命題：新田一中 廖信亮第I卷（選擇題 共0分）本大題有小題，每小題分，共分.每小題都有四個選項，．1．，，則集合中共有 ( ) 個真子集 原創A. 7 B .4 C. 3 D. 82．已知復數，則的虛部為（ ） 原創A. B. C. D. 3. “”是“或”成立的( ) 原創A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 4. 定積分的值為 ( ) 原創 A．． ．．的零點所在的大致區間是 ( ). 原創A. B. C. D. 6．已知變量滿足約束條件，則的取值范圍是（　�。�　 A． B．　 C． D． 原創7．已知點分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上的一個動點，若使得滿足是直角三角形的動點恰好有6個，則該橢圓的離心率為( ) 原創A . B. C. D. 8. 已知定義在上的函數，如果存在函數（為常數），使得對一切實數都成立，則稱為函數的一個“承托函數”現有如下命題：①對給定的函數，其承托函數可能不存在，也可能有無數個；②為函數的一個承托函數；③定義域和值域都是的函數不存在承托函數, 其中正確的命題是( ) A. ①② B. ② C. ①③ D. ②③改編自2015-2013金考卷45套16的8題第Ⅱ卷（非選擇題 共110分）二、填空題:（本大題有7小題，每小題5分，共35分）（一）選做題（請考生在9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分）9．，則該圓的圓心到直線的距離是 . 原創 10. 若，則的最小值為________. 原創11. 已知的兩條直角邊、的長分別為，以為直徑的圓與交于點，則 . 原創（二）必做題12.已知數列是等差數列，且，則 _____.原創13.設的展開式的各項系數之和為，二項式系數之和為，若，則 . 原創 14．在2015年高三第二次調研考試中，某學校有550名高三學生參加了考試，其數學成績近似服從正態分布，已知,則可估計該學校數學成績及格（成績不低于90分為及格）的學生有 人. 原創 15.平行四邊形的兩條對角線相交于點,點是對角線上任意一點。若且。則的取值范圍是 . 原創16 如果正整數各位數字之和等于6，那么稱為“吉祥數”，將所有的“吉祥數”從小到大排成一列若，則 .原創三、解答題:（本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17,18,19題每題12分，20,21,22每題13分）17.已知中，角的對邊分別為, 原創 (1)求角的值； (2)求 的值.18．中，底面是矩形， ,, ,為的中點，為的中點（1）證明：直線；（2）求二面角的平面角的余弦值. 原創19. 2015年某省實施通過競選選拔高校校長，省委組織部擬選拔4名校長，相關單位通過組織提名、領導干部個人提名、群眾聯合提名、自薦提名四種方式，確定初步人選為5名男競選者和4名女競選者，每名競選者當選校長的機會是相等的. 選用2015-2013金考卷45套16的16題（1）記為男競選者當選的人數，寫出的分布列，并求的數學期望；（2）設至少有名女競選者當選的概率為，試求滿足時的最大值.20．數列中， 原創 （1）若，求證：數列是等差數列，并求通項；（2）若，問是否存在實數，使數列成等比數列，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.21. 已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為點在橢圓上，且，的面積為3 （1）求橢圓的方程；（2）設橢圓的左、右頂點分別為，過點的直線與橢圓交于不同的兩點（不同于點），探索直線的交點能否在一條垂直于軸的定直線上，若能，求出這條定直線的方程；若不能，請說明理由 選用2015-2013金考卷45套23的22題22.已知函數，其中為實數 （1）求函數的單調區間；（2）若函數對定義域內的任意恒成立，求實數的取值范圍；（3）證明： ,對于任意的正整數成立.選用2015-2015金考卷45套7的22題新田一中2015屆高三下期期中考試數學試題（理科）答案解析命題：新田一中 廖信亮3.選.本小題主要考查充分條件、必要條件以及命題真假的判斷轉化方法.解析：考慮命題：若且,則.顯然該命題為真命題，其逆命題為假命題。那么它的逆否命題是：若,則或，一定為真。4.選B. 本小題主要考查定積分的幾何意義.解析：定積分表示直線軸以及函數所圍成的圖形的面積。由于所圍的圖形是一個半圓，所以面積為.5.選B. 本小題主要考查函數的零點，零點存在性定理的正確使用.解析：因為由零點存在性定理知選B.8.選A.本小題主要考查新情景下新概念的閱讀理解接受能力，函數的性質運用.解析：對于①，若，則就是函數的一個“承托函數”且有無數個；若，則沒有一個“承托函數”，所以①對;對于②，記令得，易知是的最（極）小值點，所以，所以②對；對于③，若則是函數的一個“承托函數”，所以③錯.9．.本小題主要考查極坐標與直角坐標的互化，點到直線的距離公式.解析：分別把極坐標方程，化為直角坐標方程所以圓心到直線的距離.13 .4. 本小題主要考查二項式定理及其通項.解析：所以解得，-15（舍去）所以.14.462 .本小題主要考查正態分布的概念.解析：這里,即從而所以.故.15.. 本小題主要考查解析法，數量積的坐標表示，解三角形的相關知識.解析：由余弦定理知,以直線為軸，直線為軸建立直角坐標系，則設那么所以故的取值范圍是.18. 本小題主要考查空間中平行問題的證明，二面角的探求，空間想象能力.解析（1）證明：取的中點,連接因為分別是的中點,所以又,所以所以四邊形是平行四邊形所以,又面，面所以直線. （6分）（2）取的中點,過作交于,連接，則面所以，所以是二面角的平面角在中，求得于是，即二面角的平面角的余弦值為.（12分）19. 本小題主要考查等可能事件的概率，概率的分布列，數學期望的求法.解析（1）依題意知的所有可能值為0,1,2,3,4，則 ， ， 故的分布列為0 1234所以. （8分）（2）由（1）知，至少有4名女競選者當選的概率為至少有3名女競選者當選的概率為至少有2名女競選者當選的概率為因此要使， 的最大值為2 . （12分）20. 本小題主要考查等差、等比數列的判斷方法，待定系數法以及等價轉化思想。解析（1）證明：，因為所以數列是等差數列，該等差數列的首項為，公差為所以， （6分）（2）假設存在實數滿足條件則 化簡得，那么必有，故存在實數，滿足條件.（13分）（2）由（1）知，，①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，直線與橢圓的交點坐標為，此時直線的方程為，直線的方程為，將直線與直線的方程聯立，消去得，，如果直線，的交點在一條垂直于軸的定直線上，則這條定直線的方程一定是， （7分）②當直線的斜率存在時，設直線的方程為代入橢圓的方程，整理得設直線與橢圓的交點為，則， （8分）直線的方程為，它與直線的交點坐標為，同理可求得直線與直線的交點為， （10分）下面證明兩點重合，即證明兩點的縱坐標相等因為， 所以所以結論成立，即直線與直線的交點在直線上。綜上可知，直線的交點能在一條垂直于軸的定直線上，這條定直線的方程是. (13分)22. 本小題主要考查函數的導數及其應用，分類討論的數學思想，不等式的證明方法.解析(1)因為討論如下：當時，令得；得此時，函數的增區間是，減區間是當時，令得或；得此時，函數的增區間是和，減區間是當時，對任意恒成立，此時，函數的增區間是，無減區間當時，令得或；得此時，函數的增區間是和，減區間是 （4分）（3）當時，（當且僅當時等號成立）則，當時，此不等式可以變形為，分別令，則所以 . （13分）湖南省新田一中2015屆高三上學期期中檢測（教師命題比賽）數學（理）試題
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