31、（2013•溫州）如圖，在方格紙中，△ABC的三個頂點和點P都在小方格的頂點上，按要求畫一個三角形，使它的頂點在方格的頂點上．
（1）將△ABC平移，使點P落在平移后的三角形內部，在圖甲中畫出示意圖；
（2）以點C為旋轉中心，將△ABC旋轉，使點P落在旋轉后的三角形內部，在圖乙中畫出示意圖．

考點：作圖-旋轉變換；作圖-平移變換．
專題：圖表型．
分析：（1）根據網格結構，把△ABC向右平移后可使點P為三角形的內部的三個格點中的任意一個；
（2）把△ABC繞點C順時針旋轉90°即可使點P在三角形內部．
解答：解：（1）平移后的三角形如圖所示；

（2）如圖所示，旋轉后的三角形如圖所示．

點評：本題考查了利用旋轉變換作圖，利用平移變換作圖，熟練掌握網格結構是解題的關鍵．

32、（13年安徽省4分、14）已知矩形紙片ABCD中，AB=1，BC=2，將該紙片疊成一個平面圖形，折痕EF不經過A點（E、F是該矩形邊界上的點），折疊后點A落在A，處，給出以下判斷：
（1）當四邊形A，CDF為正方形時，EF=
（2）當EF= 時，四邊形A，CDF為正方形
（3）當EF= 時，四邊形BA，CD為等腰梯形；
（4）當四邊形BA，CD為等腰梯形時，EF= 。
其中正確的是 （把所有正確結論序號都填在橫線上）。

33、（2013•巴中）△ABC在平面直角坐標系xOy中的位置如圖所示．
（1）作△ABC關于點C成中心對稱的△A1B1C1．
（2）將△A1B1C1向右平移4個單位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）在x軸上求作一點P，使PA1+PC2的值最小，并寫出點P的坐標（不寫解答過程，直接寫出結果）

考點：作圖-旋轉變換；軸對稱-最短路線問題；作圖-平移變換．
分析：（1）延長AC到A1，使得AC=A1C1，延長BC到B1，使得BC=B1C1，即可得出圖象；
（2）根據△A1B1C1將各頂點向右平移4個單位，得出△A2B2C2；
（3）作出A1的對稱點A′，連接A′C2，交x軸于點P，再利用相似三角形的性質求出P點坐標即可．
解答：解；（1）如圖所示：

（2）如圖所示：

（3）如圖所示：作出A1的對稱點A′，連接A′C2，交x軸于點P，
可得P點坐標為：（，0）．

點評：此題主要考查了圖形的平移與旋轉和相似三角形的性質等知識，利用軸對稱求求最小值問題是考試重點，同學們應重點掌握．

34、（2013•張家界）如圖，在方格紙上，以格點連線為邊的三角形叫做格點三角形，請按要求完成下列操作：先將格點△ABC繞A點逆時針旋轉90°得到△A1B1C1，再將△A1B1C1沿直線B1C1作軸反射得到△A2B2C2．

考點：作圖-旋轉變換；作圖-軸對稱變換．
分析：△ABC繞A點逆時針旋轉90°得到△A1B1C1，△A1B1C1沿直線B1C1作軸反射得出△A2B2C2即可．
解答：解：如圖所示：

點評：此題主要考查了圖形的旋轉變換以及軸對稱圖形，根據已知得出對應點位置是解題關鍵．
　
35、（2013•淮安）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的兩格中，點A、B、C都是格點．
（1）將△ABC向左平移6個單位長度得到得到△A1B1C1；
（2）將△ABC繞點O按逆時針方向旋轉180°得到△A2B2C2，請畫出△A2B2C2．

考點：作圖-旋轉變換；作圖-平移變換．
分析：（1）將點A、B、C分別向左平移6個單位長度，得出對應點，即可得出△A1B1C1；
（2）將點A、B、C分別繞點O按逆時針方向旋轉180°，得出對應點，即可得出△A2B2C2．
解答：解：（1）如圖所示：△A1B1C1，即為所求；

（2）如圖所示：△A2B2C2，即為所求．

點評：此題主要考查了圖形的平移和旋轉，根據已知得出對應點坐標是解題關鍵．

36、（2013•眉山）如圖，在11×11的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1，網格中有一個格點△ABC（即三角形的頂點都在格點上）．
（1）在圖中作出△ABC關于直線l對稱的△A1B1C1；（要求A與A1，B與B1，C與C1相對應）
（2）作出△ABC繞點C順時針方向旋轉90°后得到的△A2B2C；
（3）在（2）的條件下直接寫出點B旋轉到B2所經過的路徑的長．（結果保留π）

