中山市高三級2015—2015學年度第一學期期末統一考試數學試卷（科）本試卷共4頁，20小題，滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1、答卷前，考生務必將自己的姓名、統考考號、座位號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上.2、每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題上.3、不可以使用計算器.4、考試結束，將答題卡交回，試卷不用上交.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設復數，，則在復平面內對應的點在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．設全集是實數集,,則（ ） A．B． C．D．【答案】A【解析】試題分析：或,則，故選A.考點：1.一元二次不等式；2.集合的運算.3．已知平面向量，，若∥，則等于( )A．B．C．D．4．已知數列為等差數列，若，，則( )A．36B．42C．45D．635．在某次測量中得到的樣本數據如下:82, 84, 84, 86, 86, 86, 88, 88, 88, 88.若樣本數據恰好是樣本數據都加2后所得數據,則,兩樣本的下列數字特征對應相同的是（　 ）A．眾數B．平均數C．中位數D．標準差6．如圖，設A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，后，就可以計算出A、B兩點的距離為（ ）A. B． C．D．7．如圖，定義某種運算，運算原理如右圖所示，則式子的值為（ ）A．11 B．13C．8D．4【答案】C【解析】試題分析：該算法是一個分段函數故原式==2×（1+1）+2×（3-1）=8．故答案為C.考點：1.框圖的運用;2.對數、三角函數運算.8．若一個底面為正三角形、側棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示，則該棱柱的體積為（ ）A．B．C．D．69．已知函數滿足，且時，，則當時，與的圖象的交點個數為( )A．11B．10C．9 D．8【答案】C10．對、，運算“”、“”定義為：=，=，則下列各式其中不恒成立的是（ ）⑴⑵⑶⑷A．⑴、⑶B．⑵、⑷C．⑴、⑵、⑶ D．⑴、⑵、⑶、⑷【答案】B【解析】試題分析：由定義知，則，；所以；若則，，所以；則⑴恒成立，則，；所以；若則，，所以；則⑶恒成立則，，所以，；則⑵⑷不恒成立正確答案B. 考點：性質二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.）11. .12．已知函數，則 .13．若變量滿足線性約束條件，則的最大值為________．【答案】5【解析】試題分析：由約束條件?，得如圖所示的三角形區域，由得直線過點時，取得最大值為5．考點：線性規劃14．已知函數有3個零點，則實數的取值范圍是 . 故答案為：．考點：1.函數零點的定義； 2.二次函數的性質應用.三、解答題（ 本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15．（本題滿分12分）設平面向量，，函數.（Ⅰ）求函數的值域和函數的單調遞增區間;（Ⅱ）當,且時,求的值.（Ⅰ） 函數的值域是；………………………………………………（5分）令，解得………………（7分）所以函數的單調增區間為.……………………（8分）（Ⅱ）由得,因為所以得,………………………（10分）……………………………………………………………………（12分）.考點：1.正弦函數的定義域和值域、正弦函數的單調性；2. 三角函數的恒等變換及化簡求值；3.平面向量數量積的運算.16．（本題滿分12分）某學校餐廳新推出A，B，C，D四款套餐，某一天四款套餐銷售情況的條形圖如下為了了解同學對新推出的四款套餐的評價，對每位同學都進行了問卷調查，然后用分層抽樣的方法從調查問卷中抽取20份進行統計，統計結果如下面表格所示：滿意一般不滿意A套餐50%25%25%B套餐80%020%C套餐50%50%0D套餐40%20%40%（Ⅰ）若同學甲選擇的是A款套餐，求甲的調查問卷被選中的概率；（Ⅱ）若想從調查問卷被選中且填寫不滿意的同學中再選出2人進行面談，求這兩人中至少有一人選擇的是D款套餐的概率. 【答案】（Ⅰ）0.1；（Ⅱ）【解析】試題分析：（I）由條形圖可得，選擇A，B，C，D四款套餐的學生共有200人，其中選A款套餐的學生為40人，由分層抽樣可得從A款套餐問卷中抽取的人數．17．（本題滿分14分）2，底面半徑為,AE、DF是圓柱的兩條母線，過作圓柱的截面交下底面于, 四邊形ABCD是正方形.（Ⅰ）（Ⅱ）【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】試題分析：AE是圓柱的母線，所以下底面，下底面， 又截面ABCD是正方形，⊥，又⊥面，又面，18. （本小題滿分14分）數列{}的前n項和為，．（I）設，證明：數列是等比數列；（II）求數列的前項和；（Ⅲ）若，．求不超過的最大整數的值.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）（）【解析】考點：1.遞推關系；2.等比數列的概念；3.數列求和.19．（本小題滿分14分） 已知函數（I）若，且對于任意恒成立，試確定實數的取值范圍；（II）設函數，求證：【答案】（I）（Ⅱ）見解析【解析】試題分析：（I）是偶函數，只需研究對任意成立即可，即當時由此可得，在上，．依題意，，又．綜合①，②得，實數的取值范圍是． ……………………（7分）20．已知函數，，，其中，且.⑴當時，求函數的最大值； ⑵求函數的單調區間；⑶設函數若對任意給定的非零實數，存在非零實數（），使得成立，求實數的取值范圍.【答案】⑴-1; ⑵見解析; ⑶【解析】試題分析：令g′（x）=0求出根，判斷g′（x）左右兩邊的符號，g（x）在上單調遞增，在上單調遞減g（x）g（）求出最值①當時，∵在上是減函數，則在上不存在實數（），使得，則，要在上存在非零實數（），使得成立，必定有，∴；②當時，在時是單調函數，則，要在上存在非零實數（），使得成立，必定有，∴.綜上得，實數的取值范圍為. ……………（14分）考點：1.函數的最值、單調性；2.導數的應用. 每天發布最有價值的高考資源 每天發布最有價值的高考資源 1 1 每天發布最有價值的廣東省中山市2015屆高三上學期期末考試試題（數學 文）
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