學習能力診斷卷 （理科試卷）
（考試時間：120分鐘，滿分150分） 2013.4
一．題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分.
1．若函數 的反函數圖像過點 ，則 = .
2．已知函數 的值域為 ，集合 ，則 = .
3．已知 ，且 ，則 =___________.
4．已知圓錐的母線長為 ，側面積為 ，則此圓錐的體積為__________（結果保留 ）.
5．已知 （ 為虛數單位）是一元二次方程
( 均為實數)的一個根，則 =__________.
6．如圖給出的是計算 的值的一個程序框圖，
圖中空白執行框內應填入 .
7. 在極坐標系中,過圓 的圓心,且垂直于極軸的直線的
極坐標方程是__________.
8. 將參數方程 （ 為參數， ）化為普通方程，
所得方程是_____ _____.
9. 在二項式 的展開式中，常數項的值是 ，
則 = .
10．一質地均勻的正方體三個面標有數字 ，另外三個面標有數字 .將此正方體連續拋擲兩次，
若用隨機變量 表示兩次拋擲后向上面所標有的數字之積，則數學期望 =___________.
11．已知橢圓 內有兩點 為橢圓上一點，
則 的最大值為 .
12.如圖， 為直線 外一點，若 中任意相鄰兩點的距離相等，
設 ，用 表示 ，其結果為 .
13.設函數 ，將 向左平移 個單位得到函數 ，將 向上平移
個單位得到函數 ,若 的圖像恒在 的圖像的上方，則正數 的取值范圍為 .
14.如圖，現將一張正方形紙片進行如下操作：第一步，將紙片以 為頂點，任意向上翻折，折痕與
交于點 ，然后復原，記 ；第二步，將紙片以 為頂點向下翻折，使 與
重合，得到折痕 ,然后復原，記 ；第三步，將紙片以 為頂點向上翻折，使
與 重合，得到折痕 ，然后復原，記 ；按此折法從第二步起重復以上步驟……，
得到 ，則 .
二．（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.
15．已知 為實數，命題甲： ，命題乙： ，則甲是乙的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
16．已知函數 ，設 ，則 是 （ ）
A.奇函數，在 上單調遞減
B.奇函數，在 上單調遞增
C.偶函數，在 上遞減，在 上遞增
D.偶函數，在 上遞增，在 上遞減
17．氣象意義上從春季進入夏季的標志為：“連續5天的日平均溫度均不低于22 (0C)”.現有甲、乙、丙
三地連續5天的日平均溫度的記錄數據（記錄數據都是正整數）：
① 甲地：5個數據的中位數為 ，眾數為 ；
② 乙地：5個數據的中位數為 ，總體均值為 ；
③ 丙地：5個數據中有一個數據是 ，總體均值為 ，總體方差為 ；
則肯定進入夏季的地區有 ( )
A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個
18. 如圖所示，向量 的模是向量 的模的 倍， 的夾角為 ,那么我們稱向量 經過
一次 變換得到向量 .在直角坐標平面內，設起始向量 ，向量 經過 次
變換得到的向量為 ，其中 為逆時針排列，
記 坐標為 ，則下列命題中不正確的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三．解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟.
19．(本題滿分12分)
在 中， 分別是角 的對邊，且 ,若
的面積 ，求 的值.
20．(本題滿分14分) 本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
某輪船公司的一艘輪船每小時花費的燃料費與輪船航行速度的平方成正比，比例系數為 .輪船的
最大速度為 海里/小時.當船速為 海里/小時，它的燃料費是每小時 元，其余航行運作費用（不論速度如何）總計是每小時 元.假定運行過程中輪船以速度 勻速航行．
（1）求 的值；
（2）求該輪船航行 海里的總費用 （燃料費+航行運作費用）的最小值.
21．(本題滿分14分) 本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
如圖，已知 是正三棱柱，它的底面邊長和側棱長都是 ， 為側棱 的中點．
（1）求異面直線 與 所成角的大�。ńY果用反三角函數值表示）；
（2）求直線 到平面 的距離.
22．(本題滿分16分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.
已知數列 的前 項和為 ,數列 是首項為 ，公差為 的等差數列.
（1）求數列 的通項公式；
（2）設 ，對任意的正整數 ，將集合 中的三個元素排成
一個遞增的等差數列，其公差為 ，求證：數列 為等比數列；
（3）對（2）題中的 ，求集合 的元素個數.
23．(本題滿分18分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題有三個問題情形，每位考生只能選擇一個作答，若多答，只對所答情形中最前面的一個記分，情形一、二、三滿分依次為5分、6分、8分.
已知雙曲線 的中心在原點， 是它的一個頂點， 是它的一條漸近線的一個方向向量.