考點：作圖-旋轉變換；弧長的計算；作圖-軸對稱變換．
專題：作圖題．
分析：（1）根據網格結構找出點A、B、C關于直線l的對稱點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；
（2）根據網格結構找出點A、B繞點C順時針旋轉90°后的A2、B2的位置，然后順次連接即可；
（3）利用勾股定理列式求出BC的長，再根據弧長公式列式計算即可得解．
解答：解：（1）△A1B1C1如圖所示；

（2）△A2B2C如圖所示；

（3）根據勾股定理，BC= = ，
所以，點B旋轉到B2所經過的路徑的長= = π．

點評：本題考查了利用軸對稱變換作圖，利用旋轉變換作圖，以及弧長的計算，熟練掌握網格結構準確找出對應點的位置是解題的關鍵．

37、（2013•昆明）在平面直角坐標系中，四邊形ABCD的位置如圖所示，解答下列問題：
（1）將四邊形ABCD先向左平移4個單位，再向下平移6個單位，得到四邊形A1B1C1D1，畫出平移后的四邊形A1B1C1D1；
（2）將四邊形A1B1C1D1繞點A1逆時針旋轉90°，得到四邊形A1B2C2D2，畫出旋轉后的四邊形A1B2C2D2，并寫出點C2的坐標．

考點：作圖-旋轉變換；作圖-平移變換．
專題：作圖題．
分析：（1）根據網格結構找出點A、B、C、D平移后的對應點A1、B1、C1、D1的位置，然后順次連接即可；
（2）根據網格結構找出B1、C1、D1繞點A1逆時針旋轉90°的對應點B2、C2、D2的位置，然后順次連接即可，再根據平面直角坐標系寫出點C2的坐標．
解答：解：（1）四邊形A1B1C1D1如圖所示；

（2）四邊形A1B2C2D2如圖所示，
C2（1，?2）．

點評：本題考查了利用旋轉變換作圖，利用平移變換作圖，熟練掌握網格結構，準確找出對應點的位置是解題的關鍵．

38、（13年安徽省8分、17）如圖，已知A（—3，—3），B（—2，—1），C（—1，—2）是直角坐標平面上三點。
（1）請畫出ΔABC關于原點O對稱的ΔA1B1C1，
（2）請寫出點B關天y軸對稱的點B2的坐標，若將點B2向上平移h個單位，使其落在ΔA1B1C1內部，指出h的取值范圍。

39、（2013•欽州）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點都在格點上，點A的坐標為（2，4），請解答下列問題：
（1）畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1，并寫出點A1的坐標．
（2）畫出△A1B1C1繞原點O旋轉180°后得到的△A2B2C2，并寫出點A2的坐標．

考點：作圖-旋轉變換；作圖-軸對稱變換．3718684
分析：（1）分別找出A、B、C三點關于x軸的對稱點，再順次連接，然后根據圖形寫出A點坐標；
（2）將△A1B1C1中的各點A1、B1、C1繞原點O旋轉180°后，得到相應的對應點A2、B2、C2，連接各對應點即得△A2B2C2．
解答：解：（1）如圖所示：點A1的坐標（2，?4）；

（2）如圖所示，點A2的坐標（?2，4）．

點評：本題考查圖形的軸對稱變換及旋轉變換．解答此類題目的關鍵是掌握旋轉的特點，然后根據題意找到各點的對應點，然后順次連接即可．

40、（2013•郴州）在圖示的方格紙中
（1）作出△ABC關于N對稱的圖形△A1B1C1；
（2）說明△A2B2C2是由△A1B1C1經過怎樣的平移得到的？

考點：作圖-軸對稱變換；作圖-平移變換．
專題：作圖題．
分析：（1）根據網格結構找出點A、B、C關于N的對稱點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；
（2）根據平移的性質結合圖形解答．
解答：解：（1）△A1B1C1如圖所示；

（2）向右平移6個單位，再向下平移2個單位（或向下平移2個單位，再向右平移6個單位）．

點評：本題考查了利用軸對稱變換作圖，利用平移變換作圖，熟練掌握網格結構準確找出對應點的位置以及變化情況是解題的關鍵．

41、（2013•常州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC= ，點O為Rt△ABC內一點，連接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）：
以點B為旋轉中心，將△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，得到△A′O′B（得到A、O的對應點分別為點A′、O′），并回答下列問題：
∠ABC=　30°　，∠A′BC=　90°　，OA+OB+OC=　 　．

