
4．（3分）（2013?荊門）下列運算正確的是（ �。�
A．a8÷a2=a4B．a5?（?a）2=?a3C．a3?（?a）2=a5D．5a+3b=8ab
考點：同底數冪的除法；合并同類項；同底數冪的；冪的乘方與積的乘方．
分析：A、根據同底數冪的除法，底數不變指數相減；
B、D合并同類項，系數相加字母和字母的指數不變；
C、同底數冪的，底數不變指數相加；
對各選項計算后利用排除法求解．
解答：解：A、a8÷a2=a（8?2）=a6．故本選項錯誤；
B、a5?（?a）2=?a5+a2．故本選項錯誤；
C、a3?（?a）2=a3?a2=a（3+2）=a5．故本選項正確；
D、5a與3b不是同類項，不能合并．故本選項錯誤；
故選C．
點評：本題考查同底數冪的除法，合并同類項，同底數冪的乘法，冪的乘方很容易混淆，一定要記準法則才能做題．
5．（3分）（2013?荊門）在“大家跳起來”的鄉村學校舞蹈比賽中，某校10名學生參賽成績統計如圖所示．對于這10名學生的參賽成績，下列說法中錯誤的是（ �。�
A．眾數是90B．中位數是90C．平均數是90D．極差是15
考點：折線統計圖；算術平均數；中位數；眾數；極差．371868 4
分析：根據眾數、中位數、平均數、極差的定義和統計圖中提供的數據分別列出算式，求出答案．
解答：解：∵90出現了5次，出現的次數最多，
∴眾數是90；
∵共有10個數，
∴中位數是第5、6個數的平均數，
∴中位數是（90+90）÷2=90；
∵平均數是（80×1+85×2+90×5+95×2）÷10=89；
極差是：95?80=15；
∴錯誤的是C；
故選C．
點評：此題考查了折線統計圖，用到的知識點是眾數、中位數、平均數、極差，關鍵是能從統計圖中獲得有關數據，求出眾數、中位數、平均數、極差．
6．（3分）（2013?荊門）若反比例函數y= 的圖象過點（?2，1），則一次函數y=kx?k的圖象過（ ）
A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第 一、二、三象限
考點：一次函數圖象與系數的關系；反比例函數圖象上點的坐標特征．
分析：首先利用反比例函數圖象上點的坐標特征可得k的值，再根據一次函數圖象與系數的關系確定一次函數y=kx?k的圖象所過象限．
解答：解：∵反比例函數y= 的圖象過點（?2，1），
∴k=?2×1=?2，
∴一次函數y=kx?k變為y=?2x+2，
∴圖象必過一、二、四象限，
故選：A．
點評：此題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，以及一次函數圖象與系數的關系，關鍵是掌握一次函數圖象與系數的關系：
①k＞0，b＞0?y=kx+b的圖象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0?y=kx+b的圖象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0?y=kx+b的圖象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0?y=kx+b的圖象在二、三、四象限．
7．（3分）（2013?荊門）四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，給出下列四個條件：
①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD
從中任選兩個條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有（ ）
A．3種B．4種C．5種D．6種
考點：平行四邊形的判定．
分析：根據題目所給條件，利用平行四邊形的判定方法分別進行分析即可．
解答：解：①②組合可根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；
③④組合可根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；
①③可證明△ADO≌△CBO，進而得到AD=CB，可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；
①④可證明△ADO≌△CBO，進而得到AD=CB，可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；
故選：B．
點評：此題主要考查了平行四邊形的判定，關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理．
8．（3分）（2013?荊門）若圓錐的側面展開圖為半圓，則該圓錐的母線l與底面半徑r的關系是（ ）
