-=λ-，-λ-(λ為非零參數，n=2，3，4，…)
(Ⅰ)若x1，x3，x5成等比數列，求參數λ的值；
(Ⅱ)當λ>0時，證明--(n∈N*)；
當λ>1時，證明-+-+…+-<-(n∈N*)
解(Ⅰ)n=2 -=λ-→x3=λ；n=3 -=λ-→x4=λ3
n=4 -=λ-→x5=λ6
∵x1，x3，x5成等比
∴x32=x1·x5→λ2=λ6，λ≠0
∴λ=±1
(Ⅱ)-=λ-=λ2-=…=λn-1-，∴-=λn-1
y1=y2=2>0，λ>0→yn>0
-λ-λ2-…λn-1-
∴-λn-1→--
∴--
(Ⅲ)由已知 x1=x2=1，y1=y2=2，y3λy2，x3=λx2 又λ>1，∴y3>x3
進一步易推得 yn>xn
-=-，yn+1-xn+1λn-1yn-λn-1xn=λn-1(yn-xn)>0
--
--=-
∴--，(n2)
-+-+…+-1+-+…+-<-=-
注：第(Ⅱ)問是用逐次代入法解決等量與不等量遞推。
(三)綜合題與應用題
綜合題主要是數列與函數，數列與不等式的綜合.數列部分的應用題是以“增長率”為基礎加以變化.
1. 已知二次函數y=f(x)的圖像經過坐標原點，其導函數為f‘(x)=6x-2，數列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)(n∈N*)均在函數y=f(x)的圖像上。
(Ⅰ)求數列{an}的通項公式；
(Ⅱ)設bn=-，Tn是數列{bn}的前n項和，求使得Tn<-對所有n∈N*都成立的最小正整數m。
解(Ⅰ)∵f(x)的圖像經過坐標原點
∴f(0)=c=0
又f‘(x)=2ax+b=6x-2
∴a=3，b=-2
∴f(x)=3x2-2x
Sn=f(n)=3n2-2n， a1=S1=1
Sn-1=3(n-1)2-3(n-1)
an=Sn-Sn-1=6n-5，n2
a1=1也滿足上式
∴an=6n-5，(n=1，2，…)
(Ⅱ)bn=-=-[---]
Tn=-(1--)<-
m>10--
g(n)=10--，n↑，g(n)↑
-g(n)=10 ∴m=10
注：本題是函數與數列綜合，第(Ⅱ)問要有極限思想。
2. 已知An(an，bn)(n∈N*)是曲線y=ex上的點，a1=a，Sn是數列{an}的前n項和，且滿足Sn2=3n2an+Sn-12，an≠0，n=2，3，4，…
(Ⅰ)證明：數列{-}(n2)是常數列；
(Ⅱ)確定a的取值集合M，使a∈M時，數列{an}是單調遞增數列；
(Ⅲ)證明：當a∈M時， 弦AnAn+1(n∈N*)的斜率隨n單調遞增。
解：(Ⅰ)Sn2-S2n-1=3n2gan，
(Sn+Sn-1)gan=3n2gan，n2，an≠0
∴Sn+Sn-1=3n2
Sn+1+Sn=3(n+1)2
兩式相減：Sn+1-Sn-1=6n+3
∴an+1+an=6n+3
an+2+an+1=6n+9
又兩式相減an+2-an=6，n2
-=-=-=e6。得證
分析(2)由Sn+Sn-1=3n2
n=2:S2+S1=12→a2=12-2a
由an+1+an=6n+3
n=2:a3=3+2a
n=3:a4=18-2a
a2，a4，…，a2k是以a2為首項，公差為6的等差遞增數列。
a3，a5，…，a2k-1是以a3為首項，公差為6的等差遞增數列。
若{an}為遞增數列，應有a1
-
證明(3)kn=-，kn+1=-
分析：{an}↑，{-}↑，要證{kn}↑
注意到，{an}不是以6為公差的等差遞增數列，用比較法kn+1-kn在計算中顯然行不通。過去是“量”的轉換，現在把數列轉換成函數，用函數單調性解決數列的單調性。
設函數f(x)=-
f‘(x)=-，需證f‘(x)>0，可推出f(x)↑
又設g(x)=ex(x-x0)-(ex--)
g‘(x)=ex(x-x0)
xx0
g‘(x)>0，g(x)↑，
∴x=x0是g(x)唯一極小值點。
∴g(x)>g(x0)=0，即g(x)>0
∴f‘(x)>0，f(x)↑
單調區間(-∞，x0)∪(x0，+∞)
上面是把數列轉化為函數，下面還要把函數轉化為數列。
令x0=an，an
∴-<-
再令x0=an+2，an
->-
∴kn
注：數列也是函數，用處理函數的思路，與方法也適用于數列，關鍵是抓住“轉化”的轉折點。
2008年物理復習：巧用能量守恒定律
天津四十二中學 楊震
[例2]：如圖所示，傳送帶與水平地面夾370，以恒定的速率v0=2m/s運行。把一個質量為10kg的物體輕放在傳送帶底端，物體被運送到高為h=2m處，物體與傳送帶的動摩擦因數μ=0.866，不計其他摩擦以及能量損失，求：
(1)此過程產生的內能是多少？
(2)此過程中拉動傳送帶的電動機消耗的電能是多少？
解：(1)分析：首先，木塊在滑動摩擦力和重力下滑分量的作用下做勻加速運動，末速度為v0，木箱的對地位移為s，相對滑動的時間為t則：
a=μgcos370-gsin370 v02=2as ，t=-
E內=fs相對=f(v0t-s)
(2)由能量轉化觀點，電動機輸出能量轉化成物體的動能，摩擦生熱和物體的重力勢能
E=-mv02+mgh+fs相對
[例3]：(2007學年度北京市東城區高三期末教學目標抽測)
如圖所示，光滑水平面上有一質量M=4.0kg的帶有圓弧軌道的平板車，車的上表面是一段長L=1.0m的粗糙水平軌道，水平軌道左側連一半徑R=0.25m 的-光滑圓弧軌道，圓弧軌道與水平軌道在O′點相切。車右端固定一個尺寸可以忽略、處于鎖定狀態的壓縮彈簧，一質量m=1.0kg的小物塊緊靠彈簧放置，小物塊與水平軌道間的動摩擦因數μ=0.5。整個裝置處于靜止狀態，現將彈簧解除鎖定，小物塊被彈出，恰能到達圓弧軌道的最高點A。取g=10m/s2，求：
(1)小物塊到達A點時，平板車的速度大��；
(2)解除鎖定前彈簧的彈性勢能；
(3)小物塊第二次經過O′點時的速度大��；
(4)小物塊與車最終相對靜止時，它距O′點的距離。
解：分析：此題物體的受力多為變力，運動過程也很復雜，緊緊抓住能量的轉化關系便可將復雜問題簡單化。
(1)平板車與小物塊組成的系統水平方向動量守恒，故到達圓弧最高點A時兩者共同的速度為0
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