考點：作圖-旋轉變換．
專題：作圖題．
分析：解直角三角形求出∠ABC=30°，然后過點B作BC的垂線，在截取A′B=AB，再以點A′為圓心，以AO為半徑畫弧，以點B為圓心，以BO為半徑畫弧，兩弧相交于點O′，連接A′O′、BO′，即可得到△A′O′B；根據旋轉角與∠ABC的度數，相加即可得到∠A′BC；
根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB=2AC，即A′B的長，再根據旋轉的性質求出△BOO′是等邊三角形，根據等邊三角形的三條邊都相等可得BO=OO′，等邊三角形三個角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四點共線，再利用勾股定理列式求出A′C，從而得到OA+OB+OC=A′C．
解答：解：∵∠C=90°，AC=1，BC= ，
∴tan∠ABC= = = ，
∴∠ABC=30°，
∵△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，
∴△A′O′B如圖所示；

∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，

∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，
∵△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，得到△A′O′B，
∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，
∴△BOO′是等邊三角形，
∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，
∵∠AOC=∠COB=BOA=120°，
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，
∴C、O、A′、O′四點共線，
在Rt△A′BC中，A′C= = = ，
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C= ．
故答案為：30°；90°； ．

點評：本題考查了利用旋轉變換作圖，旋轉變換的性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，勾股定理，等邊三角形的判定與性質，綜合性較強，最后一問求出C、O、A′、O′四點共線是解題的關鍵．

42、（2013福省福州19）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（?2，0），等邊三角形AOC經過平移或軸對稱或旋轉都可以得到△OBD．
（1）△AOC沿x軸向右平移得到△OBD，則平移的距離是 個單位長度；△AOC與△BOD關于直線對稱，則對稱軸是 ；△AOC繞原點O順時針旋轉得到△DOB，則旋轉角度可以是 度；
（2）連結AD，交OC于點E，求∠AEO的度數．

考點：旋轉的性質；等邊三角形的性質；軸對稱的性質；平移的性質．
專題：．
分析：（1）由點A的坐標為（?2，0），根據平移的性質得到△AOC沿x軸向右平移2個單位得到△OBD，則△AOC與△BOD關于y軸對稱；根據等邊三角形的性質得∠AOC=∠BOD=60°，則∠AOD=120°，根據旋轉的定義得△AOC繞原點O順時針旋轉120°得到△DOB；
（2）根據旋轉的性質得到OA=OD，而∠AOC=∠BOD=60°，得到∠DOC=60°，所以OE為等腰△AOD的頂角的平分線，根據等腰三角形的性質得到OE垂直平分AD，則∠AEO=90°．
解答：解：（1）∵點A的坐標為（?2，0），
∴△AOC沿x軸向右平移2個單位得到△OBD；
∴△AOC與△BOD關于y軸對稱；
∵△AOC為等邊三角形，
∴∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠AOD=120°，
∴△AOC繞原點O順時針旋轉120°得到△DOB．
（2）如圖，∵等邊△AOC繞原點O順時針旋轉120°得到△DOB，
∴OA=OD，
∵∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠DOC=60°，
即OE為等腰△AOD的頂角的平分線，
∴OE垂直平分AD，
∴∠AEO=90°．
故答案為2；y軸；120．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了等邊三角形的性質、軸對稱的性質以及平移的性質．　

43、（2013•畢節地區）四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點，且DE=BF，連接AE、AF、EF．
（1）求證：△ADE≌△ABF；
（2）：△ABF可以由△ADE繞旋轉中心　A　 點，按順時針方向旋轉　90　 度得到；
（3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面積．

考點：旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；正方形的性質．
專題：證明題．
分析：（1）根據正方形的性質得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易證得△ADE≌△ABF；
（2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，則∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，根據旋轉的定義可得到△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到；
（3）先利用勾股定理可計算出AE=10，在根據△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根據直角三角形的面積公式計算即可．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，
而F是DCB的延長線上的點，
∴∠ABF=90°，
在△ADE和△ABF中
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；

（2）解：∵△ADE≌△ABF，
∴∠BAF=∠DAE，
而∠DAE+∠EBF=90°，
∴∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，
∴△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到；
故答案為A、90；

（3）解：∵BC=8，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，
∴AE= =10，
∵△ABF可以由△ADE繞旋轉中心 A點，按順時針方向旋轉90 度得到，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴△AEF的面積=AE2=×100=50（平方單位）．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了全等三角形的判定與性質以及勾股定理．

44、（2013•遵義）如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線N折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線N交BC于點，交AD于點N．
（1）求證：C=CN；
（2）若△CN的面積與△CDN的面積比為3：1，求 的值．

