北京市朝陽區2013-2014學年度高三年級第一學期期中統一考試 數學試卷（理工類） 2013.11（考試時間120分鐘 滿分150分）本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．，．若，則實數的值是 A． C．或 D．或或2.命題：對任意，的否定是A．：對任意， B．：不存在, C．：存在, D．：存在, 3.執行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為 A．91B．55 C．54 D．304.若， 則A． B．C． D．5.由直線，，與曲線所圍成的圖形的面積等于 A．．．．，，，則下列結論中錯誤的是A．與向量共線B．（，），則，C．，都存在實數，，使得D．在向量方向上的投影為7. 若函數的圖象與函數的圖象至多有一個公共點，則實數的取值范圍是 . .A. B. C. D. 8.同時滿足以下4個條件的集合記作：（1）所有元素都是正整數；（2）最小元素為1；（3）最大元素為2014；（4）各個元素可以從小到大排成一個公差為的等差數列．那么中元素的個數是A． B． C． D．．中，，，則數列的前三項和 ．10．的最小值是 ．11．在點，處的切線經過點，，則12．與的夾角為，，，則 ；若平行四邊形滿足，，則平行四邊形的面積為 ．13． 若，則實數的取值范圍是 ． 14．（），數列滿足，，.則與中，較大的是 ；，，的大小關系是 ．三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15.（本小題滿分13分）已知函數．（Ⅰ）求函數的最小正周期及最小值；（Ⅱ）若，且，求的值．16. （本小題滿分13分）在中，角，，所對的邊分別為，，，且．（Ⅰ）若，求的面積；（Ⅱ）若，求的最大值. 17.（本小題滿分13分）已知等差數列的前項和為，，且，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的值和的表達式.18. （本小題滿分14分）已知函數.（Ⅰ）若的圖象與軸無交點，求的取值范圍；若在上存在零點，求 的取值范圍；，.當時，若對任意的，總存在，使，求的取值范圍．已知函數.（Ⅰ）函數的單調； （Ⅱ），，，為函數的圖象上任意不同兩點，， 兩點的直線的斜率恒大于，求的取值范圍.20. （本小題滿分13分）如果項數均為的兩個數列，滿足且集合，則稱數列是一對 “項相關數列”.（Ⅰ）設是一對“4項相關數列”，求和的值，并寫出一對“項相關數列” ；（Ⅱ）是否存在 “項相關數列” ？若存在，試寫出一對；若不存在，請說明理由；（Ⅲ）對于確定的，若存在“項相關數列”，試證明符合條件的“項相關數列”有偶數對．北京市朝陽區2013-2014學年度高三年級第一學期期中統一考試 數學試卷答案（理工類） 2013.11選擇題：題號（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案CCBDACDB二、填空題： 題號91011121314答案（注：兩空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答題：（15）（本小題滿分13分）解： ． （Ⅰ）函數的最小正周期為， 函數的最小值為． ………6分得． 所以． 又因為，所以， 所以或． 所以或． ………13分分，所以.當且僅當時等號成立. 所以的最大值為 ………13分的公差為，則解得，，，則，. ………5分時， ，當時，.則時，；時，.即. ………13分解：若的圖象與軸無交點，則方程 的判別式，即，解得. ………3分的對稱軸是，在上是減函數，在上存在零點，則必有：，即，解得：，故實數 的取值范圍為；分若對任意的，總存在，使，只需函數的值域為函數值域的子集當時，的對稱軸是的值域為下面求，的值域，時，，不合題意，舍②當時，的值域，只需要，解得③當時，的值域，只需要，解得綜上：實數的取值范圍 ………14分解（Ⅰ） 的定義域為，，當時，，為增函數.(?)若,恒成立，故當時，為增函數.（?）若,當時，為增函數；當時，，為增函數. (?)若,當時，為增函數；當時，，為增函數.綜上所述，當時，函數的單調遞增區間是；當時，函數的單調遞增區間是,；當時，函數的單調遞增區間是；當時，函數的單調遞增區間是,. ………6分（Ⅱ）兩點的直線的斜率恒大于，則有，當時，，即；當時，，即.設函數，若對于兩個不相等的正數，恒成立，則函數在恒為增函數，即在上，恒成立.解法一：(1)當時，當，，說明此時不恒成立；或，說明此時不恒成立；(2)當時，在上恒成立；(3)當時，若恒成立，而當時，，（ 當且僅當時取等號）即成立，即，解得，即，顯然符合題意.綜上所述，時，過兩點的直線的斜率恒大于.解法二：在上，恒成立，等價于，在成立，即在成立.（?）當時，上式顯然滿足；（?）當時，上式等價于，設，此時為減函數，，只需；（?）當時，上式等價于，設，則 ，當時，（當且僅當時等號成立）.則此時.在上，當時，成立. 過兩點的直線的斜率恒大于. 解法三：在上，恒成立，等價于在恒成立，則有（1）時，即，所以 或（2）時，需且，即顯然不成立.綜上所述，. ………………14分，相加得，，又，則，.“4項相關數列”：8，4，6，5；：7，2，3，1（不唯一）………3分4項相關數列”共6對： ：8，5，4，6；：7，3，1，2或：7，3，5，8；：6，1，2，4或：3，8，7，5；：2，6，4，1或：2，7，6，8；：1，5，3，4或：2，6，8，7；：1，4，5，3 或：8，4，6，5；：7，2，3，1 （Ⅱ）不存在．理由如下：假設存在 “15項相關數列”，則，相加，得又由已知，由此，顯然不可能，所以假設不成立。從而不存在 “15項相關數列” ………7分（Ⅲ）對于確定的，任取一對 “項相關數列”，令，，先證也必為 “項相關數列” ．因為又因為，很顯然有，所以也必為 “項相關數列”．再證數列與是不同的數列．假設與相同，則的第二項，又，則，即，顯然矛盾．從而，符合條件的 “項相關數列”有偶數對． ┅┅┅┅┅┅ 13分是否T=0,i=1開 始T=T+i2i=i+1輸出Ti>5？結束縛北京市朝陽區2014屆高三上學期期中考試數學（理）試題及答案
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