黃石市2013年初中畢業生學業考試
數 學 試 題 卷
姓名： 準考證號：
注意事項：
1.本試卷分為試題卷和答題卷兩部分，考試時間120分鐘，滿分120分。
2.考生在答題前請答題卷中的“注意事項”，然后按要求答題。
3.所有答案均須做在答題卷相應區域，做在其它區域內無效。
一、仔細選一選（本題有10個小題，每小題3分，共30分）
下面每個小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確的選項所對應的字母在答題卷中相應的格子涂黑，注意可用多種不同的方法來選取正確答案。
1. 的倒數是
A. B. 7 C. D. －7
答案：A
解析：數 的倒數為 ，因此，－7的倒數為
2．一年之中地球與太陽之間的距離隨時間而變化，1個天文單位是地球與太陽之間平均距離，即 億千米，用科學記數法表示1個天文單位應是
A. 千米 B. 千米
C. 千米 D. 千米
答案：C
解析：科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．
億千米＝1.49600000千米＝ 千米
3．分式方程 的解為
A. B. C. D.
答案：D
解析：去分母，得：3（x－1）＝2x，即3x－3＝2x，解得：x＝3，經檢驗x＝3是原方程的根。
4．如圖，下列四個幾何體中，它們各自的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖）有兩個相同，而另一個不相同的幾何體是
A．①② B． ②③ C． ②④ D． ③④
答案：B
解析：①的三視圖都是正方形，④的三視圖都是圓，三個完全相同；②的主視圖和側視圖是矩形，俯視圖是圓，③的主視圖和側視圖都是等腰三角形，俯視圖是圓和圓心，故選B。
5．已知直角三角形 的一條直角邊 ，另一條直角邊 ，則以 為軸旋轉一周，所得到的圓錐的表面積是
A. B. C. D.
答案：A
解析：得到的是底面半徑為5cm，母線長為13cm的圓錐，
底面積為：25 ，側面積為： ，所以，表面積為
6．為了幫助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同學積極捐款，他們捐款數額如下表：
關于這15名同學所捐款的數額，下列說法正確的是
A.眾數是100 B.平均數是30 C.極差是20 D.中位數是20
答案：D
解析：由表知捐款20元的有5個，因此眾數應是20，故A錯；平均數為： （10＋40＋100＋150＋100）＝ ，因此B錯；極差是100－5＝95，C也錯；第8個數據為中位數，由表知中位數為20，故選D。
7．四川雅安地震期間，為了緊急安置60名地震災民，需要搭建可容納6人或4人的帳篷，若所搭建的帳篷恰好（即不多不少）能容納這60名災民，則不同的搭建方案有
A.4種 B.11種 C.6種 D.9種
答案：C
解析：設建可容納6的帳篷x個，建容納4人的帳篷y個，則6x＋4y＝60（x，y均是非負整數）
�。�1）x=0時，y＝15；（2）x＝2時，y＝12；（3）x＝4時，y＝9；
（4）x＝6時，y＝6；（5）x＝8時，y＝3；（6）x＝10時，y＝0
所以，有6種方案。
8．如右圖，在 中， ， ， ，以點 為圓心， 為半徑的圓與 交于點 ，則 的長為
A. B. C. D.
答案：C
解析：由勾股定理得AB＝5，則sinA＝ ，作CE⊥AD于E，則AE＝DE，在Rt△AEC中，sinA＝ ，即 ，所以，CE＝ ，AE＝ ，所以，AD＝
9．把一副三角板如圖甲放置，其中 ， ， ，斜邊 ， ，把三角板 繞著點 順時針旋轉 得到△ （如圖乙），此時 與 交于點 ，則線段 的長度為
A. B.
C. 4 D.
答案：B
解析：如圖所示，∠3=15°，∠E1=90°，∴∠1=∠2=75°，又∵∠B=45°，
∴∠OFE1=∠B+∠1=45°+75°=120°。
∵∠OFE1=120°，∴∠D1FO=60°，
∵∠CD1E1=30°，∴∠4=90°，
又∵AC=BC，AB=6，∴OA=OB=3，
∵∠ACB=90°，∴ ，
又∵CD1=7，∴OD1=CD1-OC=7-3=4，
在Rt△AD1O中， 。
10.如右圖，已知某容器是由上下兩個相同的圓錐和中間一個與圓錐同底等高的圓柱組合而成，若往此容器中注水，設注入水的體積為 ，高度為 ，則 關于 的函數圖像大致是
答案：A
解析：注入水的體積增加的速度隨著高度x的變化情況是：由慢到快 勻速增長 由快到慢，由慢到快的圖象是越來越陡，由快到慢的圖象是越來越平緩，所以選A。
二、認真填一填（本題有6個小題，每小題3分，共18分）
11.分解因式： ＝ .
答案：
解析：原式＝ ＝
12.若關于 的函數 與 軸僅有一個公共點，則實數 的值為 .
