第Ⅰ卷(選擇題 共50分)
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.)
(1) 若 ，則下列各式中一定成立的是
A. B. C. D.
(2) 不等式 的解集是
A. B. C. D.
(3) 的值是
A. B. C. D.
(4) 在一次對年齡和人體脂肪含量關系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數據，并制作成如圖所示的年齡和人體脂肪含量關系的散點圖.根據該圖，下列結論中正確的是
A.年齡和人體脂肪含量正相關，且脂肪含量的中位數等于20%
B.年齡和人體脂肪含量正相關，且脂肪含量的中位數小于20%
C.年齡和人體脂肪含量負相關，且脂肪含量的中位數等于20%
D.年齡和人體脂肪含量負相關，且脂肪含量的中位數小于20%
(5) 如圖，已知A，B兩點分別在河的兩岸，某測量者在點A所在的河岸邊另選定一點C，
測得 ， ， ，則A，B兩點間的距離為
A. B. C. D.
(6)如果 成等比數列，那么
A. B.
C. D.
(7)某學校要從數學競賽初賽成績相同的四名學生(其中2名男生，2名女生)中，隨機選出2名學生去參加決賽，則選出的2名學生恰好為1名男生和1名女生的概率為
A. B. C. D.
(8)已知實數 滿足 則 的最大值為
A. B.0 C. D.
(9) 以下莖葉圖記錄了甲、乙兩名籃球運動員在以往幾場比賽中得分的情況，設甲、乙兩組數據的平均數分別為 ， ，標準差分別為 則
A. ， B. ，
C. ， D. ，
(10)對任意的銳角 下列不等關系中正確的是
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題 共100分)
二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分.)
(11) 已知 則 ____________.
(12) 設 , , 是 中 , , 的對
邊, , ， ，
則 _________; 的面積為________.
(13) 某程序框圖如圖所示，該程序運行后
輸出S的結果是________.
(14) 已知 是數列 的前 項和，
且 ，則 _________________;
當 ______時， 取得最大值.
(15) 歐陽修的《賣油翁》中寫到：(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕.已知銅錢是直徑為4cm的圓面，中間有邊長為 1cm的正方形孔，若隨機向銅錢上滴一滴油(油滴整體不出邊界)，則油滴整體(油滴近似看成是直徑為0.2cm的球)恰好落入孔中的概率是 (不作近似計算).
(16)數列 中，如果存在 使得“ 且 ”成立
(其中 )，則稱 為 的一個“谷值”.
�、� 若 則 的“谷值”為_________________;
�、� 若 且 存在“谷值”，則實數 的取值范圍是__________________.
三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)
(17)(本小題滿分14分)
已知 是等差數列， 為其前 項和，且 .
(I)求數列 的通項公式;
(II)若數列 滿足 ，求數列 的前 項和 .
(18)(本小題滿分14分)
“交通指數”是反映道路網暢通或擁堵的概念性指數值.交通指數的取值范圍為 至 ，分為 個等級：其中 為暢通， 為基本暢通， 為輕度擁堵， 為中度擁堵， 為嚴重擁堵. 晚高峰時段，某市交通指揮中心選取了市區 個交通路段，依據其交通指數數據繪制的頻數分布表及頻率分布直方圖如圖所示：
交通指數
頻數 頻率
(I)求頻率分布表中所標字母的值，并補充完成頻率分布直方圖;
(II)用分層抽樣的方法從交通指數在 和 的路段中抽取一個容量為 的樣本，將該樣本看成一個總體，從中隨機抽出 個路
路段，求至少有一個路段為暢通的概率.
(19)(本小題滿分14分)
已知函數
(I)求函數 的單調遞減區間;
(II)求函數 在區間 上的最大值和最小值.
(20)(本小題滿分14分)
某旅游公司在相距為100 的兩個景點間開設了一個游船觀光項目.已知游船最大時速為50 ，游船每小時使用的燃料費用與速度的平方成正比例，當游船速度為20 時，燃料費用為每小時60元.其它費用為每小時240元，且單程的收入為6000元.
(I)當游船以30 航行時，旅游公司單程獲得的利潤是多少?(利潤=收入 成本)
(II)游船的航速為何值時，旅游公司單程獲得的利潤最大，最大利潤是多少?
(21)(本小題滿分14分)
在無窮數列 中， ，對于任意 ，都有 ， . 設 ， 記使得 成立的 的最大值為 .
(I)設數列 為1，2，4，10， ，寫出 ， ， 的值;
(II)若 是公差為2的等差數列，數列 的前 項的和為 ，求使得 成立的 的最小值;
(III)設 ， ， ，請你直接寫出 與 的關系式，不需寫推理過程.
昌平區2018-2019學年第二學期高一年級期末質量抽測
數學試卷參考答案及評分標準 2018.7
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.)
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B A A D C B C
(II) …………10分
所以
是以3為首項2為公比的等比數列.
…………12分
所以 …………14分
(18)(本小題滿分14分)
解：(I)由頻率分布直方圖，得交通指數在[2,4)的頻率為
.
所以，
頻率分布直方圖為：
………………………6分
(II)依題意知，取出的5個路段中，交通指數在[0,2)內的有2個，設為
交通指數在[2,4)內的有3個，設為 …………………………………8分
則交通指數在 的基本事件空間為
，基本事件總數為10，……………10分
事件 “至少有一個路段為暢通”，
則 ， 基本事件總數為7.…………12分
所以至少有一個路段為暢通的概率為 ……………………………………14分
(19)(本小題滿分14分)
解： 的定義域為
…………………4分
(I)令 且
解得， 即
所以， 的單調遞減區間為 …………………8分
(II)由
當 即 時，
當 即 時， …………………14分
(20)(本小題滿分14分)
解：設游船的速度為 ( )，旅游公司單程獲得的利潤為 (元)，
因為游船的燃料費用為每小時 元，依題意 ，則 . 2分
所以 =
= . 5分
(21)(本小題滿分14分)
解：(І) …………………3分
(Ⅱ) 由 得 .
根據 的定義，當 時， ;當 時，
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