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　　　　　　　　2014年中考數學二輪精品復習試卷：
直角三角形
學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________
1、如圖，ABCD是平行四邊形，AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上AD=OA=1，則圖中陰影部分的面積為

A．B．C．D．

2、tan60°的值等于
A．1B．C．D．2

3、3tan30°的值等于
A．B．C．D．

4、sin30°=
A．0B．1C．D．

5、下列四個數中最大的數是（）
A．2.5B．C．sin600D．

6、sin60°=
A．B．C．D．

7、對于sin60°有下列說法：①sin60°是一個無理數；②sin60°>sin50°；③sin60°=6sin10°。其中說法正確的有（）
A．0個B．1個C．2個D．3個

8、直角三角形有一條直角邊為6，另兩條邊長是連續偶數，則該三角形周長為（）
A．20B． 22C． 24D． 26

9、為迎接“五一”的到來，同學們做了許多拉花布置教室準備召開“五一”聯歡晚會，小剛搬來一架高2.5米的木梯，準備把拉花掛到2.4米高的墻上，則梯腳與墻距離應為（）
A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米

10、如圖所示，△ABC的頂點是正方形網格的格點，則sinA的值為（）

A．B．C．D．

11、計算的結果是【】
A．　B．4　C．　D．5

12、如圖，某地修建高速公路，要從B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），為了測量B，C兩地之間的距離，某工程師乘坐熱氣球從C地出發，垂直上升100m到達A處，在A處觀察B地的俯角為30°，則BC兩地之間的距離為

A．100mB．50mC．50mD．m

13、如圖，若∠A=60°，AC=20m，則BC大約是(結果精確到0.1m)

A．34.64mB．34.6mC．28.3mD．17.3m

14、如圖，在直角坐標系中，P是第一象限內的點，其坐標是（3，m），且OP與x軸正半軸的夾角的正切值是，則的值是【】

A．　B．　　C．　D．

15、如圖，已知⊙O的半徑為1，銳角△ABC內接于⊙O，BD⊥AC于點D，OM⊥AB于點M，則sin∠CBD的值等于【】

A．3B．?3C．D．

16、△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，如果，那么下列結
論正確的是【】
　　

A．csinA= a B．b cosB=c C．a tanA= b D．ctanB= b

17、使兩個直角三角形全等的條件是
A．一銳角對應相等B．兩銳角對應相等
C．一條邊對應相等D．兩條邊對應相等

18、如圖，正六邊形ABCDEF中，AB=2，點P是ED的中點，連接AP，則AP的長為（　�。�

A．B．4C．D．

19、如圖，在平面直角坐標系中，Rt△OAB的頂點A在x軸的正半軸上，頂點B的坐標為（3，），點C的坐標為（，0），點P為斜邊OB上的一動點，則PA＋PC的最小值為

A．B．C．D．2

20、如圖，在△ABC中，∠A=450，∠B=300，CD⊥AB，垂足為D，CD=1，則AB的長為【】

A．2　　B．　　C．　　D．

21、如圖1，E為矩形ABCD邊AD上一點，點P從點B沿折線BE?ED?DC運動到點C時停止，點Q從點B沿BC運動到點C時停止，它們運動的速度都是1cm/s．若P，Q同時開始運動，設運動時間為t（s），△BPQ的面積為y（cm2）．已知y與t的函數圖象如圖2，則下列結論錯誤的是【】

A．AE=6cmB．
C．當0＜t≤10時，D．當t=12s時，△PBQ是等腰三角形

22、如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，則MN的長為

A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm

23、如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A看一棟高樓頂部B的仰角為300，看這棟高樓底部C的俯角為600，熱氣球A與高樓的水平距離為120m，這棟高樓BC的高度為

A．40m　 B．80mC．120m 　D．160m

24、如圖，小敏同學想測量一棵大樹的高度．她站在B處仰望樹頂，測得仰角為30°，再往大樹的方向前進4m，測得仰角為60°，已知小敏同學身高（AB）為1.6m，則這棵樹的高度為（結果精確到0.1m，≈1.73）．

