2012-2013學年度第一學期
高三級數學科（理科）期中考試試卷
本試卷分和非兩部分，共10頁，滿分為150分�？荚囉脮r120分鐘。
注意事項：1、答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和學號填寫在答題卡和答卷密封線內相應的位置上，用2B鉛筆將自己的學號填涂在答題卡上。
2、選擇題每小題選出答案后，有2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上。
3、非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答卷紙上作答，答案必須寫在答卷紙各題目指定區域內的相應位置上，超出指定區域的答案無效；如需改動，先劃掉原的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4、考生必須保持答題卡的整潔和平整。
第一部分選擇題(共 40 分)
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．若 ， ， ，則 （ ）
A．{2，4} B．{1，3} C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5}
2．若復數 （ 為虛數單位）是純虛數，則實數 （ ）
A. B. C.0 D.1
3．等差數列 的前n項和為 ，且9 ，3 ， 成等比數列. 若 =3，則 = ( )
A. 6 B. 4 C. 3 D. 5
4. 設 是甲拋擲一枚骰子得到的點數，則方程 有兩個不相等的實數根的概率為（ ）
A B C D
5. 已知變量x、y滿足條件 則 的最大值是( )
A.2 B.5C.6D.8
6. 下列各命題中正確的命題是 （ ）
①命題“ 或 ”為真命題，則命題“ ”和命題“ ”均為真命題；
② 命題“ ”的否定是“ ” ；
③“函數 最小正周期為 ”是“ ”的必要不充分條件； ④“平面向量 與 的夾角是鈍角”的充分必要條件是“ ” ．
A．②③ B．①②③ C．①②④D．③④
7. 把邊長為 的正方形 沿對角線 折起，使得平面 平面 ，形成三棱錐 的正視圖與俯視圖如下圖所示，則側視圖的面積為 （ ）
A. B. C. D.
8.點 為雙曲線 ： 和圓 ： 的一個交點，且 ，其中 為雙曲線 的兩個焦點，則雙曲線 的離心率為 （ ）
A． B． C． D．
第二部分 非選擇題(共 110 分)
二、題：本大題共6小題,每小題5分,共30分。
9. 若向量 , 滿足條件 ,則 =______
10. 在 ABC中， ， ，面積為 ，那么 的長度為________
11. 右圖是求 的值的程序框圖，則正整數 __
12．已知圓 的圓心與拋物線 的焦點關于 軸對稱,
又直線 與圓 相切,則圓 的標準方程為 _
13.已知函數 ，令 ，
則二項式 ，展開式中常數項是第 __________項.
第14、15題為選做題，只能選做一題，全答的，只計前一題的得分．
14．（坐標系與參數方程選講）在極坐標系 中，
曲線 與 的交點的極坐標為 .
15．（幾何證明選講）如圖, 是圓 的直徑，直線 與
圓 相切于點 ， 于點 ，若圓 的面積為 ， ，
則 的長為 ．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出字說明、證明過程和演算步驟.
16．（本小題共12分）已知函數 ( R).
（1）求 的最小正周期和最大值；
（2）若 為銳角，且 ，求 的值.
17.（本小題共12分）今有4種股票和3種基金，李先生欲購買其中的任意3種產品.
（1）求李先生所購買的3種產品中恰好只含一種基金的概率；
（2）記購買的3種產品中，包含基金的種數為ξ,求ξ的分布列及數學期望.

18.（本小題共14分）如圖，在長方體 中， ， 為 中點.
（1）求證： ；
（2）在棱 上是否存在一點 ，使得 平面 ？若存在，求 的長；若不存在，說明理由.
（3）若AB＝2，求二面角 的平面角的余弦值。

19．（本小題共14分）已知 是函數 的一個極值點。
（1）求 的值；
（2）求函數 的單調區間；
（3）若直線 與函數 的圖象有3個交點，求 的取值范圍。

20.（本小題共14分）直線 與橢圓 交于 ， 兩點，已知 ， ，若 且橢圓的離心率 ，又橢圓經過點 ， 為坐標原點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線 過橢圓的焦點 （ 為半焦距），求直線 的斜率 的值；
（3）試問： 的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，
請說明理由.

21．（本小題共14分）已知數列 中， ，對于任意的 ，有 ,
（1）求數列 的通項公式；
（2）數列 滿足： ，
，求數列 的通項公式；
（3）設 ，是否存在實數 ，當 時， 恒成立，若存在，求實數 的取值范圍，若不存在，請說明理由。

2012-2013學年度高三級第一學期期中數學科（理數）考試答案
一、選擇題（每題5分，共40分）
題號12345678
答案BBCACADC
二、題（每題5分，共30分）
9． ; 10. 49 ; 11. 100 ; 12. ； 13. 5
14. 15. 1
三、解答題（寫出必要的字說明，計算或證明過程。共80分）
16．（本小題共12分）

17．（本小題共12分）
解：（1）設事件A表示“李先生所購買的3種產品中，恰好只含一種基金” …………1分
…………3分
答：李先生所購買的3種產品中恰好只含一種基金的概率為 …………4分
（2） …………5分
…………9分

…………12分
18．（本小題共14分）
解：（1）連結 長方體 中， ，
則 …………1分
∵
∴ …………2分
∴ 面 …………3分
又 面
∴ …………4分
（2）存在 的中點P，使得 ，
證明：取 的中點為 ， 中點為 ，連接
在 中，
又
∴ Ks5u
∴四邊形PQDE為平行四邊形
∴
又
∴
此時 ………8分
（3）法一：在平面 上，過點 作 交 于 ，連結
∵
∴
∴ 為二面角 的平面角
在 中，
又 ，則
在 中，
∴
即二面角 的平面角的余弦值為 .
法二：因為
建立如圖所示坐標系

∵
∴平面ABE的一個法向量
設平面 的法向量為

由 ，得
取 ，則平面 的一個法向量
∴
經檢驗，二面角B－AE－B 所成平面角為銳角，其余弦值為
19．（本小題共14分）
解：（1）因為 …………2分
所以 ， 因此 …………4分
（2）由（1）知，

…………5分
當 時，
當 時， …………6分
所以 的單調增區間是
的單調減區間是 …………8分
（3）由（2）知， 在 內單調增加，在 內單調減少，在 上單調增加，
且當 或 時，
所以 的極大值為 ，極小值為 …………10分
因為

所以在 的三個單調區間
直線 與 的圖象各有一個交點，當且僅當 …………13分
因此， 的取值范圍為 …………14分

20．（本小題共14分）
解：（1）∵ ……2分
∴ ……………3分
∴橢圓的方程為 ……………4分
（2）依題意，設 的方程為
由 ………………5分
顯然
………………6分
由已知 得：


解得 ……………………8分
（3）①當直線 斜率不存在時，即 ，
由已知 ，得
又 在橢圓上，
所以
,三角形的面積為定值．………10分
②當直線 斜率存在時：設 的方程為

必須 即
得到 ， ………………11分
∵ ，∴
代入整理得： …………………12分
…………13分

所以三角形的面積為定值． ……14分
21．（本小題共14分）
解：（1）取 ，則 　∴ （ ）
∴ 是公差為 ，首項為 的等差數列 ∴ 　　　 …………4分
（2）∵ ①
∴ �、�
①-②得： ∴ …………6分
當 時， 　∴ ，滿足上式 ∴ …………8分
（3） 　假設存在 ，使
．
． ．　　
當 為正偶函數時， 恒成立，

∴ ．
∴ …………11分
當 為正奇數時， 恒成立．
∴
∴ ．∴ ．
綜上可知，存在實數 ．使 時， 恒成立． …………14分

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