源
望江四中屆高三上學期第一次月考
數 學（理）
本試卷分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）兩部分。答題時120分鐘，滿分150分。
第Ⅰ卷（選擇題共10小題，每小題5分，共50分）
一、選擇題（每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求．）
1.若集合 , ,則 （ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：集合A＝{ }，A＝{ }，所以，
2．在復平面內,復數 對應的點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：原式＝ ＝ ，所以，對應的坐標為（0，－1），選A＞
3．已知 為等差數列，若 ，則 的值為（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：因為 為等差數列，若 ，所以， ，
4. 已知函數 有且僅有兩個不同的零點 ， ，則（ �。�
A．當 時， ， B．當 時， ，
C．當 時， ， D．當 時， ，
答案：B
解析：函數求導，得： ，得兩個極值點：
因為函數f（x）過定點（0，－2），有且僅有兩個不同的零點，所以，可畫出函數圖象如下圖：
因此，可知， ，只有B符合。
5. 設集合 是 的子集，如果點 滿足： ，稱 為集合 的聚點.則下列集合中以 為聚點的有：① ； ② ； ③ ； ④ （ �。�
A．①④B．②③C．①②D．①②④
答案：A
【解析】①中，集合 中的元素是極限為1的數列，
∴在 的時候，存在滿足0＜x－1＜a的x，
∴1是集合 的聚點
②集合 中的元素是極限為0的數列，最大值為2，即｜x－1｜≥1
對于某個a＞1，不存在0＜x－1 ，∴1不是集合 的聚點
③對于某個a＜1，比如a=0.5，此時對任意的x∈Z，都有x?1=0或者x?1≥1，也就是說不可能0＜x?1＜0.5，從而1不是整數集Z的聚點
④ ＞0，存在0＜x－1＜0.5的數x，從而1是整數集Z的聚點
故選A
6. 在下列命題中, ①“ ”是“ ”的充要條件;② 的展開式中的常數項為 ;③設隨機變量 ~ ,若 ,則 .其中所有正確命題的序號是（ �。�
A．② B．②③ C．③D．①③
答案：B
解析：①是充分不必要條件，故錯誤；② ，令12－4k＝0，得，k＝3，所以，常數項為2，正確；③正態分布曲線的對稱軸是x＝0， ，所以， 正確；
7．已知偶函數 ,當 時, ,當 時, ( ).關于偶函數 的圖象G和直線 : ( )的3個命題如下:
①當a=4時,存在直線 與圖象G恰有5個公共點;
②若對于 ,直線 與圖象G的公共點不超過4個,則a≤2;
③ ,使得直線 與圖象G交于4個點,且相鄰點之間的距離相等.其中正確命題的序號是（ �。�
A．①②B．①③C．②③D．①②③
答案：D
解析：因為函數 和 的圖象的對稱軸完全相同，所以兩函數的周期相同，所以 ，所以 ，當 時， ，所以 ，因此選A。
8. 已知函數 ,定義函數 給出下列命題:
① ; ②函數 是奇函數;③當 時,若 , ,總有 成立,其中所有正確命題的序號是（ �。�
A．②B．①②C．③D．②③
答案：D
解析：① ，所以，錯誤；②當x＞0時，－x＜0，F（－x）＝－f（－x）＝－（ ）＝－f（x）＝F（x），為奇函數，同理可證當x＜0時也是奇函數，正確；
③因為n＜0，不妨設＞0，n＜0，又＋n＞0，所以，｜｜＞｜n｜，
＝ －（ ）＝ ，因為 ，所以，有 ＜0，正確。
9. 一個盒子里有3個分別標有號碼為1，2，3的小球，每次取出一個，記下它的標號后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標號最大值是3的取法有（ �。�
A．12種B．15種C．17種D．19種
答案：D
解析：分三類：第一類，有一次取到3號球，共有 取法；第二類，有兩次取到3號球，共有 取法；第三類，三次都取到3號球，共有1種取法；共有19種取法。
10．若函數 滿足 ，且 時， ，函數 ，則函數 在區間 內的零點的個數為
A．6B．7C．8D．9
答案：C
解析：因為函數 滿足 ，所以函數 是周期為2 的周期函數，又因為 時， ，所以作出函數 的圖像：
由圖知：函數 －g(x)在區間 內的零點的個數為8個。
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
二、題（本大題共5小題，每小題5分，共25分．）
11.設方程 的根為 ，設方程 的根為 ，則 。
答案：4
解析：在同一坐標系中作出函數 與 的圖象。它們與直線 的交點為 、 ，則 。因為函數 與 互為反函數，由反函數性質知 ，所以 。
12. 數列 的通項公式 ，其前 項和為 ，則 ．
答案：1006
解析：
所以 ，于是 。
13．若正整數 滿足 ，則數組 可能是 .