A．3.5mB．3.6mC．4.3mD．5.1m

25、如圖，O為原點，點A的坐標為（3，0），點B的坐標為（0，4），⊙D過A、B、O三點，點C為優弧ABO上的一點（不與O、A兩點重合），則cosC的值為

A. B. C. D.

二、題()
26、如圖，AB是⊙O的直徑，，AB=5，BD=4，則sin∠ECB=．

27、如圖，A，B，C為⊙O上相鄰的三個n等分點，，點E在上，EF為⊙O的直徑，將⊙O沿EF折疊，使點A與A′重合，點B與B′重合，連接EB′，EC，EA′．設EB′=b，EC=c，EA′=p．現探究b，c，p三者的數量關系：發現當n=3時，p=b+c．請繼續探究b，c，p三者的數量關系：當n=4時，p=；當n=12時，p=．
（參考數據：，）

28、sin30°的值為　�。�

29、2cos30°=　�。�

30、的值是　�。�

31、計算：＝．

32、計算：cos60°＝．

33、如圖，小聰用一塊有一個銳角為的直角三角板測量樹高，已知小聰和樹都與地面垂直，且相距米，小聰身高AB為1.7米，則這棵樹的高度=米

34、在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，則sinA=.

35、在△ABC中，已知∠C=90°，，則=　�。�

36、　　．

37、如圖，在等邊△ABC中，AB=6，D是BC的中點，將△ABD繞點A旋轉后得到△ACE，那么線段DE的長度為．

38、如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F，連接EF，則△AEF的面積是　�。�

39、如圖，某海監船向正西方向航行，在A處望見一艘正在作業漁船D在南偏西45°方向，海監船航行到B處時望見漁船D在南偏東45°方向，又航行了半小時到達C處，望見漁船D在南偏東60°方向，若海監船的速度為50海里/小時，則A，B之間的距離為（取，結果精確到0.1海里）．

40、如圖，點B1是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點，以OB1為一邊，構造等邊△OB1A1（點O，B1，A1按逆時針方向排列），稱為第一次構造；點B2是△OBA的兩條中線的交點，再以OB2為一邊，構造等邊△OB2A2（點O，B2，A2按逆時針方向排列），稱為第二次構造；以此類推，當第n次構造出的等邊△OBnAn的邊OAn與等邊△OBA的邊OB第一次重合時，構造停止．則構造出的最后一個三角形的面積是�。�

三、()
41、計算：．

42、計算：．

43、計算：；

44、化簡：。

45、計算：

四、解答題()
46、
問題背景:
如圖（a）,點A、B在直線l的同側，要在直線l上找一點C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點B關于l的對稱點B′,連接A B′與直線l交于點C，則點C即為所求.

（1）實踐運用：
如圖(b)，已知，⊙O的直徑CD為4，點A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 為弧AD 的中點，P為直徑CD上一動點，則BP+AP的最小值為．
（2）知識拓展：
如圖(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，E、F分別是線段AD和AB上的動點，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程．

47、如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個觀測站，A在B的正東方向，AB＝2（單位：km）．有一艘小船在點P處，從A測得小船在北偏西600的方向，從B測得小船在北偏東450的方向．

（1）求點P到海岸線l的距離；
（2）小船從點P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到達點C處．此時，從B測得小船在北偏西150的方向．求點C與點B之間的距離．
（上述2小題的結果都保留根號）

48、交通安全是近幾年社會關注的重大問題，安全隱患主要是超速和超載．某中學數學活動小組設計了如下檢測公路上行駛的汽車速度的實驗：先在公路旁邊選取一點C，再在筆直的車道l上確定點D，使CD與l垂直，測得CD的長等于21米，在l上點D的同側取點A、B，使∠CAD=300，∠CBD=600．

（1）求AB的長（精確到0.1米，參考數據：）；
（2）已知本路段對汽車限速為40千米/小時，若測得某輛汽車從A到B用時為2秒，這輛汽車是否超速？說明理由．

49、有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，
∠FDE=90°，DF=4，DE=。將這副直角三角板按如圖（1）所示位置擺放，點B與點F重合，直角邊BA與FD在同一條直線上，現固定三角板ABC，將三角板DEF沿射線BA方向平行移動，當點F運動到點A時停止運動。

