以下是逍遙右腦為大家整理的關于《2018高三數學下冊期中試題（理科）》，供大家學習參考！
2018高三數學下冊期中試題(理科)
(考試時間120分鐘 滿分150分)
本試卷分為選擇題(共40分)和非選擇題(共110分)兩部分
第一部分(選擇題 共40分)
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
(1)復數 在復平面內對應的點位于
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
(2)已知集合 ，集合 ，則
(A) (B) (C) (D)
(3)已知平面向量 ， 滿足 ， ，則 與 的夾角為
(A) (B) (C) (D)
(4)如圖，設區域 ，向區域 內
隨機投一點，且投入到區域內任一點都是等可能的，則點落
入到陰影區域 的概率為
(A) (B)
(C) (D)
(5)在 中， ， ，則“ ”
是“ ”的
(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件
(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件
(6)執行如圖所示的程序框圖,輸出的S值為
(A) (B)
(C) (D)
(7)已知函數 .下列命題：
①函數 的圖象關于原點對稱; ②函數 是周期函數;
③當 時,函數 取最大值;④函數 的圖象與函數 的圖象沒有公共點，其中正確命題的序號是
(A) ①③ (B)②③ (C) ①④ (D)②④
(8)直線 與圓 交于不同的兩點 ， ，且 ，其中 是坐標原點，則實數 的取值范圍是
(A) (B)
(C) (D)
第二部分(非選擇題 共110分)
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上.
(9)在各項均為正數的等比數列 中， ， ，則該數列的前4項和
為 .
(10)在極坐標系中， 為曲線 上的點， 為曲線 上的點，則線段
長度的最小值是 .
(11)某三棱錐的三視圖如圖所示，則這個三棱錐的體積
為 ;表面積為 .
(12)雙曲線 的一個焦點到其漸近線的距離是 ，則 ;
此雙曲線的離心率為 .
(13)有標號分別為1,2,3的紅色卡片3張，標號分別為1,2,3的
藍色卡片3張，現將全部的6張卡片放在2行3列的格內
(如圖).若顏色相同的卡片在同一行，則不同的放法種數
為 .(用數字作答)
(14)如圖，在四棱錐 中， 底面 .底面 為梯形， ， ∥ , ， .若點 是線段 上的動點，則滿足 的點 的個數是 .
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
(15)(本小題滿分13分)
已知函數 ， .
(Ⅰ)求 的值及函數 的最小正周期;
(Ⅱ)求函數 在 上的單調減區間.
(16)(本小題滿分13分)
某單位從一所學校招收某類特殊人才.對 位已經選拔入圍的學生進行運動協調能力和邏輯思維能力的測試，其測試結果如下表：
一般 良好 優秀
一般
良好
優秀
例如，表中運動協調能力良好且邏輯思維能力一般的學生有 人.由于部分數據丟失，只知道從這 位參加測試的學生中隨機抽取一位，抽到運動協調能力或邏輯思維能力優秀的學生的概率為 .
(I)求 ， 的值;
(II)從參加測試的 位學生中任意抽取 位，求其中至少有一位運動協調能力或邏輯思
維能力優秀的學生的概率;
(III)從參加測試的 位學生中任意抽取 位，設運動協調能力或邏輯思維能力優秀的學
生人數為 ，求隨機變量 的分布列及其數學期望 .
(17)(本小題滿分14分)
如圖，四棱錐 的底面為正方形，側面 底面 . 為等腰直角三角形，且 . ， 分別為底邊 和側棱 的中點.
(Ⅰ)求證： ∥平面 ;
(Ⅱ)求證： 平面 ;
(Ⅲ)求二面角 的余弦值.
(18)(本小題滿分13分)
已知函數 ， .
(Ⅰ)求函數 的單調區間;
(Ⅱ)若函數 在區間 的最小值為 ，求 的值.
(19)(本小題滿分14分)
已知橢圓 經過點 ，離心率為 .(Ⅰ)求橢圓 的方程;
(Ⅱ)直線 與橢圓 交于 兩點，點 是橢圓 的右頂點.直線 與直線 分別與 軸交于點 ，試問以線段 為直徑的圓是否過 軸上的定點?若是，求出定點坐標;若不是，說明理由.
(20)(本小題滿分13分)
從 中這 個數中取 ( ， )個數組成遞增等差數列，所有可能的遞增等差數列的個數記為 .
(Ⅰ)當 時，寫出所有可能的遞增等差數列及 的值;
(Ⅱ)求 ;
(Ⅲ)求證： .
北京市朝陽區高三年級第一次綜合練習
數學答案(理工類) 2018.3
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B A B D C D
二、填空題
題號 9 10 11 12 13 14
答案
2
2
三、解答題
15. (本小題滿分13分)
解：
.
