房山區2013年高考第二次模擬試卷
數 學 （理科）
本試卷共4頁，150分�？荚嚂r間長120分鐘�？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效�？荚嚱Y束后，將答題卡交回。
一、：本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.
1.若?p∨q是假命題，則
A. p∧q是假命題B. p∨q是假命題
C. p是假命題D. ?q是假命題
2.下列四個函數中,既是奇函數又在定義域上單調遞增的是
A.
B.
C.
D.
3.如圖， 是⊙O上的四個點，過點B的切線與 的
延長線交于點E.若 ，則
A.
B.
C.
D.
4.設平面向量 ，若 // ，則 等于
A.
B.
C.
D.
5.已知 是不等式組 所表示的平面區域內的兩個不同的點，則 的
最大值是
A.
B.
C.
D.
6.已知數列 的前 項和為 , , ,則
A. B.
C.
D.
7.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體
的表面積為
A．
B.
C.
D.
8.定義運算 ，稱 為將點 映到點 的
一次變換.若 ＝ 把直線 上的各點映到這點本身，而把直線
上的各點映到這點關于原點對稱的點.則 的值依次是
二、題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
9.在復平面內，復數 對應的點的坐標為 .
10.直線 的參數方程為 （t為參數），則直線 的斜率為 .
11.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是 . ，則 .
12.若 展開式中的二項式系數和為 ，則 等于 ，該展開式中的常數項為 .
13.拋物線 的焦點坐標為 ，則拋物線 的方程為 ，若點 在拋物線
上運動，點 在直線 上運動，則 的最小值等于 .
14.在數列 中，如果對任意的 ，都有 （ 為常數），則稱數列 為
比等差數列， 稱為比公差．現給出以下命題：
①若數列 滿足 ，則該數列不是比等差數列；
②若數列 滿足 ，則數列 是比等差數列，且比公差 ；
③等比數列一定是比等差數列，等差數列一定不是比等差數列；
④若 是等差數列， 是等比數列，則數列 是比等差數列．
其中所有真命題的序號是 .
三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明, 演算步驟或證明過程.
15.（本小題滿分13分）
已知函數 的最小正周期為 ，且圖象過點 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）設 ，求函數 的單調遞增區間.
16.（本小題滿分14分）
如圖, 是正方形， 平面 ，
， .
(Ⅰ) 求證： ；
(Ⅱ) 求二面角 的余弦值；
（Ⅲ）設點 是線段 上一個動點，試確定點 的位置，
使得 平面 ，證明你的結論.
17.（本小題滿分13分）
小明從家到學校有兩條路線，路線1上有三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為 ；路線2上有兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為 ．
（Ⅰ）若小明上學走路線1，求最多遇到1次紅燈的概率；
（Ⅱ）若小明上學走路線2，求遇到紅燈次數 的數學期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到紅燈次數越少為越好”的標準，請你幫助小明從上述兩條路線中選擇一條最好的上學路線，并說明理由．
18.（本小題滿分13分）
已知函數 （ ）.
（Ⅰ）當 時，求函數 的單調區間；
（Ⅱ）當 時， 取得極值.
① 若 ，求函數 在 上的最小值；
② 求證：對任意 ，都有 .
19.（本小題滿分14分）
已知橢圓 ： 的離心率為 ，且過點 ．直線
交橢圓 于 , （不與點 重合）兩點．
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）△ABD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明
理由．
20.（本小題滿分13分）
設 ，對于項數為 的有窮數列 ，令 為 中的最大值，稱數列 為 的“創新數列”．例如數列 3，5，4，7的創新數列為3，5，5，7．考查自然數 的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數列 ．
（Ⅰ）若 ，寫出創新數列為3，5，5，5，5的所有數列 ；
（Ⅱ）是否存在數列 的創新數列為等比數列？若存在，求出符合條件的創新數列；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）是否存在數列 ，使它的創新數列為等差數列？若存在，求出所有符合條件的數列 的個數；若不存在，請說明理由．
房山區2013年高考第二次模擬考試參考答案
數 學 （理科） 2013.05
一、：本大題共8小題,每小題5分,共40分.
1A 2C 3B 4D 5B 6C 7A 8B
二、題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
9. 10. 11.
