江蘇省蘇州市高三（上）期末數學試卷　一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應位置上．1．（5分）設集合，B={a}，若B?A，則實數a的值為　0�。�考點：集合的包含關系判斷及應用．專題：閱讀型．分析：根據集合關系，確定元素滿足的條件，再求解．解答：解：∵B?A，∴a=≠1?a=0．故答案是0點評：本題考查集合中參數的確定．要注意驗證集合中元素的互異性．　2．（5分）已知復數z=?1+i（為虛數單位），計算：=　?i�。�考點：復數代數形式的乘除運算．專題：計算題．分析：把復數z以及它的共軛復數代入表達式，化簡后，復數的分母實數化，即可得到所求結果．解答：解：因為復數z=?1+i（為虛數單位），=?1?i，所以====?i．故答案為：?i．點評：本題考查復數代數形式的混合運算，共軛復數的概念，考查計算能力．　3．（5分）已知雙曲線的一條漸近線經過點（1，2），則該雙曲線的離心率的值為　�。�考點：雙曲線的簡單性質．專題：圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：由題意可得漸近線y=x經過點（1，2），可得b=2a，代入可得離心率e===，化簡即可．解答：解：雙曲線的漸近線方程為y=x，故y=x經過點（1，2），可得b=2a，故雙曲線的離心率e====故答案為：點評：本題考查雙曲線的離心率，涉及漸近線的方程，屬中檔題．　4．（5分）根據如圖所示的算法，可知輸出的結果為　11�。�考點：偽代碼．專題：計算題；概率與統計．分析：根據題中的偽代碼寫出前幾次循環的結果，得到該程序的功能是等比數列{2n?1}的前n項和，在S≤1023的情況下繼續循環體，直到S＞1023時結束循環體并輸出下一個n值．由此結合題意即可得到本題答案．解答：解：根據題中的偽代碼，可得該程序經過第一次循環得到S=2°，n=1；然后經過第二次循環得到S=2°+21，n=2；然后經過第三次循環得到S=2°+21+22，n=2；…依此類推，當S=2°+21+22+…+2n＞1023時，輸出下一個n值由以上規律，可得：當n=10時，S=2°+21+22+…+210=2045，恰好大于1023，n變成11并且輸出由此可得，輸出的結果為11故答案為：11點評：本題給出程序框圖，求20+21+22+…+2n＞1023時輸出的n+1，屬于基礎題．解題的關鍵是先根據已知條件判斷程序的功能，構造出相應的數學模型再求解，從而使問題得以解決．　5．（5分）已知某拍賣行組織拍賣的10幅名畫中，有2幅是膺品．某人在這次拍賣中隨機買入了一幅畫，則此人買入的這幅畫是膺品的事件的概率為　　．考點：古典概型及其概率計算公式．專題：概率與統計．分析：利用古典概型的概率計算公式即可得出．解答：解：從10幅名畫中任買一件有=10種方法，若此人買入的這幅畫是膺品的方法有=2．因此此人買入的這幅畫是膺品的事件的概率P=．故答案為．點評：正確理解古典概型的概率計算公式是解題的關鍵．　6．（5分）函數的最小正周期為　2�。�考點：二倍角的正弦；誘導公式的作用；三角函數的周期性及其求法．專題：計算題；三角函數的圖像與性質．分析：先利用誘導公式對已知函數化簡，然后利用二倍角公式，再代入周期公式可求解答：解：∵=cos=根據周期公式可得T=故答案為：2點評：本題主要考查了誘導公式、二倍角公式在三角函數化簡中的應用及周期公式的應用，屬于基礎試題　7．（5分）函數的值域為�。�?∞，2]�。�考點：函數的值域．專題：函數的性質及應用．分析：利用二次函數和對數函數的單調性即可得出．解答：解：∵0＜4?x2≤4，∴=2．∴函數的值域為（?∞，2]．故答案為（?∞，2]．點評：熟練掌握二次函數和對數函數的單調性是解題的關鍵．　8．（5分）已知點A（1，1）和點B（?1，?3）在曲線C：y=ax3+bx2+d（a，b，d為常數上，若曲線在點A和點B處的切線互相平行，則a3+b2+d=　7�。�考點：利用導數研究曲線上某點切線方程．專題：導數的綜合應用．分析：曲線在點A和點B處的切線互相平行得，f′（1）=f′（?1），再結合點在曲線上則點的坐標適合方程建立方程組，解方程求出a、b、d值即可．解答：解：設f（x）?ax3+bx2+d，∵f′（x）=3ax2+2bx，∴f′（1）=3a+2b，f′（?1）=3a?2b．根據題意得 3a+2b=3a?2b，∴b=0．又點A（1，1）和點B（?1，?3）在曲線C上，∴解得：a3+b2+d=7．故答案為：7．點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，是一道中檔題．　9．（5分）已知向量，滿足，，則向量，的夾角的大小為　π　．考點：數量積表示兩個向量的夾角．專題：平面向量及應用．分析：利用向量的運算法則、向量的數量積及夾角公式即可得出．解答：解：∵，，∴=（?2，4），=（2，?4）．∴=?2×2+4×（?4）=?20，==．∴==?1，∴．或由，得．故向量，的夾角的大小為π．故答案為π．點評：熟練掌握向量的運算法則、向量的數量積及夾角公式是解題的關鍵．　10．