A．l=2rB．l=3rC．l=rD．
考點：圓錐的計算．
分析：根據圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長為圓錐的底面圓的周長，扇形的半徑為圓錐的母線長有2π?r=π?l，即可得到r與l的比值．
解答：解：∵圓錐的側面展開圖是半圓，
∴2π?r=π?l，
∴r：l=1：2．
則l=2r．
故選A．．
點評：本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長為圓錐的底面圓的周長，扇形的半徑為圓錐的母線長．
9．（3分）（2013?荊門）若關于x的一元一次不等式組 有解，則m的取值范圍為（ ）
A． B．m≤ C． D．m≤
考 點：解一元一次不等式組．
分析：先求出兩個不等式的解集，再根據有解列出不等式組求解即可．
解答：解： ，
解不等式①得，x＜2m，
解不等式②得，x＞2?m，
∵不等式組有解，
∴2m＞2?m，
∴m＞ ．
故選C．
點評：本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）．
10．（3分）（201 3?荊門）在平面直角坐標系中，線段OP的兩個端點坐標分別是O（0，0），P（4，3），將線段OP繞點O逆時針旋轉90°到OP′位置，則點P′的坐標為（ ）
A．（3，4）B．（?4，3）C．（?3，4）D．（4，?3）
考點：坐標與圖形變化-旋轉．
專題：數形結合．
分析：如圖，把線段OP繞點O逆時針旋轉90°到OP′位置看作是把Rt△OPA繞點O逆時針旋轉90°到RtOP′A′，再根據旋轉的性質得到OA′、P′A′的長，然后根據第二象限點的坐標特征確定P′點的坐標．
解答：解：如圖，OA=3，PA=4，
∵線段OP繞點O逆時針旋轉90°到OP′位置，
∴OA旋轉到x軸負半軸OA′的位置，∠P′A′0=∠PAO=90°，P′A′=PA=4，
∴P′點的坐標為（?3，4）．
故選C．
點評：本題考查了坐標與圖形變化?旋轉：在直角坐標系中線段的旋轉問題轉化為直角三角形的旋轉，然后利用旋轉的性質求出相應的線段長，再根據點的坐標特征確定點的坐標．
11．（3分）（2013?荊門）如圖，在半徑為1的⊙O中，∠AOB=45°，則sinC的值為（ �。�
A． B． C． D．
考點：圓周角定理；勾股定理；銳角三角函數的定義．
分析：首先過點A作AD⊥OB于點D，由在Rt△AOD中，∠AOB=45°，可求得AD與OD的長，繼而可得BD的長，然后由勾股定理求得AB的長，繼而可求得sinC的值．
解答：解：過點A作AD⊥OB于點D，
∵在Rt△AOD中，∠AOB=45°，
∴OD=AD=OA?cos45°= ×1= ，
∴BD=OB?OD=1? ，
∴AB= = ，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，AC=2，
∴sinC= ．
故選B．
點評：此題考查了圓周角定理、三角函數以 及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．
12．（3分）（2013?荊門）如右圖所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若動直線l垂直于BC，且向右平移，設掃過的陰影部分的面積為S，BP為x，則S關于x的函數圖象大致是（ �。�
A． B． C． D．
考點：動點問題的函數圖象．
分析：分三段考慮，①當直線l經過BA段時，②直線l經過AD段時，③直線l經過DC段時，分別觀察出面積變化的情況，然后結合選項即 可得出答案．
解答：解：①當直線l經過BA段時，陰影部分的 面積越來越大，并且增大的速度越來越快；
②直線l經過DC段時，陰影部分的面積越來越大，并且增大的速度保持不變；
③直線l經過DC段時，陰影部分的面積越來越大，并且增大的速度越來越��；
結合選項可得，A選項的圖象符合．
故選A．
點評：本題考查了動點問題的函數圖象，類似此類問題，有時候并不需要真正解出函數解析式，只要我們能判斷面積增大的快慢就能選出答案．
二、題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
13．（3分）（2013?荊門）分解因式：x2?64= （x+8）（x?8）�。�
考點：因式分解-運用公式法．
專題：．
分析：因為x2?64=x2?82，所以利用平方差公式分解即可．
解答：解：x2?64=（x+8）（x?8）．
故答案為：（x+8）（x?8）．
點評：此題考查了平方差公式分解因式的方法．解題的關鍵是熟記公式．
14．（3分）（2013?荊門）若等腰三角形的一個角為50°，則它的頂角為 80°或50°�。�
考點：等腰三角形的性質；三角形內角和定理．
