常州市教育學會學生學業水平監測 高三數學Ⅰ試題 2014年1月 參考公式： 樣本數據，，… ，的方差，其中=．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應位置上．設集合，，則= ▲ ． 若（，i為虛數單位的值為 ▲ ． 已知雙曲線的一條漸近線方程為，則a的值為 ▲ ． 某學校選修羽毛球課程的學生中，高一，高二年級分別有80名，50名．現用分層抽樣的方法在這130名學生中抽取一個樣本，已知在高一年級學生中抽取了24 名，則在高二年級學生中應抽取的人數為 ▲ ．某市連續5天測得空氣中PM2.5（直徑小于或等于2.5微米的顆粒物）分別為115，125，132，的最小正周期為 ▲ ． 已知5瓶飲料中有且僅有2瓶是果汁類飲料．從這5瓶飲料中隨機取2瓶，則所取2瓶中至少有一瓶是果汁類飲料的概率為 ▲ ．已知實數，滿足約束條件則的最大值為 ▲ ．若曲線：與曲線：在處的切線互相垂直，則實數a的值為 ▲ ． 給出下列命題：（1）若兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線一定平行于另一個平面；（2）若兩個平面平行，那么垂直于其中一個平面的直線一定垂直于另一個平面；（3）若兩個平面垂直，那么垂直于其中一個平面的直線一定平行于另一個平面；（4）若兩個平面垂直，那么其中一個平面內的直線一定垂直于另一個平面．則其中所有真命題的序號為 ▲ ．，等比數列中，，，若數列的前2014項的和為0，則的值為 ▲ ．已知函數f(x)＝若則k的 ▲ ．ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則 ▲ ．中，已知圓O：，點，M，N為圓O上不同的兩點，且滿足．若，則的最小值為 ▲ ．6小題，共計90分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分14分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．設向量，． （1）若，，求角A； （2）若，，求的值．16．（本小題滿分14分）如圖，在中，AB⊥BC，EF分別是，的中點．（1）求證：EF∥平面ABC；⊥平面；（3）若，求三棱錐的體積．14分） 設等差數列，已知，． （1）求數列的通項公式；（），為互不相等的正整數，且等差數列滿足，，求數列的前n項和．18．（本小題滿分16分）在平面直角坐標系中，橢圓E:的右準線為直線l，動直線交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為M，射線OM分別交橢圓及直線l于P，Q兩點，如圖．若A，B兩點分別是橢圓E的右頂點，上頂點時，點的縱坐標為（其中為橢圓的離心率），且． （1）求橢圓E的標準方程； （2）如果OP是OM，OQ的等比中項，那么是否為常數？若是，求出該常數；若不是，請說明理由．19．（本小題滿分16分）幾名大學畢業生合作開設打印店，生產并銷售某種產品．已知該店每月生產的產品當月都能銷售完，每件產品的生產成本為元，該店的月總成本由兩部分組成：第一部分是月銷售產品的生產成本，第二部分是其它固定支出元．假設該產品的月銷售量（件）與銷售價格（元/件）（）之間滿足如下關系：①當時，；②當時，．設該店月利潤為（元），月利潤=月銷售總額－月總成本．（1）求關于銷售價格的函數關系式；（2）求該打印店月利潤的最大值及此時產品的銷售價格．20．（本小題滿分16分） 已知函數，．（1）當時，求函數的極大值；（2）求函數的單調區間；（3）當時，設函數，若實數滿足：且，，求證：．常州市教育學會學生學業水平監測 數學Ⅱ（附加題） 2014年1月21．【選做題】在A、B、C、D 10分，共計20分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．選修4—1：幾何證明選講 如圖，等腰梯形ABCD內接于⊙，AB∥CD．過點A作⊙的切線交CD的延長線于點E． 求證：∠DAE=∠BAC. B．選修4—2：矩陣與變換 已知直線在矩陣，若直線過點（1,1），求實數a的值． C．選修4—4：坐標系與參數方程 在極坐標系中，已知點，直線，求點P到直線l的距離．D．選修4—5：不等式選講已知，，求證：．【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．22． (本小題滿分10分)如圖，三棱錐P－ABC，AC⊥BC，A=BC=2a，點OD分別是APB的中點⊥AB，連結CD．（1）若，求異面直線PA與D所成角余弦值的大小；（2）二面角－P－的大小為23．（本小題滿分10分） 設集合A，B是非空集合M的兩個不同子集，滿足：A不是B的子集，且B也不是A 的子集． （1）若M=，直接寫出所有不同的有序集合對(A,B)的個數； （2）若M=，求所有不同的有序集合對(A,B)的個數．