考點：矩形的性質；勾股定理；翻折變換（折疊問題）．
分析：（1）由折疊的性質可得：∠AN=∠CN，由四邊形ABCD是矩形，可得∠AN=∠CN，則可證得∠CN=∠CN，繼而可得C=CN；
（2）首先過點N作NH⊥BC于點H，由△CN的面積與△CDN的面積比為3：1，易得C=3ND=3HC，然后設DN=x，由勾股定理，可求得N的長，繼而求得答案．
解答：（1）證明：由折疊的性質可得：∠AN=∠CN，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AN=∠CN，
∴∠CN=∠CN，
∴C=CN；

（2）解：過點N作NH⊥BC于點H，
則四邊形NHCD是矩形，
∴HC=DN，NH=DC，
∵△CN的面積與△CDN的面積比為3：1，
∴ = = =3，
∴C=3ND=3HC，
∴H=2HC，
設DN=x，則HC=x，H=2x，
∴C=3x=CN，
在Rt△CDN中，DC= =2 x，
∴HN=2 x，
在Rt△NH中，N= =2 x，
∴ = =2 ．

點評：此題考查了矩形的性質、折疊的性質、勾股定理以及三角形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．

45、（2013•徐州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AC、BC上）
（1）若△CEF與△ABC相似．
①當AC=BC=2時，AD的長為　 ��；
②當AC=3，BC=4時，AD的長為　1.8或2.5��；
（2）當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似嗎？請說明理由．

考點：相似三角形的判定與性質；翻折變換（折疊問題）．
分析：（1）若△CEF與△ABC相似．
①當AC=BC=2時，△ABC為等腰直角三角形；
②當AC=3，BC=4時，分兩種情況：
（I）若CE：CF=3：4，如答圖2所示，此時EF∥AB，CD為AB邊上的高；
（II）若CF：CE=3：4，如答圖3所示．由相似三角形角之間的關系，可以推出∠A=∠ECD與∠B=∠FCD，從而得到CD=AD=BD，即D點為AB的中點；
（2）當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似．可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，從而可以證明兩個三角形相似．
解答：解：（1）若△CEF與△ABC相似．
①當AC=BC=2時，△ABC為等腰直角三角形，如答圖1所示．

此時D為AB邊中點，AD= AC= ．
②當AC=3，BC=4時，有兩種情況：
（I）若CE：CF=3：4，如答圖2所示．

∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥BC．
由折疊性質可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此時CD為AB邊上的高．
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴BC=5，∴cosA=．
AD=AC•cosA=3×=1.8；
（II）若CF：CE=3：4，如答圖3所示．

∵△CEF∽△CAB，∴∠CEF=∠B．
由折疊性質可知，∠CEF+∠ECD=90°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．
同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，
∴此時AD=AB=×5=2.5．
綜上所述，當AC=3，BC=4時，AD的長為1.8或2.5．

（2）當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似．理由如下：
如答圖3所示，連接CD，與EF交于點Q．
∵CD是Rt△ABC的中線，∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B．
由折疊性質可知，∠CQF=∠DQF=90°，∴∠DCB+∠CFE=90°，
∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A，
又∵∠C=∠C，∴△CEF∽△CBA．
點評：本題是幾何綜合題，考查了幾何圖形折疊問題和相似三角形的判定與性質．第（1）②問需要分兩種情況分別計算，此處容易漏解，需要引起注意．

46、(2013河南省)如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片 和 重合放置，其中 .
（1）操作發現
如圖2，固定 ，使 繞點 旋轉。當點 恰好落在 邊上時，：
①線段 與 的位置關系是 ；
②設 的面積為 ， 的面積為 。則 與 的數量關系是 。
【解析】①由旋轉可知：AC=DC，
∵ ，∴
∴△ADC是等邊三角形，∴ ,又∵
∴ ∥
②過D作DN⊥AC交AC于點N，過E作E⊥AC交AC延長線于，過C作CF⊥AB交AB于點F。
由①可知：△ADC是等邊三角形, ∥ ，∴DN=CF,DN=E
∴CF=E
∵ ，∴ ,又∵
∴
∵ ∴ =
（2）猜想論證
當 繞點 旋轉到圖3所示的位置時，小明猜想（1）中 與 的數量關系仍然成立，并嘗試分別作出了 和 中 邊上的高，請你證明小明的猜想。
【證明】∵
又∵
又∵
∴△ANC≌△DC
∴AN=D
又∵CE=CB,∴
（3）拓展探究
已知 ，點 是其角平分線上一點， ， 交 于點 （如圖4），若在射線 上存在點 ，使 ,請直接寫出相應的 的長
【解析】如圖所示，作 ∥ 交 于點 ,作 交 于點 。
按照（1）（2）求解的方法可以計算出

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