分析：已知給出了一個內角是50°，沒有明確是頂角還是底角，所以要進行分類討論，分類后還有用內角和定理去驗證每種情況是不是都成立．
解答：解：當該角為頂角時，頂角為50°；
當該角為底角時，頂角為80°．
故其頂角為50°或80°．
故填50°或80°．
點評：本題考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關鍵．
15．（3分）（2013?荊門）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，過D點作AB的垂線交AC于點E，BC=6，sinA= ，則DE= �。�
考點：解直角三角形；線段垂直平分線的性質；勾股定理．
分析：在Rt△ABC中，先求出AB，AC繼而得出AD，再由△ADE∽△ACB，利用對應邊成比例可求出DE．
解答：解：∵BC=6，sinA= ，
∴AB=10，
∴AC= =8，
∵D是AB的中點，
∴AD= AB=5，
∵△ADE∽△ACB，
∴ = ，即 = ，
解得：DE= ．
故答案為： ．
點評：本題考查了解直角三角形的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握三角函數的定義及勾股定理的表達式．
16．（3分）（2013?荊門）設x1，x2是方程x2?x?2013=0的兩實數根，則 = 2014�。�
考點：根與系數的關系；一元二次方程的解．
分析：由原方程可以得到x2=x+2013，x=x2?2013=0；然后根據一元二次方程解的定義知，x12=x1+2013，x1=x12?2013=0．由根與系數的關系知x1+x2=1，所以將其代入變形后的所求代數式求值．
解答：解：∵x2?x?2013=0，xkb1.cn
∴x2=x+2013，x=x2?2013=0．
又∵x1，x2是方程x2?x?2013=0的兩實數根，
∴x1+x2=1，
∴
=x1? +2013x2+x2?2013，
=x1?（x1+2013）+2013x2+x2?2013，
=（x1+2013）+2013x1+2013x2+x2?2013，
=x1+x2+2013（x1+x2）+2013?2013，
=1+2013，
=2014，
故答案是：2014．
點評：本題考查了根與系數的關系、一元二次方程的解的定義．對所求代數式的變形是解答此題的難點．
17．（3分）（2013?荊門）若拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點，且過點A（m，n），B（m+6，n），則n= 9�。�
考點：拋物線與x軸的交點．
分析：首先，由“拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點”推知x=? 時，y=0．且b2?4c=0，即b2=4c；
其次，根據拋物線對稱軸的定義知點A、B關于對稱軸對稱，則A（? ?3，n），B（? +3，n）；
最后，根據二次函數圖象上點的坐標特征知n=（? ?3）2+b（? ?3）+c= b2+c+9，所以把b2=4c代入即可求得n的值．
解答：解：∵拋物線y=x2+bx+cx軸只有一個交點，
∴當x=? 時，y=0．且b2?4c=0，即b2=4c．
又∵點A（m，n），B（m+6，n），
∴點A、B關于直線x=? 對稱，
∴A（? ?3，n），B（? +3，n）
將A點坐標代入拋物線解析式，得：n=（? ?3）2+b（? ?3）+c= b2+c+9
∵b2=4c，
∴n= ×4c+c+9=9．
故答案是：9．
點評：本題考查了拋物線與x軸的交點．二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關系．
△=b2?4ac決定拋物線與x軸的交點個數．
△=b2?4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；
△=b2?4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；
△=b2?4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
三、解答題（本大題共7小題，共69分）
18．（8分）（2013?荊門）（1）計算：
（2）化簡求值： ，其中 ．
考點：分式的化簡求值；實數的運算；零指數冪；特殊角的三角函數值．
專題：．
分析：（1）分別根據0指數冪、有理數乘方的法則及特殊角的三角函數值計算出各數，再根據實數混合運算的法則進行計算即可；
（2）先根據分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把a的值代入進行計算即可．
