江蘇省南通第一中學2012—2013學年度第一學期期中考試卷
高一數學
說明
1．本試卷滿分160分，考試時間120分鐘；
2．在答題紙的密封線內填寫班級、姓名、考號，在右下角填上座位號，密封線內不要答題；
3．請將所有答案按照題號填寫在答題紙相應的答題處，否則不得分．

一、題：本大題共14小題，每小題5分，共70分，請把答案填寫在答題紙相應的位置上
1．若 ，則 ▲ ．
2．函數 的定義域是 ▲ ．
3．已知冪函數 的圖象過點 ，則 ▲ ．
4．設函數 滿足 ，則 的表達式是 ▲ ．
5．函數 的值域是 ▲ ．
6．若 , ,則用“＞”將 按從大到小可排列為 ▲ ．
7．已知函數 ，則 ▲ ．
8．若函數 在區間 上的最大值與最小值之和為 ，則a的值為 ▲ ．
9．給定函數：① ,② ,③ ,④ ，其中在區間 上是單調減函數的序號是 ▲ ．（填上所有你認為正確的結論的序號）
10．已知方程 的解所在區間為 ，則 = ▲ ．
11．已知函數 在區間 上是減函數，則 的取值范圍是 ▲ ．
12．定義在實數集R上的奇函數 滿足：① 在 內單調遞增，② ，則不
等式 的解集為 ▲ ．
13．已知函數 ，當 時， 恒成立，則實數 的取值范圍是 ▲ ．
14．已知函數 ，現給出下列命題：
① 當其圖象是一條連續不斷的曲線時，則 = ；
② 當其圖象是一條連續不斷的曲線時,能找到一個非零實數 使 在 上是增函數；
③ 當 時，不等式 恒成立；
④ 函數 是偶函數．
其中正確命題的序號是 ▲ ．（填上所有你認為正確的命題的序號）

二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題紙相應的位置上作答，解答時應寫出字說明、證明或演算步驟
15．（本小題滿分14分）
設全集 R，集合 ， ．
（1）求 ；
（2）若集合 ，滿足 ，求實數 的取值范圍

16．（本小題滿分14分）
（1）計算 的值；
（2）已知 ，求 和 的值．

17．（本小題滿分15分）
已知 為定義在R上的奇函數，當 時， 為二次函數，且滿足 ， 在 上的兩個零點為 和 ．
（1）求函數 在R上的解析式；
（2）作出 的圖象，并根據圖象討論關于 的方程 根的個數．
18．（本小題滿分15分）
已知函數 ，其中 ，記函數 的定義域為D．
（1）求函數 的定義域D；
（2）若函數 的最小值為 ，求 的值；
（3）若對于D內的任意實數 ,不等式 ＜ 恒成立,求實數 的取值范圍．

19．（本小題滿分16分）
已知函數 （ R）．
（1）試判斷 的單調性，并證明你的結論；
（2）若 為定義域上的奇函數，
① 求函數 的值域；
② 求滿足 的 的取值范圍．

20．（本小題滿分16分）
若函數 滿足下列條件：在定義域內存在 使得 成立，則稱函數 具有性質 ；反之，若 不存在，則稱函數 不具有性質 ．
（1）證明：函數 具有性質 ，并求出對應的 的值；
（2） 已知函數 具有性質 ，求 的取值范圍；
（3）試探究形如：① ,② ,③ ,④
,⑤ 的函數，指出哪些函數一定具有性質 ?并說明理由．

江蘇省南通第一中學2012—2013學年度第一學期期中考試
高一數學參考答案
一、題：本大題共14小題，每小題5分，共70分，請把答案填寫在答題紙相應的位置上.
1． 2．
3．9 4． （或寫成 ）
5． 6．c＞a＞b
7．4 8．
9．②④ 10．4
11．a≤ 12．
13． 14．①③
二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題紙相應的位置上作答，解答時應寫出字說明、證明或演算步驟.
15．（本小題滿分14分）
解：（1）∵
∴ ……………………………………4分
∴ ……………………………………7分
（2）由 得 ……………………………………9分