答案： 或
解析：函數與x軸只有一個交點，有兩個可能：（1）當k＝0時，是一次函數，符合；（2）當k≠0時，△＝4＋4k＝0，解得k＝－1，所以，k＝0或k＝－1。
13.甲、乙兩人玩猜數字游戲，游戲規則如下：有四個數字0、1、2、3，先由甲心中任選一個數字，記為 ，再由乙猜甲剛才所選的數字，記為 。若 、 滿足 ，則稱甲、乙兩人“心有靈犀”。則甲、乙兩人“心有靈犀”的概率是 .
答案：
解析：記甲乙選的數字為（m，n），則有16種可能，符合｜m－n｜≤1的有：（0,0），（1,1），（2,2），（3,3），（0,1），（1,2），（2,3），（1,0），（2,1），（3,2），共10種，所以，所求概率為：
14.如右圖，在邊長為3的正方形 中，圓 與圓 外切，且圓 分別與 、 邊相切，圓 分別與 、 邊相切，則圓心距 為 .
答案：
解析：過O1，O2分別作O1M⊥CD, O2N⊥BC，垂足為M,N
設圓O1半徑為R,圓O2半徑為r,
則DO1= R，BO2= r,
又BD=3 ，所以 R＋ r+r+R=3
解得R＋r=6-3 ，即 =6-3
15. 如右圖，在平面直角坐標系中，一次函數 的圖像與反比例函數 的圖像交于二、四象限的 、 兩點，與 軸交于 點。已知 ， ， ，則此一次函數的解析式為 .
答案：
解析：由 ，得： ，所以，n＝5，將B點坐標（5，－2）代入反比例函數，得k＝－10，將A點代入反比例函數，得：m＝5，
所以，有： ，解得k＝－1，b＝3，所以所求解析式為：
16.在計數制中，通常我們使用的是“十進位制”，即“逢十進一”。而計數制方法很多，如60進位制：60秒化為1分，60分化為1小時；24進位制：24小時化為1天；7進位制：7天化為1周等…而二進位制是計算機處理數據的依據。已知二進位制與十進位制的比較如下表：
十進位制0123456…
二進制011011100101110…
請將二進制數10101010（二）寫成十進制數為 .
答案：
解析：10101010（二）＝1×27＋1×25＋1×23＋1×2＝170
三、全面答一答（本題有9個小題，共72分）
解答應寫出文字說明，證明過程或推演步驟，如果覺得有的題目有點困難，那么把自己能寫出的解答盡量寫出來。
17.（本小題滿分7分）計算：
解析：原式 （5分）
（2分）
18.（本小題滿分7分）先化簡，后計算： ，其中 ， .
解析：原式 （2分）
（2分）
當 ， 時，原式的值為 。 （ 3分）
∴ （4分）
19.（本小題滿分7分）如圖， 是圓 的直徑， 和 是圓 的兩條切線， 是圓 上一點， 是 上一點，連接 并延長交 于 ，且 ， .
（1）求證： 是圓 的切線；
（2）求證： .
解析：
（1）證明：連接 ， 是⊙ 的切線， 是⊙ 的半徑
∴ °
∵ ∥
∴ ，
∵ ∴
在△ 和△ 中
∴
∴ °
∴ 與⊙ 相切（3分）
（2）∵ 和 是⊙ 的兩切線
∴ ，
∴ ∥
∵ 是 的中點， ∥
∴ ∥ 且
∵ 切⊙ 于點
∴ ，
20.（本小題滿分8分）解方程：
解析：
解：依題意 （2分）
由①得 ③
由②得 ④
將④代入③化簡得 （4分）
即 代入②得
∴原方程組的解為 （4分）
21.（本小題滿分8分）青少年“心理健康”問題越來越引起社會的關注，某中學為了了解學校600名學生的心理健康狀況，舉行了一次“心理健康”知識測試，并隨機抽取了部分學生的成績（得分取正整數，滿分為100分）作為樣本，繪制了下面尚未完成的頻率分布表和頻率分布直方圖.
分 組頻數頻率
50.5～60.540.08
60.5～70.5140.28
70.5～80.516
80.5～90. 5
90.5～100.5100.20
合 計1.00
請解答下列問題：
（1）填寫頻率分布表中的空格，并補全頻率分布直方圖；
（2）若成績在70分以上（不含70分）為心理健康狀況良好，同時，若心理健康狀況良好的人數占總人數的70％以上，就表示該校學生的心理健康狀況正常，否則就需要加強心理輔導。請根據上述數據分析該校學生是否需要加強心理輔導，并說明理由.