解答：解：（1）原式=1+2?1? ×
=?1
（2）原式=
當a= ?2時，原式= ．
點評：本題考查的是分式的化簡求值及實數的運算，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵．
19．（9分）（2013?荊門）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上．
（1）求證：BE=CE；
（2）如圖2，若BE的延長線交AC于點F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45°，原題設其它條件不變．求證：△AEF≌△BCF．
考點：全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質．
專題：證明題．
分析：（1）根據等腰三角形三線合一的性質可得∠BAE=∠EAC，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ACE全等，再根據全等三角形對應邊相等證明即可；
（2）先判定△ABF為等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的兩直角邊相等可得AF=BF，再根據同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角邊角”證明△AEF和△BCF全等即可．
解答：證明：（1）∵AB=AC，D是BC的中點，
∴∠BAE=∠EAC，
在△ABE和△ACE中， ，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE；
（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，
∴△ABF為等腰直角三角形，
∴AF=BF，
∵AB=AC，點D是BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中， ，
∴△AEF≌△BCF（ASA）．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形三線合一的性質，等腰直角三角形的判定與性質，同角的余角相等的性質，是基礎題，熟記三角形全等的判定方法與各性質是解題的關鍵．
20．（10分）（2013?荊門）經過某十字路口的汽車，它可能繼續直行，也可能向左轉或向右轉，如果這三種情況是等可能的，當三輛汽車經過這個十字路口時：
（1）求三輛車全部同向而行的概率；
（2）求至少有兩輛車向左轉的概率；
（3）由于十字路口右拐彎處是通往新建經濟開發區的，因此交管部門在汽車行駛高峰時段對車流量作了統計，發現汽車在此十字路口向右轉的頻率為 ，向左轉和直行的頻率均為 ．目前在此路口，汽車左轉、右轉、直行的綠燈亮的時間分別為30秒，在綠
燈亮總時間不變的條件下，為了緩解交通擁擠，請你用統計的知識對此路口三個方向的綠燈亮的時間做出合理的調整．
考點：列表法與樹狀圖法．
分析：（1）首先根據題意畫出樹狀圖，由樹狀圖即可求得所有等可能的結果與三輛車全部同向而 行的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（2）由（1）中的樹狀圖即可求得至少有兩輛車向左轉的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（3）由汽車向右轉、向左轉、直行的概率分別為 ，即可求得答案．
解答：解：（1）分別用A，B，C表示向左轉、直行，向右轉；
根據題意，畫出樹形圖：
∵共有27種等可能的結果，三輛車全部同向而行的有3種情況，
∴P（三車全部同向而行）= ；
（2）∵至少有兩輛車向左轉的有7種情況，
∴P（至少兩輛車向左轉）= ；
（3）∵汽車向右轉、向左轉、直行的概率分別為 ，
∴在不改變各方向綠燈亮的總時間的條件下，可調整綠燈亮的時間如下：
左轉綠燈亮時間為90× =27（秒），直行綠燈亮時間為90× =27（秒），右轉綠燈亮的時間為90× =36（秒）．
點評：本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意：概率=所求情況數與總情況數之比．
21．（10分）（2013?荊門）A、B兩市相距150千米，分別從A、B處測得國家級風景區中心C處的方位角如圖所示，風景區區域是以C為圓心，45千米為半徑的圓，tanα=1.627，tanβ=1.373．為了開發旅游，有關部門設計修建連接AB兩市的高速公路．問連接AB高速公路是否穿過風景區，請說明理由．
考點：解直角三角形的應用-方向角問題．
