2013年全國高考理科數學試題分類匯編3：三角函數
一、
1 ．（2013年普通高等學校招生統一考試浙江數學（理）試題（純WORD版））已知 ,則
A. B. C. D.
【答案】C
2 ．（2013年高考陜西卷（理 ））設△ABC的內角A, B, C所對的邊分別為a, b, c, 若 , 則△ABC的形狀為 (A) 銳角三角形(B) 直角三角形(C) 鈍角三角形(D) 不確定
【答案】B
3 ．（2013年普通高等學校招生統一考試天津 數學（理）試題（含答案））在△ABC中, 則 = (A) (B) (C) (D)
【答案】C
4 ．（2013年普通高等學校招生統一考試山東數學（理）試題（含答案））將函數 的圖象沿 軸向左平移 個單位后,得到一個偶函數的圖象,則 的一個可能取值為
(A) (B) (C)0 (D)
【答案】B
5 ．（2013年普通高等學校招生統一考試遼寧數學（理）試題（WORD版））在 ,內角 所對的邊長分別為 且 ,則
A. B. C. D.
【答案】A
6 ．（2013年普通高等學校招生統一考試大綱版數學（理）WORD版含答案（已校對））已知函數 ,下列結論中錯誤的是
(A) 的圖像關于 中心對稱 (B) 的圖像關于直線 對稱
(C) 的最大值為 (D) 既奇函數,又是周期函數
【答案】C
7 ．（2013年普通高等學校招生統一考試山東數學（理）試題（含答案））函數 的圖象大致為
【答案】D
8 ．（2013年高考四川卷（理））函數 的部分圖象如圖所示,則 的值分別是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
9 ．（2013年上海市春季高考數學試卷(含答案)）既是偶函數又在區間 上單調遞減的函數是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
10．（2013年普通高等學校招生統一考試重慶數學（理）試題（含答案）） ( )
A. B. C. D. 【答案】C 11．（2013年高考湖南卷（理））在銳角中 ,角 所對的邊長分別為 .若
A. B. C. D.
【答案】D
12．（2013年高考湖北卷（理））將函數 的圖像向左平移 個長度單位后,所得到的圖像關于 軸對稱,則 的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
二、題
13．（2013年普通高等學校招生統一考試浙江數學（理）試題（純WORD版）） 中, , 是 的中點,若 ,則 ________.
【答案】
14．（2013年高考新課標1（理））設當 時,函數 取得最大值,則 ______
【答案】 .
15．（2013年普通高等學校招生統一考試福建數學（理）試題（純WORD版））如圖 中,已知點D在BC邊上,AD AC, 則 的長為_______________
【答案】
16．（2013年上海市春季高考數學試卷(含答案)）函數 的最小正周期是_____________
【答案】
17．（2013年高考四川卷（理））設 , ,則 的值是_________.
【答案】
18．（2013年高考上海卷（理））若 ,則
【答案】 .
19．（2013年高考上海卷（理））已知△ABC的內角A、B、C所對應邊分別為a、b、c,若 ,則角C的大小是_______________(結果用反三角函數值表示)
【答案】
20．（2013年普通高等學校招生統一考試大綱版數學（理）WORD版含答案（已校對））已知 是第三象限角, ,則 ____________.
【答案】
21．（2013年普通高等學校招生全國統一招生考試江蘇卷（數學）（已校對純WORD版含附加題））函數 的最小正周期為___________.
【答案】
22．（2013年上海市春季高考數學試卷(含答案)）在 中,角 所對邊長分別為 ,若 ,則 _______
【答案】7
23．（2013年普通高等學校招生統一考試安徽數學（理）試題（純WORD版））設 的內角 所對邊的長分別為 .若 ,則 則角 _____.
【答案】
24．（2013年普通高等學校招生統一考試新課標Ⅱ卷數學（理）（純WORD版含答案））設 為第二象限角,若 ,則 ________.
【答案】
25．（2013年高考江西卷（理））函數 的最小正周期為 為_________.
【答案】
26．（2013年上海市春季高考數學試卷(含答案)）函數 的最大值是_______________
【答案】5
三、解答題
27．（2013年高考北京卷（理））在△ABC中,a=3,b=2 ,∠B=2∠A.
(I)求cosA的值; (II)求c的值.
【答案】解:(I)因為a=3,b=2 ,∠B=2∠A. 所以在△ABC中,由正弦定理得 .所以 .故 . (II)由(I)知 ,所以 .又因為∠B=2∠A,所以 .所以 . 在△ABC中, . 所以 .
28．（2013年高考陜西卷（理））已知向量 , 設函數 . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在 上的最大值和最小值.
【答案】解:(Ⅰ) = . 最小正周期 . 所以 最小正周期為 . (Ⅱ) . . 所以,f (x) 在 上的最大值和最小值分別為 .