（1）如圖（2），當三角板DEF運動到點D與點A重合時，設EF與BC交于點M，則∠EMC=度；

（2）如圖（3），在三角板DEF運動過程中，當EF經過點C時，求FC的長；

（3）在三角板DEF運動過程中，設BF=x，兩塊三角板重疊部分面積為y，求y與x的函數解析式，并求出對應的x取值范圍。

50、如圖1，在平面直角坐標系中，已知△AOB是等邊三角形，點A的坐標是（0，4），點B在第一象限，點P是x軸上的一個動點，連接AP，并把△AOP繞著點A按逆時針方向旋轉，使邊AO與AB重合，得到△ABD．

（1）求直線AB的解析式；
（2）當點P運動到點（，0）時，求此時DP的長及點D的坐標；
（3）是否存在點P，使△OPD的面積等于？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

試卷答案
1.【解析】
試題分析：連接DO，EO，BE，過點D作DF⊥AB于點F，

∵AD=OA=1，∴AD=AO=DO�！唷鰽OD是等邊三角形。
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB。
∴∠CDO=∠DOA=60°，∴△ODE是等邊三角形。
同理可得出△OBE是等邊三角形且3個等邊三角形全等。
∴陰影部分面積等于△BCE面積。
∵DF=ADsin60°=，DE=EC=1，
∴圖中陰影部分的面積為：××1=。
故選A。
2.【解析】
試題分析：根據特殊角的正切函數值直接作答：tan60°＝。故選C。
3.【解析】
試題分析：
3直接把tan30°=代入進行計算即可：3tan30°=3×=。故選A。
4.【解析】
試題分析：直接根據特殊角的三角函數值進行解答即可：sin30°=。故選C。
5.A
6.C
7.C
8.C
9.B
10.D
11.【解析】直接由特殊角的三角函數值代入計算即可：
。故選D。
12.【解析】
試題分析：根據題意得：AC＝100，∠ABC＝30°，
∴（m）。故選A。
13.【解析】
試題分析：∵∠C=90°，∠A=60°，AC=20m，
∴。
故選B。
14.【解析】如圖，過點P作PH⊥x軸于點H，則

∵P是第一象限內的點，其坐標是（3，m），∴OH=3，PH= m。
又∵OP與x軸正半軸的夾角的正切值是，即，
∴。
根據勾股定理，得OP=5。
∴。故選B。
15.【解析】如圖，連接AO并延長交圓于點E，連接BE，則∠C=∠E。
由AE為直徑，且BD⊥AC，得到∠BDC=∠ABE=90°，
∴△ABE和△BCD都是直角三角形�！唷螩BD=∠EAB。
又∵△OAM是直角三角形， AO=1，
∴，即sin∠CBD的值等于OM的長。
故選A。
16.【解析】∵，∴根據勾股定理逆定理，得△ABC是直角三角形，且∠C=900。
∴根據銳角三角函數定義，有：
。
∴正確的是：csinA= a。故選A。
17.【解析】
試題分析：根據直角三角形全等SAS，HL的判定，使兩個直角三角形全等的條件是兩條邊對應相等。故選D。
18.【解析】
試題分析：如圖，連接AE，

在正六邊形中，∠F=×（6?2）•180°=120°。
∵AF=EF，∴∠AEF=∠EAF=（180°?120°）=30°�！唷螦EP=120°?30°=90°。
∴AE=2×2cos30°=2×2×。
∵點P是ED的中點，∴EP=×2=1。
在Rt△AEP中，。
故選C�！�
19.【解析】
試題分析：如圖，作點C關于OB的對稱點C′，交OB于點D，連接AC′交OB于點P，根據軸對稱的知識可知，此時A C′=PA＋PC最小。

過點C′作 C′H⊥x軸于點H，
∵點B的坐標為（3，），∴。
∵點C的坐標為（，0），∴。
∴C C′=2CD=。
又∵，∴。
∴OH=。∴HC=。
在Rt△A C′H中，根據勾股定理，得：。
∴PA＋PC的最小值為。故選B。
20.【解析】∵CD⊥AB，∴△ACD和△BCD都是直角三角形。
∵∠A=450，CD=1，∴AD=CD=1。
∵∠B=300，∴。
∴AB=AD＋BD=。故選D。
21.【解析】（1）結論A正確，理由如下：
解析函數圖象可知，BC=10cm，ED=4cm，
故AE=AD?ED=BC?ED=10?4=6cm。
（2）結論B正確，理由如下：
如圖，連接EC，過點E作EF⊥BC于點F，

