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深圳市高級中學2014屆第一次月考
數學（理）試題
注：請將答案填在答題卷相應的位置上
一、：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．
1. 已知全集 ，集合 ,則
A. B. C. D.
2. 如果函數 上單調遞減，則實數 滿足的條件是
A． B． C． D．
3. 下列函數中，滿足 的是
A． B． C． D．
4. 已知函數 ，下面結論錯誤的是
A．函數 的最小正周期為 B．函數 是偶函數
C．函數 的圖象關于直線 對稱 D．函數 在區間 上是增函數
5. 給出如下四個命題：
①若“ 且 ”為假命題，則 、 均為假命題；
②命題“若 且 ，則 ”的否命題為“若 且 ，則 ”；
③在 中，“ ”是“ ”的充要條件。
④命題 “ ”是真命題. 其中正確的命題的個數是
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
6. 定義行列式運算a1　a2a3　a4＝a1a4－a2a3；將函數f(x)＝3 　sin x1　　cos x的圖象向左平移n(n>0)個單位，所得圖象對應的函數為偶函數，則n的最小值為(　　)
A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3
7. 函數 的一段圖象是

8. 設函數 其中 表示不超過 的最大整數，如 =-2， =1， =1，若直線y= 與函數y= 的圖象恰有三個不同的交點，則 的取值范圍是
A． B． C． D．

二、題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分．
9. 已知函數 ，則 .
10. 已知 ，則 _____________.
11. 曲線 所圍成的封閉圖形的面積為 ．
12. 已知函數 若命題“ ”為真，則m的取值范圍是___.
13. 設 ，且 ，則 _________.
14. 若關于 的方程 有四個不同的實數解，則實數k的取值范圍是 .

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
15．（本小題滿分12分）
已知函數
（I）求函數 的最小正周期；
（II）確定函數 在 上的單調性并求在此區間上 的最小值.

16．（本小題滿分12分）
已知函數f(x)＝Asinπ3x＋φ，x∈R，A＞0，0＜φ＜π2，y＝f(x)的部分圖象如圖所示，P、Q分別為該圖象的最高點和最低點，點P的坐標為(1，A)．

(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；
(2)若點R的坐標為(1，0)，∠PRQ＝2π3，求A的值．
17. （本小題滿分14分）
已知等比數列 中， ， ， ．
(Ⅰ)求數列 的通項公式；
(Ⅱ)設 ，求 的最大值及相應的 值．
18. （本小題滿分14分）
設二次函數 滿足條件：（1） ；（2）函數在
軸上的截距為1，且 .
(1)求 的解析式;
(2)若 的最小值為 ,請寫出 的表達式;
(3)若不等式 在 時恒成立,求實數 的取值范圍.

19.（本題滿分14分）
已知函數 的圖象如圖，直線 在原點處與函數圖象相切，且此切線與函數圖象所圍成的區域(陰影)面積為274.
（1）求 的解析式
（2）若常數 ，求函數 在區間 上的最大值.
20．（本小題滿分14分）
已知函數 ， .
(Ⅰ)若 ，求函數 在區間 上的最值；
(Ⅱ)若 恒成立，求 的取值范圍. 注： 是自然對數的底數

深圳市高級中學2014屆第一次月考
數學（理）試題 答案
注：請將答案填在答題卷相應的位置上
一、：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．
1. 已知全集 ，集合 ， 則 C
A. B. C. D.
2. 如果函數 上單調遞減，則實數 滿足的條件是（ A ）
A． B． C． D．
3. 下列函數中，滿足 的是C
A． B． C． D．
4. 已知函數 ，下面結論錯誤的是C
A．函數 的最小正周期為 B．函數 是偶函數
C．函數 的圖象關于直線 對稱 D．函數 在區間 上是增函數
5. 給出如下四個命題：
①若“ 且 ”為假命題，則 、 均為假命題；
②命題“若 且 ，則 ”的否命題為“若 且 ，則 ”；
③在 中，“ ”是“ ”的充要條件。
④命題 “ ”是真命題. 其中正確的命題的個數是( D )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
6. 定義行列式運算a1　a2a3　a4＝a1a4－a2a3；將函數f(x)＝3 　sin x1　　cos x的圖象向左平移n(n>0)個單位，所得圖象對應的函數為偶函數，則n的最小值為( C)
A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3
7. 函數 的一段圖象是B
8. 設函數 其中 表示不超過 的最大整數，如 =-2， =1， =1，若直線y= 與函數y= 的圖象恰有三個不同的交點，則 的取值范圍是 D
A． B． C． D．