（5分）給出下列命題：（1）若一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；（2）若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；（3）若兩條平行直線中的一條垂直于直線m，那么另一條直線也與直線m垂直；（4）若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中，所有真命題的序號為　（1）、（3）、（4）�。�考點：命題的真假判斷與應用．專題：證明題．分析：根據面面垂直的判定定理，可判斷（1）；根據平面與平面平行的判定定理，可判斷（2）；根據空間直線夾角的定義，可判斷（3），根據面面垂直的性質定理及反證法，可判斷（4）解答：解：由面面垂直的判定定理可得若一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直，故（1）正確；如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行，但兩條直線平行時，得不到平面平行，故（2）錯誤；根據空間直線夾角的定義，可得兩條平行直線與第三條直線的夾角相等，故若兩條平行直線中的一條垂直于直線m，那么另一條直線也與直線m垂直，即（3）正確；根據面面垂直的性質定理，若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線垂直的直線與另一個平面也垂直，則一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直，故（4）正確故真命題有（1）、（3）、（4）三個故答案為：（1）、（3）、（4）點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了空間直線與平面的位置關系，熟練掌握空間線面關系的判定定理，性質定理及幾何特征是解答的關鍵．　11．（5分）已知函數f（x）=，若關于x的方程f（x）=kx有兩個不同的實根，則實數k的取值范圍是　　．考點：函數零點的判定定理．專題：函數的性質及應用．分析：利用數形結合和函數的單調性即可得出．解答：解：如圖所示：①當x≥2時，由函數f（x）=單調遞減可得：0＜f（x）=；②當0＜x＜2時，由函數f（x）=（x?1）3單調遞增可得：?1＜f（x）＜1．由圖象可知：由0＜2k＜1可得，故當時，函數y=kx與y=f（x）的圖象有且只有兩個交點，∴滿足關于x的方程f（x）=kx有兩個不同的實根的實數k的取值范圍是．故答案為．點評：熟練掌握數形結合的思想方法和函數的單調性是解題的關鍵．　12．（5分）已知數列{an}滿足，，則=　�。�考點：數列遞推式；數列的求和．專題：計算題；等差數列與等比數列．分析：由，，知an+1=，由此得到+=3（+），從而推導出=3n?1?，由此能求出．解答：解：∵，，∴an+1=，∴==+，∴+=3（+），即=3，∴=3n?1，即=3n?1，∴=3n?1?，∴=（30+3+32+…+3n?1）?==．故答案為：．點評：本題考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想、構造法、等比數列性質的合理運用．　13．（5分）在平面直角坐標系xOy中，圓C：x2+y2=4分別交x軸正半軸及y軸負半軸于M，N兩點，點P為圓C上任意一點，則的最大值為　　．考點：平面向量數量積的運算．專題：平面向量及應用．分析：利用向量的數量積及三角函數的單調性即可求出．解答：解：令x=0，得y2=4，解得y=±2，取N（0，?2）．令y=0，得x2=4，解得x=±2，取M（2，0）．設點P（2cosθ，2sinθ）（θ∈[0，2π））．則=（2?2cosθ，?2sinθ）?（（?2cosθ，?2?2sinθ）=?2cosθ（2?2cosθ）+2sinθ（2+2sinθ）=4sinθ?4cosθ+4=φ）+4≤，當且僅當sin（θ?φ）=1時取等號．∴的最大值為 ．故答案為 ．點評：熟練掌握向量的數量積及三角函數的單調性是解題的關鍵．　14．（5分）已知實數x，y同時滿足，，27y?4x≤1，則x+y的取值范圍是　　．考點：有理數指數冪的化簡求值；對數的運算性質．專題：探究型；函數的性質及應用．分析：題目給出了一個等式和兩個不等式，分析給出的等式的特點，得到當x=，y=時該等式成立，同時把相應的x和y的值代入后面的兩個不等式等號也成立，把給出的等式的左邊變負指數冪為正指數冪，分析x和y的變化規律，知道y隨x的增大而減小，而當x增大y減小時，兩不等式不成立，因此斷定，同時滿足等式和不等式的x，y取值唯一，從而可得x+y的取值范圍．解答：解：當x=，y=時，，=，．由知，等式右邊一定，左邊y隨x的增大而減小，而當y減小x增大時，log27y?log4x＜，當x減小y增大時，27y?4x＞1．均與題中所給條件不等式矛盾．綜上，只有x=，y=時，條件成立，所以x+y的取值范圍為{}．故答案為{}．點評：本題考查了有理指數冪的化簡與求值，考查了對數式的運算性質，考查了特值驗證法，培養了學生的探究能力，此題是中檔題．　二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演江蘇省蘇州市高三（上）期末數學試卷（含解析）
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