(Ⅰ) .
顯然，函數 的最小正周期為 . …………… 8分
(Ⅱ)令 得
， .
又因為 ，所以 .
函數 在 上的單調減區間為 . …………… 13分
16. (本小題滿分13分)
解：(I)設事件 ：從 位學生中隨機抽取一位，抽到運動協調能力或邏輯思維能力優秀的學生.
由題意可知，運動協調能力或邏輯思維能力優秀的學生共有 人.
則 .
解得 .
所以 . …………… 4分
(II)設事件 ：從 人中任意抽取 人，至少有一位運動協調能力或邏輯思維能力優秀的學生.
由題意可知，至少有一項能力測試優秀的學生共有 人.
則 . …………… 7分
(III) 的可能取值為 ， ， .
位學生中運動協調能力或邏輯思維能力優秀的學生人數為 人.
所以 ，
，
.
所以 的分布列為
0 1 2
所以， . …………… 13分
17. (本小題滿分14分)
(Ⅰ)證明：取 的中點 ，連接 ， .
因為 ， 分別是 ， 的中點，
所以 是△ 的中位線.
所以 ∥ ，且 .
又因為 是 的中點，且底面 為正方形，
所以 ，且 ∥ .
所以 ∥ ，且 .
所以四邊形 是平行四邊形.
所以 ∥ .
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 . ……………4分
(Ⅱ)證明： 因為平面 平面 ，
，且平面 平面 ，
所以 平面 .
所以 ， .
又因為 為正方形，所以 ，
所以 兩兩垂直.
以點 為原點，分別以 為 軸，
建立空間直角坐標系(如圖).
由題意易知 ，
設 ，則
， ， ， ， , , .
因為 ， ， ，
且 ，
所以 ， .
又因為 ， 相交于 ，所以 平面 . …………… 9分
(Ⅲ)易得 ， .
設平面 的法向量為 ，則
所以 即
令 ，則 .
由(Ⅱ)可知平面 的法向量是 ，
所以 .
由圖可知，二面角 的大小為銳角，
所以二面角 的余弦值為 . ……………14分
18. (本小題滿分13分)
解：函數 的定義域是 ， .
(Ⅰ)(1)當 時， ，故函數 在 上單調遞減.
(2)當 時， 恒成立，所以函數 在 上單調遞減.
(3)當 時，令 ，又因為 ，解得 .
①當 時， ，所以函數 在 單調遞減.
②當 時， ，所以函數 在 單調遞增.
綜上所述，當 時，函數 的單調減區間是 ，
當 時，函數 的單調減區間是 ，單調增區間為 .…7分
(Ⅱ)(1)當 時，由(Ⅰ)可知， 在 上單調遞減，
所以 的最小值為 ，解得 ，舍去.
(2)當 時，由(Ⅰ)可知，
①當 ，即 時，函數 在 上單調遞增，
所以函數 的最小值為 ，解得 .
②當 ，即 時，函數 在 上單調遞減，
在 上單調遞增，所以函數 的最小值為 ，
解得 ，舍去.
③當 ，即 時，函數 在 上單調遞減，
所以函數 的最小值為 ，得 ，舍去.
綜上所述， . ……………13分
19. (本小題滿分14分)
解：(Ⅰ)由題意得 ，解得 ， .
所以橢圓 的方程是 . …………… 4分
(Ⅱ)以線段 為直徑的圓過 軸上的定點.
由 得 .
設 ，則有 ， .
又因為點 是橢圓 的右頂點，所以點 .
由題意可知直線 的方程為 ，故點 .直線 的方程為 ，故點 .
若以線段 為直徑的圓過 軸上的定點 ，則等價于 恒成立.
又因為 ， ，
所以 恒成立.
又因為
，
所以 .
解得 .
故以線段 為直徑的圓過 軸上的定點 . …………… 14分
20. (本小題滿分13分)
解：(Ⅰ)符合要求的遞增等差數列為1，2，3;2，3，4;3，4，5;1，3，5，共4個.
所以 . …………… 3分
(Ⅱ)設滿足條件的一個等差數列首項為 ，公差為 ， .
， ， 的可能取值為 .
對于給定的 ， ， 當 分別取 時，可得遞增等差數列 個(如： 時， ，當 分別取 時，可得遞增等差數列91個： ; ; ; ，其它同理).
所以當 取 時，可得符合要求的等差數列的個數為：
.…………… 8分
(Ⅲ)設等差數列首項為 ，公差為 ，
記 的整數部分是 ，則 ，即 .
的可能取值為 ，
對于給定的 ， ，當 分別取 時，可得遞增等差數列 個.
所以當 取 時，得符合要求的等差數列的個數
易證 .
又因為 ， ，
所以 .
所以
.
即 . …………… 13分
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