由函數圖象可知，BC=BE=10cm，，
∴EF=8�！�。
（3）結論C正確，理由如下：
如圖，過點P作PG⊥BQ于點G，

∵BQ=BP=t，∴。
（4）結論D錯誤，理由如下：
當t=12s時，點Q與點C重合，點P運動到ED的中點，
設為N，如圖，連接NB，NC。

此時AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=，NC=。
∵BC=10，
∴△BCN不是等腰三角形，即此時△PBQ不是等腰三角形。
故選D。
22.【解析】
試題分析：連接AM、AN、過A作AD⊥BC于D，

∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，
∴∠B=∠C=30°，BD=CD=3cm。∴。
∵AB的垂直平分線EM，∴BE=AB=cm�！�。
同理CF=cm，CN=2cm。
∴MN=BC?BM?CN=2cm。故選C。
23.【解析】
試題分析：如圖，過A作AD⊥BC于D，則∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120 m。

在Rt△ABD中，，
在Rt△CD中，，
∴（m）。
故選D。
24.D。
25.D
26.【解析】
試題分析：連接AD，則∠ADB=90°，

在Rt△ABD中，AB=5，BD=4，則，
∵，∴∠DAC=∠DBA�！唷鱀AC∽△DBA。
∴，即�！�。
∴。
∴。
27.【解析】如圖，連接AB、AC、BC，
由題意，點A、B、C為圓上的n等分點，
∴AB=BC，（度）。
在等腰△ABC中，過頂點B作BN⊥AC于點N，
則AC=2CN=2BC•cos∠ACB=2cos•BC，
∴。
連接AE、BE，在AE上取一點D，使ED=EC，連接CD，

∵∠ABC=∠CED，
∴△ABC與△CED為頂角相等的兩個等腰三角形。
∴△ABC∽△CED�！�，∠ACB=∠DCE。
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠DCE=∠BCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE。
在△ACD與△BCE中，∵，∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE。
∴。∴。
∴EA=ED+DA=EC+。
由折疊性質可知，p=EA′=EA，b=EB′=EB，c=EC。
∴p=c+。
當n=4時，p=c+2cos45°•b=c+b；
當n=12時，p=c+2cos15°•b=c+b。
28.【解析】
試題分析：根據特殊角的三角函數值計算即可：sin30°=�！�
29.【解析】
試題分析：根據cos30°=，繼而代入可得出答案．
解：原式=．
故答案為：．
點評：此題考查了特殊角的三角函數值，屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握一些特殊角的三角函數值，需要我們熟練記憶，難度一般．
30.【解析】
分析：將特殊角的三角函數值代入計算即可：。
31.
32.0.5
33.4.7
34.【解析】
試題分析：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴根據勾股定理，得AC=5。
∴。
35.【解析】根據題意，設AB=c，BC=a，AC=b，則。
∵，
∴。
∴。
∴。
36.【解析】
試題分析：針對零零指數冪，負整數指數冪，特殊角的三角函數值3個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果：
。
37.【解析】
試題分析：∵在等邊△ABC中，∠B=60°，AB=6，D是BC的中點，∴AD⊥BD，∠BAD=∠CAD=30°。
∴AD=ABcos30°=6×。
根據旋轉的性質知，∠EAC=∠DAB=30°，AD=AE，
∴∠DAE=∠EAC+∠BAD=60°�！唷鰽DE的等邊三角形。
∴DE=AD=，即線段DE的長度為。
38.【解析】
試題分析：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D=60°。
∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴AB•AE=CD•AF，∠BAE=∠DAF=30°。
∴AE=AF。
∵∠B=60°，∴∠BAD=120°�！唷螮AF=120°?30°?30°=60°。
∴△AEF是等邊三角形�！郃E=EF，∠AEF=60°。
∵AB=4，∴AE=2�！郋F=AE=2。
過A作AM⊥EF，交EF于點M,

∴AM=AE•cos60°=3。
∴△AEF的面積是：EF•AM=×2×3=3。
39.【解析】∵∠DBA=∠DAB=45°，
∴△DAB是等腰直角三角形。
過點D作DE⊥AB于點E，則DE=AB，