29．（2013年普通高等學校招生統一考試重慶數學（理）試題（含答案））在 中,內角 的對邊分別是 ,且 .
(1)求 ; (2)設 ,求 的值.
【 答案】 由題意得
30．（2013年普通高等學校招生統一考試天津數學（理）試題（含答案））已知函數 .
(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ) 求f( x)在區間 上的最大值和最小值.
【答案】
31．（2013年普通高等學校招生統一考試遼寧數學（理）試題（WORD版））設向量
(I)若 (II)設函數
【答案】 [: 12999.co]
32．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)已知函數 ,其中常數 ;
(1)若 在 上單調遞增,求 的取值范圍;
(2)令 ,將函數 的圖像向左平移 個單位,再向上平移1個單位,得到函數 的圖像,區間 ( 且 )滿足: 在 上至少含有30個零點,在所有滿足上述條件的 中,求 的最小值.
【答案】(1)因為 ,根據題意有 (2) , 或 , 即 的零點相離間隔依次為 和 , 故若 在 上至少含有30個零點,則 的最小值為 . 33．（2013年普通高等學校招生統一考試大綱版數學（理）WORD版含答案（已校對））設 的內角 的對邊分別為 , .
(I)求
(II)若 ,求 .
【答案】 34．（2013年高考四川卷（理））在 中,角 的對邊分別為 ,且 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 , ,求向量 在 方向上的投影.
【答案】解: 由 ,得 , 即 , 則 ,即 由 ,得 , 由正弦定理,有 ,所以, . 由題知 ,則 ,故 . 根據余弦定理,有 , 解得 或 (舍去). 故向量 在 方向上的投影為
35．（2013年普通高等學校招生統一考試山東數學（理）試題（含答案））設△ 的內角 所對的邊分別為 ,且 , , .
(Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)求 的值.
【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理 ,得 , 又 , , ,所以 ,解得 , . (Ⅱ)在△ 中, , 由正弦定理得 , 因為 ,所以 為銳角,所以 因此 .
36．（2013年普通高等學校招生統一考試安徽數學（理）試題（純WORD版））已知函數 的最小正周期為 .
(Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)討論 在區間 上的單調性.
【答案】解: (Ⅰ) .所以 (Ⅱ) 所以
37．（2013年普通高等學校招生統一考試福建數學（理）試題 （純WORD版））已知函數 的周期為 ,圖像的一個對稱中心為 ,將函數 圖像上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),在將所得圖像向右平移 個單位長度后得到函數 的圖像.
(1)求函數 與 的解析式;
(2)是否存在 ,使得 按照某種順序成等差數列?若存在,請確定 的個數;若不存在,說明理由.
(3)求實數 與正整數 ,使得 在 內恰有2013個零點.
【答案】解:(Ⅰ)由函數 的周期為 , ,得 又曲線 的一個對稱中心為 , 故 ,得 ,所以 將函數 圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的 倍(縱坐標不變)后可得 的圖象,再將 的圖象向右平移 個單位長度后得到函數 (Ⅱ)當 時, , 所以 問題轉化為方程 在 內是否有解 設 , 則 因為 ,所以 , 在 內單調遞增 又 , 且函數 的圖象連續不斷,故可知函數 在 內存在唯一零點 , 即存在唯一的 滿足題意 (Ⅲ)依題意, ,令 當 ,即 時, ,從而 不是方程 的解,所以方程 等價于關于 的方程 , 現研究 時方程解的情況 令 , 則問題轉化為研究直線 與曲線 在 的交點情況 ,令 ,得 或 當 變化時, 和 變化情況如下表
當 且 趨近于 時, 趨向于 當 且 趨近于 時, 趨向于 當 且 趨近于 時, 趨向于 當 且 趨近于 時, 趨向于 故當 時,直線 與曲線 在 內有無交點,在 內有 個交點; 當 時,直線 與曲線 在 內有 個交點,在 內無交點; 當 時,直線 與曲線 在 內有 個交點,在 內有 個交點 由函數 的周期性,可知當 時,直線 與曲線 在 內總有偶數個交點,從而不存在正整數 ,使得直線 與曲線 在 內恰有 個交點;當 時,直線 與曲線 在 內有 個交點,由周期性, ,所以 綜上,當 , 時,函數 在 內恰有 個零點
38．（2013年普通高等學校招生全國統一招生考試江蘇卷（數學）（已校對純WO RD版含附加題））本小題滿分14分.已知 , .
(1)若 ,求證: ;(2)設 ,若 ,求 的值.
【答案】解:(1)∵ ∴ 即 , 又∵ , ∴ ∴ ∴ (2)∵ ∴ 即 兩邊分別平方再相加得: ∴ ∴ ∵ ∴
39．（2013年普通高等學校招生統一考試廣東省數學（理）卷（純WORD版））已知函數 , .