二、題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分．
9. 已知函數 ，則 .
10. 已知 ，則 ____ _________.
11. 曲線 所圍成的封閉圖形的面積為 103 ．
12. 已知函數 若命題“ ”為真，則m的取值范圍是
________.（―∞，-2）
13. 設 ，且 ，則 _________
14. 若關于 的方程 有四個不同的實數解，則 的取值范圍是 .
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
15．（本小題滿分12分）
已知函數
（I）求函數 的最小正周期；
（II）確定函數 在 上的單調性并求在此區間上 的最小值.
15解 ，…………3分
則 的最小正周期是 ；……………4分
16．（本小題滿分12分）
已知函數f(x)＝Asinπ3x＋φ，x∈R，A＞0，0＜φ＜π2，y＝f(x)的部分圖象如圖所示，P、Q分別為該圖象的最高點和最低點，點P的坐標為(1，A)．
(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；
(2)若點R的坐標為(1，0)，∠PRQ＝2π3，求A的值．
解析：(1)由題意得T＝2ππ3＝6………………………….2分
因為P(1，A)在y＝Asinπ3x＋φ的圖象上，所以sinπ3＋φ＝1.
又因為0＜φ＜π2，所以φ＝π6…………………………6分
(2)設點Q的坐標為(x0，－A)．

由題意可知π3x0＋π6＝3π2，得x0＝4，所以Q(4，－A)．-----------------------8分
連接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝2π3，由余弦定理得
cos ∠PRQ＝RP2＋RQ2－PQ22RP•RQ＝A2＋9＋A2－（9＋4A2）2A•9＋A2＝－12，解得A2＝3.
又A＞0，所以A＝3.--------------------------------12分
17. （本小題滿分14分）
已知等比數列 中， ， ， ．
(Ⅰ)求數列 的通項公式；
(Ⅱ)設 ，求 的最大值及相應的 值．
1．解：(Ⅰ) ， ，所以： ． …（3分）
以 為首項．　　 ……………（5分）
所以 通項公式為： ．　 ……（7分）
(Ⅱ)設 ，則 ．　 　　…………………（8分）
所以 是首項為6，公差為 的等差數列．　　 ………………（10分）
= ．　…………（12分）
因為 是自然數，所以 或 時， 最大，其最值是 21． ……（14分）
18. （本小題滿分14分）
設二次函數 滿足條件：（1） ；（2）函數在
軸上的截距為1，且 .
(1)求 的解析式;
(2)若 的最小值為 ,請寫出 的表達式;
(3)若不等式 在 時恒成立,求實數 的取值范圍.
解: (1) …………………………4分
(2) ----------------10分
(3) -----------------14分
19.（本題滿分14分）
已知函數 的圖象如圖，直線 在原點處與函數圖象相切，且此切線與函數圖象所圍成的區域(陰影)面積為274.
(1) 求
（2）若常數 ，求函數 在區間 上的最大值.
解析：由f(0)＝0得c＝0，………………….2分
f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由f′(0)＝0得b＝0，………………………4分
∴f(x)＝x3＋ax2＝x2(x＋a)，
由∫－a0[－f(x)]dx＝274得a＝－3.
∴f(x)＝x3－3x2………………………………8分
（2）由（1）知 .
的取值變化情況如下：
2

單調
遞增極大值
單調
遞減極小值
單調
遞增
又 ,
①當 時, ；……………11分
②當 時,
綜上可知 …………………………………14分
20．（本小題滿分14分）
已知函數 ， .
(Ⅰ)若 ，求函數 在區間 上的最值；
(Ⅱ)若 恒成立，求 的取值范圍.
注： 是自然對數的底數
. 解：(Ⅰ) 若 ，則 .
當 時， ，
，
所以函數 在 上單調遞增；
當 時， ，
.
所以函數 在區間 上單調遞減，
所以 在區間 上有最小值 ，又因為 ，
，而 ，
所以 在區間 上有最大值 ………………………………….5分
(Ⅱ) 函數 的定義域為 ．
由 ，得 ． （*）
（?）當 時， ， ，
不等式（*）恒成立，所以 ；……………………………………….7分
（?）當 時，
①當 時，由 得 ，即 ，
現令 ， 則 ，
因為 ，所以 ，故 在 上單調遞增，
從而 的最小值為 ，因為 恒成立等價于 ，
所以 ；………………………………………………….11
②當 時， 的最小值為 ，而 ，顯然不滿足題意……….13分
綜上可得，滿足條件的 的取值范圍是 . …………………………………14分

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