設DE=x，則AB=2x，
在Rt△CDE中，∠DCE=30°，
則CE=DE=x，
在Rt△BDE中，∠DAE=45°，則DE=BE=x，
由題意得，CB=CE?BE=x?x=25，
解得：x=。
∴AB=≈67.5（海里）。
40.【解析】
試題分析：∵點B1是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點，∴點B1是△OBA的重心，也是內心。
∴∠BOB1=30°。
∵△OB1A1是等邊三角形，∴∠A1OB=60°+30°=90°。
∵每構造一次三角形，OBi 邊與OB邊的夾角增加30°，
∴還需要（360?90）÷30=9，即一共1+9=10次構造后等邊△OBnAn的邊OAn與等邊△OBA的邊OB第一次重合。
∴構造出的最后一個三角形為等邊△OB10A10。
如圖，過點B1作B1M⊥OB于點M，

∵，
∴，即。
∴，即。
同理，可得，即。
…，
∴，即構造出的最后一個三角形的面積是�！�
41.【解析】
試題分析：針對二次根式化簡，絕對值，特殊角的三角函數值3個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果。
42.【解析】針對特殊角的三角函數值，絕對值，零指數冪，有理數的乘方，負整數指數冪5個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果。
43.【解析】針對有理數的乘方，特殊角的三角函數值，絕對值，零指數冪4個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果。
44.【解析】針對絕對值，特殊角的三角函數值，有理數的乘方，二次根式化簡4個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果。
45.【解析】針對零指數冪，有理數的乘方，絕對值，特殊角的三角函數值，二次根式化簡4個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果。
46.【解析】
試題分析：（1）找點A或點B關于CD的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和MN的交點P就是所求作的位置，根據題意先求出∠C′AE，再根據勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：
如圖作點B關于CD的對稱點E，連接AE交CD于點P，此時PA+PB最小，且等于A。作直徑AC′，連接C′E，
根據垂徑定理得弧BD=弧DE。

∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°�！唷螦OE=90°。
∴∠C′AE=45°。
又AC為圓的直徑，∴∠AEC′=90°。
∴∠C′=∠C′AE=45°�！郈′E=AE=AC′=。
∴AP+BP的最小值是。
（2）首先在斜邊AC上截取AB′=AB，連接BB′，再過點B′作B′F⊥AB，垂足為F，交AD于E，連接BE，則線段B′F的長即為所求。
47.【解析】
試題分析：（1）過點P作PD⊥AB于點D，構造直角三角形BDP和PDA，PD即為點P到海岸線l的距離，應用銳角三角函數即可求解。
（2）過點B作BF⊥CA于點F，構造直角三角形ABF和BFC，應用銳角三角函數即可求解。
48.【解析】
試題分析：（1）分別在Rt△ADC與Rt△BDC中，利用正切函數，即可求得AD與BD的長，從而求得AB的長。
（2）由從A到B用時2秒，即可求得這輛校車的速度，比較與40千米/小時的大小，即可確定這輛校車是否超速。
49.【解析】
試題分析：（1）如題圖2所示，
∵在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=，
∴。∴∠DFE=60°。
∴∠EMC=∠FMB=∠DFE－∠ABC=60°－45°=15°。
（2）如題圖3所示，在Rt△ACF中，解直角三角形即可。
（3）認真分析三角板的運動過程，明確不同時段重疊圖形的變化情況，分0≤x≤2，2＜x≤，＜x≤6三時段討論：
當0≤x≤2，即開始到DE與AC重合之前時，；
當2＜x≤，即DE與AC重合之后到EF經過點C之前時，；
當＜x≤6，即EF經過點C之后到停止之前時，。
50.【解析】（1）過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F．依題意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得點B的坐標．設直線AB的解析式是y=kx+b，把已知坐標代入可求解。
（2）由△ABD由△AOP旋轉得到，△ABD≌△AOP，AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等邊三角形，利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函數求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出點D的坐標。
（3）分三種情況進行討論：
①當P在x軸正半軸上時，即t＞0時；
②當P在x軸負半軸，但D在x軸上方時；即＜t≤0時
③當P在x軸負半軸，D在x軸下方時，即t≤時。
綜合上面三種情況即可求出符合條件的t的值。

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