北京市朝陽區2015-2016學年度高三年級第一學期期末統一考試 數學試卷（理工類） 2015.1（考試時間120分鐘 滿分150分）本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．1．函數的定義域為 A． B． C． D． 2．點在以點為焦點的拋物線上，則 A． B． C．D．3．命題：；命題：，，則下列命題中為真命題的是A． B． C． D．4．△中，，，，則△的面積等于A． B． C．或 D．或5．如圖所示程序框圖，輸出是．，則所有可能的取值為A． B． C． D． ．已知正方形的四個頂點分別為，，，，點上運動，，設與交于點，則點的軌跡方程是A． B． C． D．．，的夾角為，且，則的最小值為A． B． C． D．8．滿足下面說法正確的是①當時，數列為遞減數列；②當時，數列不一定有最大項； ③當時，數列為遞減數列；④當為正整數時，數列必有兩項相等的最大項.A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ②③第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上．9．某校高學假期抽查100名同學時間繪頻率分布直方圖小時內的人數為_____．10．在各項均為正數的等比數列中，若，則 ． 11．直線與圓相交于,兩點，若，則實數的值是_____．12．一個三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是 ；表面積是 ．13．實數滿足若恒成立，則實數的最大值是 ．14．所有真約數（本身約數）的和等于它本身的叫做完全數；；．已經證明：若是質數，則是完全數，.請寫出一個四位完全數 ；又，所以的所有正約數之和可表示為；，所以的所有正約數之和可表示為；按此規律，的所有正約數之和可表示為 ．三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15．已知．（）求的；（，求的值．第1次第2次第3次第4次第5次5855769288乙6582878595（Ⅰ）請畫出甲、乙兩人成績的莖葉圖. 你認為選派誰參賽更好？說明理由（不用計算）；（Ⅱ）若從甲、乙兩人5次的成績中各隨機抽取一個成績進行分析，設抽到的兩個成績中，90分以上的個數為，求隨機變量的分布列和期望．17．（本題滿分14分）如圖，在三棱錐中，平面，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）設分別為的中點，點為△內一點，且滿足，求證：∥面；（Ⅲ）若，，求二面角的余弦值．18．（本題滿分13分）已知函數，．（Ⅰ）當時，求函數的極小值；（Ⅱ）若函數在上為增函數，求的取值范圍．19.已知橢圓兩焦點坐標分別為,，且經過點．（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）已知點，直線與橢圓交于兩點．若△是以為直角頂點的等腰直角三角形，試求直線的方程．20．（本題滿分13分）已知是正數， ，，．（Ⅰ）若成等差數列，比較與的大��；（Ⅱ）若，則三個數中，哪個數最大，請說明理由；（Ⅲ）若，，（），且，，的整數部分分別是求所有的值．北京市朝陽區2015-2016學年度高三年級第一學期期末統一考試 數學答案（理工類） 2015.1一、選擇題題號12345678答案CCBDBAAC二、填空題題號91011121314答案三、解答題15．（） ， 又，所以當時，函數的.…… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得， 所以．（舍）或．．16．解：（Ⅰ）莖葉圖如右圖所示，由圖可知，乙的平均成績大于甲的平均成績，且乙的方差小于甲的方差，因此應選派乙參賽更好． ……………… 6分（Ⅱ）隨機變量的所有可能取值為．，，，隨機變量的分布列是：． ……………… 13分17．證明：（Ⅰ）因為平面，平面， 所以． 又因為，且，所以平面．又因為平面，所以． ……………… 4分（Ⅱ）解法1:因為平面，所以，．又因為，所以建立如圖所示的空間直角坐標系．設，，，則，，，，．又因為，所以．于是，，．設平面的一個法向量，則有 即 不妨設，則有，所以．因為，所以．又因為平面，所以∥平面． ……………… 9分解法2：取中點，連，則.由已知可得,則點在上.連結并延長交于，連.因為分別為的中點，所以∥,即為的中點.又因為為線段的中點，所以∥.又平面,平面,所以∥平面．……………… 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面的一個法向量． 又因為面，所以面的一個法向量是． 又，由圖可知，二面角為銳角， 所以二面角的余弦值為． ……………… 14分18． 解：（Ⅰ）定義域．當時，，．令，得．當時，，為減函數；當時，，為增函數.所以函數的極小值是． ……………… 5分（Ⅱ）由已知得．因為函數在是增函數，所以，對恒成立．由得，即對恒成立．設，要使“對恒成立”，只要．因為，令得．當時，，為減函數；當時，，為增函數.所以在上的最小值是．故函數在是增函數時，實數的取值范圍是 …… 13分19．解：（Ⅰ）設橢圓標準方程為．依題意，所以．又，所以．于是橢圓的標準方程為． ……………… 5分（Ⅱ）依題意，顯然直線斜率存在.設直線的方程為，則由得．因為,得． ……………… ①設，線段中點為，則于是．因為，線段中點為，所以．（1）當，即且時，，整理得． ………………②因為，，所以，整理得，解得或．當時，由②不合題意舍去.由①②知，時，．（2）當時，（?）若時，直線的方程為，代入橢圓方程中得.設，,依題意，若△為等腰直角三角形，則.即，解得或.不合題意舍去，即此時直線的方程為.（?）若且時，即直線過原點.依橢圓的對稱性有,則依題意不能有,即此時不滿足△為等腰直角三角形.綜上，直線的方程為或或. ………………14分20．解：（Ⅰ）由已知得=．成等差數列，所以，則，因為，所以，即，則，即，當且僅當時等號成立． 4分（Ⅱ）解法1：令，，，依題意，且，所以．，即；且，即．且．三個數中，最大．，即．，所以，，．，，，所以，．在上為增函數，所以且．三個數中，最大．，，的整數部分分別是，則，所以．，則的整數部分是或．時，；當時，．時，，，的整數部分分別是，所以，，．，解得．，，所以此時．時，同理可得，，．，解得．，此時．時，同理可得，，，同時滿足條件的不存在．．11BOD5852755開始輸出ia
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