(Ⅰ) 求 的值; (Ⅱ) 若 , ,求 .
【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ) 因為 , ,所以 , 所以 , 所以 .
40．（2013年高考湖南卷（理））已知函數 .
(I)若 是第一象限角,且 .求 的值;
(II)求使 成立的x的取值集合.
【答案】解: ( I) . (II)
41．（2013年普通高等學校招生全國統一招生考試江蘇卷（數學）（已校對純WORD版含附加題））本小題滿分16分.如圖,游客從某旅游景區的景點 處下山至 處有兩種路徑.一種是從 沿直線步行到 ,另一種是先從 沿索道乘纜車到 ,然后從 沿直線步行到 .現有甲.乙兩位游客從 處下山,甲沿 勻速步行,速度為 .在甲出發 后,乙從 乘纜車到 ,在 處停留 后,再從勻速步行到 .假設纜車勻速直線運動的速度為 ,山路 長為 ,經測量, , .
(1)求索道 的長;
(2)問乙出發多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?
(3)為使兩位游客在 處互相等待的時間不超過 分鐘,乙步行的速度應控制在什么范圍內?
【答案】解:(1)∵ , ∴ ∴ , ∴ 根據 得 (2)設乙出發t分鐘后,甲.乙距離為d,則 ∴ ∵ 即 ∴ 時,即乙出發 分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短. (3)由正弦定理 得 () 乙從B出發時,甲已經走了50(2+8+1)=550(),還需走710 才能到達C 設乙的步行速度為V ,則 ∴ ∴ ∴為使兩位游客在 處互相等待的時間不超過 分鐘,乙步行的速度應控制在 范圍內 法二:解:(1)如圖作BD⊥CA于點D, 設BD=20k,則DC=25k,AD=48k, AB=52k,由AC=63k=1260, 知:AB=52k=1040. (2)設乙出發x分鐘后到達點, 此時甲到達N點,如圖所示. 則:A=130x,AN=50(x+2), 由余弦定理得:N2=A2+AN2-2 A•ANcosA=7400 x2-14000 x+10000, 其中0≤x≤8,當x=3537 (in)時,N最小,此時乙在纜車上與甲的距離最短. (3)由(1)知:BC=500,甲到C用時:126050 =1265 (in). 若甲等乙3分鐘,則乙到C用時:1265 +3=1415 (in),在BC上用時:865 (in) . 此時乙的速度最小,且為:500÷865 =125043 /in. 若乙等甲3分鐘,則乙到C用時:1265 -3=1115 (in),在BC上用時:565 (in) . 此時乙的速度最大,且為:500÷565 =62514 /in. 故乙步行的速度應控制在[125043 ,62514 ]范圍內.
42．（2013年高考湖北卷（理））在 中,角 , , 對應的邊分別是 , , .已知 .
(I)求角 的大小;
(II)若 的面積 , ,求 的值.
【答案】解:(I)由已知條件得: ,解得 ,角 (II) ,由余弦定理得: ,
43．（2013年普通高等學校招生統一考試新課標Ⅱ卷數學（理）（純WORD版含答案））△ 在內角 的對邊分別為 ,已知 . (Ⅰ)求 ; (Ⅱ)若 ,求△ 面積的最大值.
【答案】
44．（2013年高考新課標1（理））如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3 ,BC=1,P為△ABC內一點,∠BPC=90°
(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA
【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC= ,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得 = = ,∴PA= ; (Ⅱ)設∠PBA= ,由已知得,PB= ,在△PBA中,由正弦定理得, ,化簡得, , ∴ = ,∴ = .
45．（2013年上海市春季高考數學試卷(含答案)）本題共有2個小題,第一小題滿分4 分,第二小題滿分9分. 在平面直角坐標系 中,點 在 軸正半軸上,點 在 軸上,其橫坐標為 ,且 是首項為1、公比為2的等比數列,記 , .
(1)若 ,求點 的坐標;
(2)若點 的坐標為 ,求 的最大值及相應 的值.
[解](1)
(2)
【答案】[解](1)設 ,根據題意, .由 ,知 , 而 , 所以 ,解得 或 . 故點 的坐標為 或 . (2)由題意,點 的坐標為 , . . 因為 ,所以 , 當且僅當 ,即 時 等號成立. 易知 在 上為增函數, 因此,當 時, 最大,其最大值為 .
46．（2013年高考江西卷（理））在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cosC+(conA- sinA)cosB=0.
(1)求角B的大小;若a+c=1,求b的取值范圍
【答案】解:(1)由已知得 即有 因為 ,所以 ,又 ,所以 , 又 ,所以 . (2)由余弦定理,有 . 因為 ,有 . 又 ,于是有 ,即有 .
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