北京市朝陽區2013-2014學年度高三年級第一學期期中統一考試理科數學第Ⅰ卷（共40分）一、選擇題：本大題共8個小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，．若，則實數的值是( )A． C．或 D．或或2.命題：對任意，的否定是( )A．：對任意， B．：不存在, C．：存在, D．：存在, 3.執行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為( )A．91 B．55 C．54 D．304.若， 則( )A． B．C． D．考點：1.對數函數的單調性；2.對數函數的圖像與性質；3.指數函數的單調性5.由直線，，與曲線所圍成的圖形的面積等于( )A．．．．考點：定積分6.已知平面向量，，，則下列結論中錯誤的是( )A．與向量共線B．（，），則，C．，都存在實數，，使得D．在向量方向上的投影為7.若函數的圖象與函數的圖象至多有一個公共點，則實數的取值范圍是( ) . .A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：函數是將函數的圖像先向下平移個單位，然后將軸下方的圖像向上翻折得到的，如圖所示：8.同時滿足以下4個條件的集合記作：（1）所有元素都是正整數；（2）最小元素為1；（3）最大元素為2014；（4）各個元素可以從小到大排成一個公差為的等差數列．那么中元素的個數是( )A． B． C． D．第Ⅱ卷（共110分）二、填空題（每題5分，滿分30分，將答案填在答題紙上）9.在公比小于零的等比數列中，，，則數列的前三項和 ．10.函數的最小值是 ．【答案】【解析】試題分析：，當且僅當12.已知平面向量與的夾角為，，，則 ；若平行四邊形滿足，，則平行四邊形的面積為 ．13.已知函數 若，則實數的取值范圍是 ．【答案】【解析】試題分析：根據所給的分段函數，畫圖像如下：可得，，所以函數從第一項開始，函數值先增大后減小再增大再減小，最后趨于平穩值，奇數項的值慢慢變大趨于平穩值，偶數項慢慢變小趨于平穩值，所以偶數項的值總是大于奇數項的值，所以，，的大小關系是.考點：1.數列的遞推公式；2.數列的函數特性；3.指數函數的單調性三、解答題 （本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 15.(本小題滿分13分)已知函數．(Ⅰ)求函數的最小正周期及最小值；(Ⅱ)若，且，求的值．． ………4分的最小正周期為， 函數的最小值為． ………6分得．所以． ………8分，所以， ………10分或．所以或． ………13分，所對的邊分別為，，，且．(Ⅰ)若，求的面積；(Ⅱ)若，求的最大值. （Ⅱ）因為17.(本小題滿分13分)已知等差數列的前項和為，，且，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若，求的值和的表達式.試題解析：(Ⅰ)等差數列的公差為，則18.(本小題滿分14分)已知函數.(Ⅰ)若的圖象與軸無交點，求的取值范圍；若在上存在零點，求 的取值范圍；，.當時，若對任意的，總存在，使，求的取值范圍．；(Ⅱ) ；(Ⅲ) 或.【解析】試題分析：(Ⅰ) 函數的圖像與軸無交點，那么函數對應的方程的判別式，解不等式即可；(Ⅱ)先判斷函數在閉區間的單調性，然后根據零點存在性定理，可知，解方程組求得同時滿足兩個表達式的的取值范圍；(Ⅲ) 若對任意的，總存在，使，只需函數的值域為函數值域的子集在區間上的值域是，然后判斷函數的值域.分，，三種情況進行分類討論，當時，函數是一次函數，最值在兩個區間端點處取得，所以假設其值域是，那么就有成立，解相應的不等式組即可.試題解析：(Ⅰ)若的圖象與軸無交點，則方程的判別式，即，解得. ………3分，解得；綜上：實數的取值范圍. ………14分已知函數.(Ⅰ)求函數的單調； ，，，為函數的圖象上任意不同兩點，， 兩點的直線的斜率恒大于，求的取值范圍.試題解析：(Ⅰ) 依題意，的定義域為，，當時，，為增函數.(?)若，恒成立，故當時，為增函數.20.(本小題滿分13分)如果項數均為的兩個數列滿足且集合，則稱數列是一對 “項相關數列”.(Ⅰ)設是一對“4項相關數列”，求和的值，并寫出一對“項相關數列” ；(Ⅱ)是否存在 “項相關數列” ？若存在，試寫出一對；若不存在，請說明理由；(Ⅲ)對于確定的，若存在“項相關數列”，試證明符合條件的“項相關數列”有偶數對．【答案】(Ⅰ) ；；：8，4，6，5；：7，2，3，1 ；(Ⅱ)不存在，理由見解析；(Ⅲ)證明見解析.【解析】試題分析：(Ⅰ) 依題意有，，以及，求得以及的值，寫出符合條件的數列即可，答案不唯一；(Ⅱ)先假設存在，利用反證法證明得出矛盾，即可證明滿足已知條件的“10項相關數列”不存在.依題意有，以及成立，解出與已知矛盾，即證；(Ⅲ) 對于確定的，任取一對 “項相關數列”，構造新數對，，則可證明新數對也是“項相關數列”，但是數列與是不同的數列，可知“項相關數列”都是成對對應出現的，即符合條件的 “項相關數列”有偶數對.試題解析：(Ⅰ)依題意，，相加得，，又，則， .“4項相關數列”：8，4，6，5；：7，2，3，1（不唯一）………3分精品解析：北京市朝陽區2014屆高三上學期期中考試（數學理）
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