分析：首先過C作CD⊥AB與D，由題意得：∠ACD=α，∠BCD=β，即可得在Rt△ACD中，AD=CD?tanα，在Rt△BCD中，BD=CD?tanβ，繼而可得CD?tanα+CD?tanβ=AB，則可求得CD的長，即可知連接AB高速公路是否穿過風景區．
解答：解：AB不穿過風景區．理由如下：
如圖，過C作CD⊥AB于點D，
根據題意得：∠ACD=α，∠BCD=β，
則在Rt△ACD中，AD=CD?tanα，在Rt△BCD中，BD=CD?tanβ，
∵AD+DB=AB，
∴CD?tanα+CD?tanβ=AB，
∴CD= = （千米）．
∵CD=50＞45，
∴高速公路AB不穿過風景區．
點評：此題考查了方向角問題．此題難度適中，注意能借助于方向角構造直角三角形，并利用解直角三角形的知識求解是解此題的關鍵．
22．（10分）（2013?荊門）為了節約資源，科學指導居民改善居住條件，小王向房管部門提出了一個購買商品房的政策性方案．
人均住房面積（平方米）單價（萬元/平方米）
不超過30（平方米）0.3
超過30平方米不超過m（平方米）部分（45≤m≤60）0.5
超過m平方米部分0.7
根據這個購房方案：
（1）若某三口之家欲購買120平方米的商品房，求其應繳納的房款；
（2）設該家庭購買商品房的人均面積為x平方米，繳納房款y萬元，請求出y關于x的函數關系式；
（3）若該家庭購買商品房的人均面積為50平方米，繳納房款為y萬元，且57＜y≤60 時，求m的取值范圍．
考點：一次函數的應用．
分析：（1）根據房款=房屋單價×購房面積就可以表示出應繳房款；
（2）由分段函數當0≤x≤30，當30＜x≤m時，當x＞m時，分別求出Yy與x之間的表達式即可；
（3）當50≤m≤60和當45≤m＜50時，分別討論建立不等式組就可以求出結論．
解答：解：（1）由題意，得
三口之家應繳購房款為：0.3×90+0.5×30=42（萬元）；
（2）由題意，得
①當0≤x≤30時，y=0.3×3x=0.9x
②當30＜x≤m時，y=0.9×30+0.5×3×（x?30）=1.5x?18
③當x＞m時，y=0.3×30+0.5×3（m?30）+0.7×3×（x?m ）=2.1x?18?0.6m
∴y=
（3）由題意，得
①當50≤m≤60時，y=1.5×50?18=57（舍）．
②當45≤m＜50時，y=2.1×50 0.6m?18=87?0.6m．
∵57＜y≤60，
∴57＜87?0.6m≤60，
∴45≤m＜50．
綜合①②得45≤m＜50．
點評：本題考查了房款=房屋單價×購房面積在實際生活中的運用，求分段函數的解析式的運用，建立不等式組求解的運用，解答本題時求出函數額解析式是關鍵．
23．（10分）（2013?荊門）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，點M是BC的中點，P是線段MC上的一個動點（不與M、C重合），以AB為直徑作⊙O，過點P作⊙O的切線，交AD于點F，切點為E．
（1）求證：OF∥BE；
（2）設BP=x，AF=y，求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）延長DC、FP交于點G，連接OE并延長交直線DC與H（圖2），問是否存在點P，使△EFO∽△EHG（E、F、O與E、H、G為對應點）？如果存在，試求（2）中x和y的值；如果不存在，請說明理由．
考點：圓的綜合題．
分析：（1）首先證明Rt△FAO≌Rt△FEO進而得出∠AOF=∠ABE，即可得出答案；
（2）過F作FQ⊥BC于Q，利用勾股定理求出y與x之間的函數關系，根據M是BC中點以及BC=2，即可得出BP的取值范圍；
（3）首先得出當∠EFO=∠EHG=2∠EOF時，即∠EOF=30°時，Rt△EFO∽Rt△EHG，求出y=AF=OA?tan30°= ，即可得出答案．
解答：（1）證明：連接OE
FE、FA是⊙O的兩條切線
∴∠FAO=∠FEO=90°
在Rt△OAF和Rt△OEF中，
∴Rt△FAO≌Rt△FEO（HL），
∴∠AOF=∠EOF= ∠AOE，
∴∠AOF=∠ABE，
∴OF∥BE，
（2）解：過F作FQ⊥BC于Q
∴PQ=BP?BQ=x?y
PF=EF+EP=FA+BP=x+y
∵在Rt△PFQ中
∴FQ2+QP2=PF2
∴22+（x?y）2=（x+y）2
化簡得： ，（1＜x＜2）；
（3）存在這樣的P點，
理由：∵∠EOF=∠AOF，
∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，
當∠EFO=∠EHG=2∠EOF時，
即∠EOF=30°時，Rt△EFO∽Rt△EHG，
此時Rt△AFO中，
y=AF=OA?tan30°= ，
∴
∴當 時，△EFO∽△EHG．