常州市教育學會學生學業水平監測高三數學Ⅰ試題參考答案及評分標準一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1． 2． 3 4． 5．也對） 6． 7．8． 9．10．11．12． 13．4 14．二、解答題：本大題共6小題，共計90分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．解：，∴．由正弦定理，得．化簡，得． ………………………………………………2分∵，∴或，從而（舍）或．∴． ………………………………4分在Rt△ABC中，，． …………………………………6分（2）∵，∴．由正弦定理，得，從而． ∵，∴． 從而． ……………8分 ∵，，∴，． ……………………10分 ∵，∴，從而，B為銳角，． ………12分 ∴=． …………………………………14分16．證明：．∵直三棱柱中，是矩形， ∴點F在上，且為的中點． 在△中，∵E，F分別是，的中點EF∥BC． ……………2分BC 平面ABC， EF平面ABC，所以EF∥平面ABC4分中，平面ABC，∴BC．∵EF∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥EF， EF． ………………………………6分，∴EF⊥平面． ………………………………8分平面A平面A． ………………………………10分 ………………………………12分． ………………………………14分17．解： 解得 …………………4分． ……………………………………………………………6分，為正整數， 由（1）得，． …………………8分，． ………………………………………10分是等差數列，，∴的公差． ………………12分，得．∴． …………………………………………14分18． 解A，B兩點分別是橢圓E的右頂點和上頂點時，則，，．∵，∴由O，M，Q三點共線，得，化簡，得．………2分，∴，化簡，得．由 解得 …………………………………………4分E的標準方程為． …………………………………………6分2）把，代入，得． ……………………………………………8分，時，，，從而點． ……………………………………………10分OM的方程．由 得． ……………………………………………12分，從而． ……………………………………………14分，得，從而，滿足△． ……………15分為常數． ………………………………………………………………16分19．時，，代入，解得． ………………………………………………………………2分 即 ……………4分，，，則．令，解得（舍去），．……………7分時，，單調遞增；當時，，單調遞減． … ………………………………10分，，，∴的最大值為．………12分時，單調遞減，故此時的最大值為． … ………………………………14分時，月利潤有最大值元． ……………………15分元，此時產品的銷售價格為元/件． ……16分20．的定義域為． （1）當時，，，令得． ………1分+0 ?極大值 ? 所以的極大值為． …………………………………………3分 ．令，得，記． （?）當時，，所以單調減區間為； …………5分時，由得， ①若，則，由，得，；由，得． 所以，的單調減區間為，，單調增區間為； …………………………………………………………7分，由（1）知單調增區間為，單調減區間為； ③若，則， 由，得；由，得． 的單調減區間為，單調增區間為． ……9分時，的單調減區間為； 當時，的單調減區間為，，單調增區間為； 當時，單調減區間為，單調增區間為． ………………………………………………………10分（）． 由得．∵， ∴(舍)，或． ∵，∴． …………………………………12分得， 因為，所以（*）式可化為，即． ………………………………………………14分，則，整理，得，從而，即． 記．，令得（舍），，列表：+ ??所以，在單調減，在單調增，又因為，所以，從而． ………………………………………………16分高三數學Ⅱ（附加題） 參考答案21、【選做題】在A、B、C、D 10分，共計20分．A．選修4—1：幾何證明選講證明：∵ABCD是等腰梯形，AB∥CD， ∴AD=BC． 從而．∴∠ACD=∠BAC. ……………………………………………………4分∵AE為圓的切線，∴∠EAD=∠ACD. …………………………………8分∴∠DAE=∠BAC. ……………………………………………………10分B．選修4—2：矩陣與變換解：設為直線上任意一點，在矩陣上點，則，化簡，得 ……………………………………………4分代入，整理，得． ……………………………8分將點（1,1）代入上述方程，解得a=-1． ……………………………10分C．選修4—4：坐標系與參數方程 解：， …………………………………………………4分直線l的普通方程為， ………………………………………8分從而江蘇省常州市2014屆高三上學期期末考試數學試題（WORD版，有答案）
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