2012-2013學年福建省福州市高三（上）期末數學試卷（文科）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共50分．在每小題所給的四個答案中有且只有一個答案是正確的．把正確選項涂在答題卡的相應位置上．）1．（5分）i為虛數單位，復數z=i（1?i），則在復平面內對應的點在（　�。�　A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考點：復數代數形式的乘除運算；復數的基本概念．專題：計算題．分析：利用兩個復數代數形式的乘法，求得復數z，根據共軛復數的定義求得的值，即得在復平面內對應的點的坐標．解答：解：∵復數z=i（1?i）=1+i，則=1?i，它在復平面內的對應點的坐標為（1，?1），故在復平面內對應的點在第四象限，故選D．點評：本題考查復數的基本概念，兩個復數代數形式的乘法，復數與復平面內對應點之間的關系，求出=1?i，是解題的關鍵．　2．（5分）如圖設全集U為整數集，集合A={x∈N1≤x≤8}，B={0，1，2}則圖中陰影部分表示的集合的真子集的個數為（　�。�　A．3B．4C．7D．8考點：Venn圖表達集合的關系及運算．專題：計算題．分析：根據陰影部分對應集合，進行集合運算，再根據含有N個元素的集合的真子集的個數是2N?1個求解．解答：解：A={1，2，3，4，5，6，7，8}，圖中陰影對應A∩B，A∩B={1，2}，∴真子集有3個．故選A點評：本題考查Venn圖表示集合關系及集合的交集運算．　3．（5分）（2012?山東）設命題p：函數y=sin2x的最小正周期為；命題q：函數y=cosx的圖象關于直線對稱．則下列判斷正確的是（　�。�　A．p為真B．?q為假C．p∧q為假D．p∨q為真考點：復合命題的真假．專題：規律型．分析：由題設條件可先判斷出兩個命題的真假，再根據復合命題真假的判斷規則判斷出選項中復合命題的真假即可得出正確選項解答：解：由于函數y=sin2x的最小正周期為π，故命題P是假命題；函數y=cosx的圖象關于直線x=kπ對稱，k∈Z，故q是假命題由此結合復合命題的判斷規則知：?q為真命題，p∧q為假命題，p∨q為是假命題考查四個選項，C選項正確，故選C點評：本題考查復合命題的真假判斷，解題的關鍵是正確判斷所涉及命題的真假及熟練掌握復合命題的真假判斷規則，本題屬于高考常考題型也是對命題考查的常規題型，知識性強，難度不大　4．（5分）（2013?煙臺一模）對具有線性相關關系的變量x，y，測得一組數據如下表：x24568y2040607080根據上表，利用最小二乘法得它們的回歸直線方程為=10.5x+，據此模型來預測當x=20時，y的估計值為（　�。�　A．210B．210.5C．211.5D．212.5考點：線性回歸方程．專題：概率與統計．分析：求出橫標和縱標的平均數，寫出樣本中心點，把樣本中心點代入線性回歸方程，得到關于a的方程，解方程求出a，最后將x=20代入求出相應的y即可．解答：解：∵==5，==54∴這組數據的樣本中心點是（5，54）把樣本中心點代入回歸直線方程=10.5x+，∴54=10.5×5+a，∴a=1.5，∴回歸直線方程為=10.5x+1.5，當x=20時，=10.5×20+1.5=211.5，故選C．點評：本題考查線性回歸方程，解題的關鍵是線性回歸直線一定過樣本中心點，這是求解線性回歸方程的步驟之一．　5．（5分）“∥”是“存在唯一實數λ，使得=λ”的（　�。�　A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件　C．充要條件D．既不充分也不必要條件考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：平面向量及應用．分析：本題研究充分條件與必要條件的判斷，利用充分條件與必要條件的定義結合向量平行的知識作出判斷選出正確選項．解答：解：對于“∥”，當向量是零向量，而向量不是零向量，則不存在實數λ，使得=λ”，故“∥”不能得出“存在唯一實數λ，使得=λ”；反之，根據平行向量基本定理，是成立的．故“∥”是“存在唯一實數λ，使得=λ”的必要而不充分條件．故選B．點評：本題著重考查了平行向量基本定理、充要條件等知識，屬于基礎題．　6．（5分）函數y=1og5（1?x）的大致圖象是（　　）　A．B．C．D．考點：函數的圖象．專題：函數的性質及應用．分析：把原函數變形為y=log5[?（x?1）]，利用函數圖象的對稱變換和平移變換即可得到答案．解答：解：由y=1og5（1?x），得：y=log5[?（x?1）]，∵y=log5[?（x?1）]的圖象是把函數y=log5（?x）的圖象向右平移一個單位得到的，而y=log5（?x）的圖象與函數y=log5x的圖象關于y軸對稱，由此可知，函數y=1og5（1?x）的大致圖象是選項C的形狀．如圖，故選C．點評：本題考查了函數圖象的變化，函數y=f（x+a）+b的圖象是把函數y=f（x）的圖象向左（a＞0）或向右（a＜0）平移a個單位，然后再把函數y=f（x+a）的圖象向上（b＞0）或向下（b＜0）平移b個單位得到，此題是基礎題．　7．（5分）△ABC中，若sinB既是sinA，sinC的等差中項，又是sinA，sinC的等比中項，則∠B的大小是（　�。�　A．30°B．45°C．60°D．90°考點：余弦定理；等差數列的通項公式；等比數列的通項公式．分析：依題意，可求得（sinA?sinC）2=0，從而可利用正弦定理求得a=b=c，繼而可得答案．