點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及全等三角形的判定和性質以及相似三角形的判定與性質等知識，得出FQ2+QP2=PF2是解題關鍵．
24．（12分）（2013?荊門）已知關于x的二次函數y=x2?2mx+m2+m的圖象與關于x的函數y=kx+1的圖象交于兩點A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）
（1）當k=1，m=0，1時，求AB的長；
（2）當k=1，m為任何值時，猜想AB的長是否不變？并證明你的猜想．
（3）當m=0，無論k為何值時，猜想△AOB的形狀．證明你的猜想．
（平面內兩點間的距離公式 ）．
考點：二次函數綜合題．
分析：（1）先將k=1，m=0分別代入，得出二次函數的解析式為y=x2，直線的解析式為y=x+1，聯立 ，得x2?x?1=0，根據一元二次方程根與系數的關系得到x1+x2=1，x1?x2=?1，過點A、B分別作x軸、y軸的平行線，兩線交于點C，證明△ABC是等腰直角三角形，根據勾股定理得出AB= AC，根據兩點間距離公式及完全平方公式求出AB= ；同理，當k=1，m=1時，AB= ；
（2）當k=1，m為任何值時，聯立 ，得x2?（2m+1）x+m2+m?1=0，根據一元二次方程根與系數的關系得到x1+x2=2m+1，x1?x2=m2+m?1，同（1）可求出AB= ；
（3）當m=0，k為任意常數時，分三種情況討論：①當k=0時，由 ，得A（?1，1），B（1，1），顯然△AOB為直角三角形；②當k=1時，聯立 ，得x2?x?1=0，根據一元二次方程根與系數的關系得到x1+x2=1，x1?x2=? 1，同（1）求出AB= ，則AB2=10，運用兩點間的距離公式及完全平方公式求出OA2+OB2=10，由勾股定理的逆定理判定△AOB為直角三角形；③當k為任意實數時，聯立 ，得x2?kx?1=0，根據一元二次方程根與系數的關系得到x1+x2=k，x1?x2=?1，根據兩點間距離公式及完全平方公式求出AB2=k4+5k2+4，OA2+OB2?k4+5k2+4，由勾股定理的逆定理判定△AOB為直角三角形．
解答：解：（1）當k=1，m=0時，如圖．
由 得x2?x?1=0，
∴x1+x2=1，x1?x2=?1，
過點A、B分別作x軸、y軸的平行線，兩線交于點C．
∵直線AB的解析式為y=x+1，
∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB= AC= x2?x1= = ；
同理，當k=1，m=1時，AB= ；
（2）猜想：當k=1，m為任何值時，AB的長不變，即AB= ．理由如下：
由 ，得x2?（2m+1）x+m2+m?1=0，
∴x1+x2=2m+1，x1?x2=m2+m?1，
∴AB= AC= x2?x1= = ；
（3）當m=0，k為任意常數時，△AOB為直角三角形，理由如下：
①當k=0時，則函數的圖象為直線y=1，
由 ，得A（?1，1），B（1，1），
顯然△AOB為直角三角形；
②當k=1時，則一次函數為直線y=x+1，
由 ，得x2?x?1=0，
∴x1+x2=1，x1?x2=?1，
∴AB= AC= x2?x1= = ，
∴AB2=10，
∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22
=x12+x22+y12+y22
=x12+x22+（x1+1）2+（x2+1）2
=x12+x22+（x12+2x1+1）+（x22+2x2+1）
=2（x12+x22）+2（x1+x2）+2
=2（1+2）+2×1+2
=10，
∴AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形；
③當k為任意實數，△AOB仍為直角三角形．
由 ，得x2?kx?1=0，
∴x1+x2=k，x1?x2=?1，
∴AB2=（x1?x2）2+（y1?y2）2
=（x1?x2）2+（kx1?kx2）2
=（1+k2）（x1?x2）2
=（1+k2）[（x1+x2）2?4x1?x2]
=（1+k2）（4+k2）
=k4+5k2+4，
∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22
=x12+x22+y12+y22
=x12+x22+（kx1+1）2+（kx2+1）2
=x12+x22+（k2x12+2kx1+1）+（k2x22+2kx2+1）
=（1+k2）（x12+x22）+2k（x1+x2）+2
=（1+k2）（k2+2）+2k ?k+2
=k4+5k2+4，
∴AB2=OA2+OB2，
∴△AOB為直角三角形．
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