(1)求雙曲線 的方程；
(2)若過點( )任意作一條直線與雙曲線 交于 兩點 ( 都不同于點 )，
求證： 為定值；
(3)對于雙曲線?: ， 為它的右頂點， 為雙曲線?上的兩點
(都不同于點 )，且 ，那么直線 是否過定點？若是，請求出此定點的坐標；
若不是，說明理由.然后在以下三個情形中選擇一個，寫出類似結論（不要求書寫求解或證明過程）.情形一：雙曲線 及它的左頂點；
情形二：拋物線 及它的頂點；
情形三：橢圓 及它的頂點.
（理）參考答案
一．題:(本題共有14題，每小題4分)
1． 2. 3. 4. 5. 19 6． 7.
8. ( ) 9. 10. 11. 12.
13. 14.
二．：（本題共有4小題，每小題5分）
15. B 16. B 17. C 18.D
三．解答題
19．（本題12分）
解：由條件可得 ，……………2分
即 ，……………4分
………………………………8分
由余弦定理 ,得 ………………10分
于是， . ………………………………………12分
20.（本題14分）本題共有2小題，第（1）小題6分，第（2）小題8分.
解：（1）由題意得燃料費 ，………………………………2分
把 =10， 代入得 .………………………………………………6分
（2） ，……………………………………9分
= ，………………………11分
其中等號當且僅當 時成立，解得 ，……………13分
所以，該輪船航行 海里的總費用 的最小值為2400（元）. ……………………………14分
21．（本題14分）本題共有2題，第(1)小題6分,第(2)小題8分.
解：（1）方法一：
以 中點 為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系.………1分
由題意得
則 . .............3分
設 為向量 的夾角，則
，.....5分
異面直線 與 所成角的大小為arccos . ...... 6分
方法二：取 中點 ，連結 .
………………………………….2分
（或其補角）為異面直線 所成的角. ……3分
由題意得:在 中， ;在 中， ;……………………4分
在等腰三角形 中，
………5分
所以異面直線 與 所成角的大小為 . .... 6分
（2）方法一：
由題意可得 ,
所以， 到平面 的距離即為 到平面 的距離，設為 . …………….8分
設平面 的法向量為 ， ,
由 得
,…………………11分
,
即 . ……………………………………………………12分
所以
故直線 到平面 的距離為 .…………………………………14分
方法二：
由題意可得 ,
所以， 到平面 的距離即為 到平面 的距離，設為 .…………….8分
由題意得 ，
等腰 底邊 上的高為 ，
則 ，
且 到平面 的距離為 ，………………………………………12分
由 得……………………………………………………………13分
，則 ，
所以，直線 到平面 的距離為 .……………14分
22．(本題滿分16分) 本題共有3個小題，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分, 第（3）小題滿分6分.
解：(1)由條件得 ，即 ,…………………………..2分
所以， . ……………………………………………………..4分
(2) 由（1）可知
所以， ， ,
，…………………………..7分
由 及 得 依次成遞增的等差數列,……………..8分
所以 ，…………………………..9分
滿足 為常數，所以數列 為等比數列. …………………………..10分
（3）①當 為奇數時，
，…………………………..12分
同樣，可得 ,
所以，集合 的元素個數為
；……..13分
②當 為偶數時，同理可得集合 的元素個數為 . .…..16分
23．(本題滿分18分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題有三個問題情形，每位考生只能選擇一個作答，若多答，只對所答情形中最前面的一個記分，情形一、二、三滿分依次為5分、7分、8分。
解：(1)設雙曲線C的方程為 ，則 ，…….2分
又 ，得 ，所以，雙曲線C的方程為 . ………….4分
(2)當直線 垂直于 軸時，其方程為 ， 的坐標為( , )、( , )，
，得 =0. ………………..6分
當直線 不與 軸垂直時，設此直線方程為 ，由 得
.
設 ，則 , ，……………..8分
故
.……....9分
＋ ＋ =0 . 綜上， =0為定值. ………………10分
(3)當 滿足 時，取 關于 軸的對稱點 、 ，由對稱性知 ，此時 與 所在直線關于 軸對稱，若直線 過定點，則定點必在 軸上. …… ..11分
設直線 的方程為： ，
由 ，得
設 ，則 , ，
由 ，得 ， ，
即 ，
，
化簡得， 或 (舍)， ……………………………………….13分
所以，直線 過定點( ,0). ………………………………..14分
情形一：在雙曲線? ： 中，若 為它的左頂點， 為雙曲線?上的兩點(都不同于點 )，且 ，則直線 過定點( ,0). …….15分
情形二：在拋物線 中，若 為拋物線上的兩點(都不同于原點 )，且 ，則直線 過定點 . …………..16分
情形三：（1）在橢圓 中，若 為它的右頂點， 為橢圓上的兩點(都不同于點 ), 且 ，則直線 過定點( ,0)；…………..15分
（2）在橢圓 中，若 為它的左頂點， 為橢圓上的兩點(都不同于點 )，且 ，則直線 過定點( ,0) ；………..16分
（3）在橢圓 中，若 為它的上頂點， 為橢圓上的兩點(都不同于點 ), 且 ，則直線 過定點(0, )； ………..17分
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