解答：解：∵△ABC中，sinB既是sinA，sinC的等差中項，又是sinA，sinC的等比中項，∴2sinB=sinA+sinC，sin2B=sinA?sinC∴4sin2B=（sinA+sinC）2∴4sinA?sinC=（sinA+sinC）2（sinA+sinC）2?4sinA?sinC=0即（sinA?sinC）2=0，∴sinA=sinC，于是2sinB=2sinA=2sinC，∴sinB=sinA=sinC，即：a=b=c，∴B=60°故選C．點評：本題考查等差數列與等比數列的通項公式，考查正弦定理與等量代換，求得sinA=sinC是關鍵，屬于中檔題．　8．（5分）在區間[0，π]上隨機取一個數x，則事件“”發生的概率為（　　）　A．B．C．D．考點：幾何概型．專題：概率與統計．分析：先化簡不等式，確定滿足sin（x+）≥且在區間[0，π]內x的范圍，根據幾何概型利用長度之比可得結論．解答：解：∵，即sin（x+）≥，∴sin（x+）≥，∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴在區間[，]內，滿足sin（x+）≥的x+∈[，]，∴在區間[0，π]內，滿足sin（x+）≥的x∈[，]，∴事件發生的概率為P==．故選B．點評：本題考查幾何概型，考查三角函數的化簡，考查學生的計算能力，屬于中檔題．　9．（5分）若運行如圖所示的程序，則輸出S的值是（　�。�　A．B．C．D．考點：偽代碼．專題：圖表型．分析：首先根據程序框圖，理解其意義，然后按照程序順序進行執行循環，當滿足跳出循環的條件時輸出結果．分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是輸出滿足條件S=+…+的值．解答：解：根據題意，本程序框圖為求和運算第1次循環：S=0+ i=2第2次循環：S= i=3…第2012次循環：S=+…+，此時，i=2013＞2012．輸出S=+…+=1?=．故選C．點評：本題考查程序框圖，通過對程序框圖的認識和理解按照程序框圖的順序進行執行．通過按照循環體的執行，考查運算能力．屬于基礎題　10．（5分）已知函數半個周期內的圖象如圖所示，則函數f（x）的解析式為（　�。�　A．B．C．D．考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．專題：三角函數的圖像與性質．分析：由函數的最值求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，從而求得函數f（x）的解析式．解答：解：由函數的圖象可得 M=2，?=+，解得ω=1．再由五點法作圖可得 1×（?）+φ=0，φ=，故函數f（x）的解析式為 ，故選A．點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+?）的部分圖象求解析式，由函數的最值求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，屬于中檔題．　11．（5分）若點A（m、n）在第一象限，且在直線2x+3y=5上，則的最小值為（　�。�　A．B．C．4D．5考點：基本不等式．分析：由題意可得，2m+3n=5，m，n＞0，而=（）（2m+3n），展開后利用基本不等式可求的最小值解答：解：由題意可得，2m+3n=5，m，n＞0則=（）（2m+3n）=≥=25當且僅當即m=n=1時取等號則的最小值25故選D點評：本題考查基本不等式的應用，注意配湊基本不等式的應用條件，注意1的代換　12．（5分）能夠把圓O：x2+y2=16的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數稱為圓O的“和諧函數”，下列函數不是圓O的“和諧函數”的是（　�。�　A．f（x）=x3B．C．f（x）=ex?e?xD．f（x）=1n[（4?x）（4+x）]考點：圓的標準方程．專題：新定義．分析：由圓O的“和諧函數”的定義，我們易分析出函數f（x）是奇函數，逐一分析四個函數的奇偶性，可得答案．解答：解：若函數f（x）是圓O的“和諧函數”，則函數的圖象經過圓心且關于圓心對稱由圓O：x2+y2=16的圓心為坐標原點故函數f（x）是奇函數由于A中f（x）=x3，B中，C中f（x）=ex?e?x均為奇函數，在中f（x）=1n[（4?x）（4+x）]為偶函數，不滿足要求故選D點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性，其中根據新定義圓O的“和諧函數”判斷出滿足條件的函數為奇函數是解答的關鍵．　二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共20分，把答案填在答題卡的相應位置上．）13．（4分）以橢圓的右焦點為焦點，且頂點在原點的拋物線標準方程為　y2=4x�。�考點：拋物線的標準方程．專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：依題意，可求得橢圓+y2=1的右焦點，利用拋物線的簡單性質即可求得答案．解答：解：∵橢圓+y2=1的右焦點F（，0），∴以F（，0）為焦點，頂點在原點的拋物線標準方程為y2=4x．故答案為：y2=4x．點評：本題考查拋物線的標準方程，考查橢圓與拋物線的簡單性質，屬于中福建省福州市2012-2013學年高三（上）期末數學試卷（文科）（含解析）
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