解析：
21．（8分）解：（1）
分 組頻數頻率
50.5～60.540.08
60.5～70.5140.28
70.5～80.5160.32
80.5～90.560.12
90.5～100.5100.20
合 計501.00
（6分）
（2） 說明該校的學生心理健康狀況不正常，需要加強心理輔導（2分）
22.（本小題滿分8分）高考英語測試期間，需要杜絕考點周圍的噪音。如圖，點 是某市一高考考點，在位于 考點南偏西15°方向距離125米的 點處有一消防隊。在考試期間，消防隊突然接到報警電話，告知在位于 點北偏東75°方向的 點處突發火災，消防隊必須立即趕往救火。已知消防車的警報聲傳播半徑為100米，若消防車的警報聲對聽力測試造成影響，則消防車必須改道行駛。試問：
消防車是否需要改道行駛？說明理由.（ 取1.732）
解析：
解：過點 作 交 于 點，由圖可知
∵ （3分）
∴ （3分）
∵ 米
∴不需要改道行駛（２分）
23.（本小題滿分8分）一輛客車從甲地開往乙地，一輛出租車從乙地開往甲地，兩車同時出發，設客車離甲地的距離為 千米，出租車離甲地的距離為 千米，兩車行駛的時間為 小時， 、 關于 的函數圖像如右圖所示：
（1）根據圖像，直接寫出 、 關于 的函數關系式；
（2）若兩車之間的距離為 千米，請寫出 關于 的函數關系式；
（3）甲、乙兩地間有 、 兩個加油站，相距200千米，若客車進入 加油站時，出租車恰好進入 加油站，求 加油站離甲地的距離.
解析：
解：（1） （ ≤ ）
（ ≤ ）（2分）
（2）∴
（3）由題意得：
①當 時， ∴
∴ （ ）
②當 時， ∴
∴ （ ）
③當 時， （舍）（3分）
24.（本小題滿分9分）如圖1，點 將線段 分成兩部分，如果 ，那么稱點 為線段 的黃金分割點。某數學興趣小組在進行課題研究時，由黃金分割點聯想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個面積為 的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為 、 ，如果 ，那么稱直線為該圖形的黃金分割線.
（1）如圖2，在△ 中， °， ， 的平分線交 于點 ，請問點 是否是 邊上的黃金分割點，并證明你的結論；
（2）若△ 在（1）的條件下，如圖（3），請問直線 是不是△ 的黃金分割線，并證明你的結論；
（3）如圖4，在直角梯形 中， ，對角線 、 交于點 ，延長 、 交于點 ，連接 交梯形上、下底于 、 兩點，請問直線 是不是直角梯形 的黃金分割線，并證明你的結論.
解析：
解：（1）點 是 邊上的黃金分割點，理由如下：
∵ °，
∴ °
∵ 平分
又∵
∴
∴ 是 邊上的黃金分割點（3分）
（2）直線 是△ 的黃金分割線，理由如下：
設 的邊 上的高為 ，則
， ，
∴ ，
∵ 是 的黃金分割點
∴
∴
∴ 是△ 的黃金分割線（3分）
（3） 不是直角梯形 的黃金分割線
∵ ∥
∴ ，
∴ ①
②
由①、 ②得 即 ③
同理，由 ， 得
即 ④
由③、④得
∴
∴
∴ 梯形 與梯形 上下底分別相等，高也相等
∴ 梯形 梯形 梯形
∴ 不是直角梯形 的黃金分割線（3分）
25.（本小題滿分10分）如圖1所示，已知直線 與 軸、 軸分別交于 、 兩點，拋物線 經過 、 兩點，點 是拋物線與 軸的另一個交點，當 時， 取最大值 .
（1）求拋物線和直線的解析式；
（2）設點 是直線 上一點，且 ABP ： BPC ，求點 的坐標；
（3）若直線 與（1）中所求的拋物線交于 、 兩點，問:
①是否存在 的值，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，請說明理由；
②猜想當 時， 的取值范圍（不寫過程，直接寫結論）.
（參考公式：在平面直角坐標系中，若 ， ，則 ， 兩點間的距離為 ）
解析：
解：（1）由題意得 解得
∴拋物線的解析式為 ∴ ，
∴直線 的解析式為 （2分）
（2）分兩種情況：
①點 在線段 上時，過 作 軸，垂足為
∵ ∴
∵ ∥ ∴
∴ ， ∴
∴
②點 在線段 的延長線上時，過 作 軸，垂足為
∵ ∴
∵ ∥ ∴
∴ ， ∴
∴
綜上所述， 或 （4分）
（3）①方法1：假設存在 的值，使直線 與（1）中所求的拋物線 交于 、 兩點（ 在 的左側），使得
由 得
∴ ，
又 ，
∴
∴
∴ 即
∴ 或
∴存在 或 使得 （3分）
方法2：假設存在 的值，使直線 與（1）中所求的拋物線 交于 、 兩點（ 在 軸上側），使得 ，如圖，過 作 于 ，過 作 于
可證明
∴ 即
∴ 即
以下過程同上
②當 時， （1分）
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