12. 13. 14. ①②
三、解答題: 本大題共6小題,共80分.
15（本小題滿分13分）
（Ⅰ）由最小正周期為 可知 ， ………………2分
由 得 ，
又 ，
所以 ， ………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
所以
…………………………………………………………………9分
解
得 ……………………………12分
所以函數 的單調增區間為 .
…………………………………………………13分
16（本小題滿分14分）
(Ⅰ)證明： 因為 平面 ，
所以 . ……………………1分
因為 是正方形，
所以 ，
所以 平面 , …………………3分
從而 ……………………4分
(Ⅱ)解：因為 兩兩垂直，
所以建立空間直角坐標系 如圖所示. …………5分
設 ，可知 . ……………………6分
則 , ， ， ， ， ，
所以 ， ， ………………7分
設平面 的法向量為 ，則 ，即 ，
令 ，則 . …………………8分
因為 平面 ，所以 為平面 的法向量， ，
所以 ………………………………………9分
因為二面角為銳角，所以二面角 的余弦值為 . …………10分
(Ⅲ)解：點 是線段 上一個動點，設 .
則
因為 平面 ，
所以 ， ……………11分
即 ，解得 . ……………13分
此時，點 坐標為 ， ，符合題意. ……………14分
17（本小題滿分13分）
（Ⅰ）設走路線1最多遇到1次紅燈為A事件，則
． ………………2分
（Ⅱ）依題意， 的可能取值為0，1，2．
，
，
． ………………………………8分
隨機變量 的分布列為：
………………………………………………9分
． ………………10分
（Ⅲ）設選擇路線1遇到紅燈次數為 ，則 ，
所以 ． ………………12分
因為 ，所以選擇路線1上學最好． ………………13分
18（本小題滿分13分）
（Ⅰ） …………1分
當 時，
解 得 或 , 解 得 ……………2分
所以 單調增區間為 和 ，單調減區間為 ………3分
（Ⅱ）①當 時， 取得極值， 所以
解得 （經檢驗 符合題意） ……………4分
?
??
所以函數 在 ， 遞增，在 遞減. ……5分
當 時， 在 單調遞減，
………………6分
當 時
在 單調遞減，在 單調遞增，
. ………………7分
當 時， 在 單調遞增，
……………………8分
綜上， 在 上的最小值
……………………9分
②令 得 （舍）
因為
所以 ……………11分
所以，對任意 ，都有
……………13分
19（本小題滿分14分）
（Ⅰ） ， ，
， ，
． ------------------------------------------3分
（Ⅱ）設 ， ，
由
① ②----------------------5分
， --------------------8分
設 為點 到直線BD： 的距離，
--------------------10分
----------------------13分
當且僅當 時等號成立
∴當 時， 的面積最大，最大值為 ----------------14分
20（本小題滿分13分）
（Ⅰ）由題意，創新數列為3，5，5，5，5的所有數列 有6個，
3，5，1，2，4； ……………………………………………………………2分
3，5，1，4，2；
3，5，2，1，4；
3，5，2，4，1；
3，5，4，1，2；
3，5，4，2，1；………………………………………………………………4分
（Ⅱ）存在數列 的創新數列為等比數列． 設數列 的創新數列為 ，
因為 為前 個自然數中最大的一個，所以 ．若 為等比數列，
設公比為 ，因為 ，所以 ．……………7分
當 時， 為常數列滿足條件，即為數列
當 時， 為增數列，符合條件的數列只能是 ，
又 不滿足等比數列．綜上符合條件的創新數列只有一個．
………………………………………………………………8分
（Ⅲ）存在數列 ，使它的創新數列為等差數列，
設數列 的創新數列為 ，因為 為前 個自然數中最大的一個，
所以 ．若 為等差數列，設公差為 ，
因為 ，所以 ．且
當 時， 為常數列滿足條件，即為數列 （或寫通項公式 ），
此時數列 是首項為 的任意一個排列，共有 個數列；
………………………………………11分
當 時，符合條件的數列 只能是 ，此時數列 是 ，
有1個；
當 時， 又
這與 矛盾，所以此時 不存在.
綜上滿足條件的數列 的個數為 個（或回答 個）．
……………………………………………13分
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