答案：（3，2，2，2）
解析：不妨設 ，由題易得 ，通過驗算可得 。
14. 已知a,b均為正數且 的最大值為 ．
答案：
解析：由柯西不等式可得：
15． 函數 的定義域為 ,若 且 時總有 ,則稱 為單函數.例如,函數 是單函數.下列命題:①函數 是單函數;②函數 是單函數;③若 為單函數, 且 ,則 ;④函數 在定義域內某個區間 上具有單調性,則 一定是單函數.其中的真命題是_________(寫出所有真命題的編號).
答案：③
解析：①若 ,則由 得 ,即 ,解得 ,所以①不是單函數.②若 則由函數圖象可知當 ,時, ,所以②不是單函數.③根據單函數的定義可知,③正確.④在在定義域內某個區間 上具有單調性,單在整個定義域上不一定單調,所以④不一定正確,比如②函數.所以真命題為③.
三、解答題（本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程）
16．（本小題共12分）已知函數 ，其中
（1）對于函數 ，當 時， ，求實數 的取值集合；
（2）當 時， 的值為負，求 的取值范圍。
17．（本小題共12分）如圖,四棱錐 的底面 是正方形,棱 底面 , ＝１, 是 的中點．
(1)證明平面 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值。
18．（本小題共12分）某同學在一次研究性學習中發現,以下五個式子的值都等于同一個常數 . ① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ .
(1)從上述五個式子中選擇一個,求出常數 ；
(2)根據(1)的計算結果,將該同學的發現推廣為一個三角恒等式,并證明你的結論.
19．（本小題共12分）已知函數
(1)若 求 在 處的切線方程;
(2)若 在區間 上恰有兩個零點,求 的取值范圍.
20．（本小題13分）如圖，過拋物線 的對稱軸上任一點 作直線與拋物線交于 、 兩點，點Q是點P關于原點的對稱點。
（1）設 ，證明： ；
（2）設直線AB的方程是 ，過 、 兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程。
21．（本小題14分）已知函數 ( ).
(1)當 時,求函數 的單調區間;
(2)當 時, 取得極值.
① 若 ,求函數 在 上的最小值;
② 求證:對任意 ,都有 .
理科數學解答題參考答案
三、解答題（本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程）
16．解:（1）容易知道函數 是奇函數、增函數。
（2）由（1）可知：當 時， 的值為負
且
17．證明:(1) ∵ , 是 的中點, ∴ .
∵ 底面 ,∴ .又由于 , ,
故 底面 ,
所以有 .又由題意得 ,故 .
于是,由 , , 可得 底面 .
故可得平面 平面
(2)取CD的中點F，連接AC與BD，交點為Ｍ，�。模偷闹悬cN，連接ＥＮ，ＦＮ，易知 為二面角 的平面角，又 ， ，由勾股定理得 ，在 中，
所以二面角 的余弦值為
（用空間向量做，答案正確也給６分）
18.解： (1)選擇②式計算
.
(2)猜想的三角恒等式為
.
證明：
19．解: (1)
在 處的切線方程為
(2)由
由 及定義域為 ,令
①若 在 上, , 在 上單調遞增,
因此, 在區間 的最小值為 .
②若 在 上, , 單調遞減;在 上, , 單調遞增,因此 在區間 上的最小值為
③若 在 上, , 在 上單調遞減,
因此, 在區間 上的最小值為 .
綜上,當 時, ;當 時, ;
當 時,
可知當 或 時, 在 上是單調遞增或遞減函數,不可能存在兩個零點.
當 時,要使 在區間 上恰有兩個零點,則
∴ 即 ,此時, .
所以, 的取值范圍為
20．解: (1) 由題意，可設直線 的方程為 ，代入拋物線方程 得
①
設 、 兩點的坐標分別是 ，則 是方程①的兩根，所以
由 得 ，又點Q是點P關于原點的對稱點，故點Q的坐標為 ，從而
所以
(2) 由 得 的坐標分別為
拋物線 在點A處切線的斜率為3.
設圓C的方程是 ，則
解之得
故，圓C的方程是
21．解：(1)
當 時,
解 得 或 , 解 得
所以 單調增區間為 和 ,單調減區間為
(2)①當 時, 取得極值, 所以
解得 (經檢驗 符合題意)
+0-0+
???
所以函數 在 , 遞增,在 遞減
當 時, 在 單調遞減,
當 時
在 單調遞減,在 單調遞增,
當 時, 在 單調遞增,
綜上, 在 上的最小值
②令 得 (舍)
因為 所以
所以,對任意 ,都有
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