根據數軸可得 ， ……………………………………12分
從而 ……………………………………14分

16．（本小題滿分14分）
解：（1）原式
…………………………………4分
…………………………………7分
（2） …………………………………10分
∵
∴由 得 …………………………………14分
（注：不指出 得 扣1分；直接得 扣2分）

17．（本小題滿分15分）
解：（1）由題意，當 時，設 ，
，∴ ，∴ ……………………………2分
（注：設 一樣給分）
當 時， ，∵ 為 上的奇函數，∴ ，
∴
即 時， ……………………………5分
當 時，由 得： ……………………………6分
所以 ． ……………………………7分

（2）作出 的圖象（如圖所示）
…………………10分
（注： 的點或兩空心點不標注扣1分，
不要重復扣分）

由 得： ，在圖中作 ，
根據交點討論方程的根：
當 或 時，方程有 個根； ………………………………………11分
當 或 時，方程有 個根； ………………………………………12分
當 或 時，方程有 個根； ………………………………………13分
當 或 時，方程有 個根； ………………………………………14分
當 時，方程有 個根． ………………………………………15分

18．（本小題滿分15分）
解：（1）要使函數有意義：則有 ，解得
∴ 函數的定義域D為 ………………………………………2分
（2）

， ，即 ， …………5分
由 ，得 ， ． ……………………………7分
（注： 不化簡為 扣1分）
（3）由題知－x2+2x－2+2＜1在x∈ 上恒成立，
－2x+2－2+1＞0在x∈ 上恒成立， ……………………………8分
令g(x)=x2－2x+2－2+1，x∈ ，
配方得g(x)=(x－)2－2+1，其對稱軸為x=，
①當≤－3時， g(x)在 為增函數，∴g(－3)= (－3－)2－2+1= 2+4 +10≥0，
而2+4 +10≥0對任意實數恒成立，∴≤－3． ………………………10分
②當－3＜＜1時，函數g(x)在（－3,－1）為減函數，在（－1, 1）為增函數，
∴g()=－2+1＞0，解得＜ ∴－3＜＜ …………………12分
③當≥1時，函數g(x)在 為減函數，∴g(1)= (1－)2－2+1= 2－4 +2≥0，
解得≥ 或≤ ， ∴－3＜＜ …………………14分
綜上可得，實數的取值范圍是 (－∞， )∪[ ，+∞) …………………15分

19．（本小題滿分16分）
解：（1）函數 為定義域(－∞，+∞)，且 ，
任取 (－∞，+∞)，且
則 ………………3分
∵ 在 上單調遞增，且
∴ ， ， ， ，∴ ，
即 ，∴ 在(－∞，+∞)上的單調增函數． …………………5分
（2）∵ 是定義域上的奇函數，∴ ，
即 對任意實數 恒成立，
化簡得 ，∴ ，即 ， ………………8分
（注：直接由 得 而不檢驗扣2分）
①由 得 ，∵ ，∴ ， ……………10分
∴ ，∴
故函數 的值域為 ． ………………………………………………12分
②由 得 ，
且 在(－∞，+∞)上單調遞增，∴ ， …………………………14分
解得 ，
故 的取值范圍為 ． ……………………………………………………16分

20．（本小題滿分16分）
解：（1）證明： 代入 ，
得： ，即 ， ……………………………………2分
解得 ，∴函數 具有性質 ． …………………………………3分
（2） 的定義域為R，且可得 ，]∵ 具有性質 ，
∴存在 ，使得 ,代入得 ，
化為 ，
整理得: 有實根， ……………………………5分
①若 ,得 ，滿足題意； ……………………………………………6分
②若 ,則要使 有實根，只需滿足 ，
即 ，解得 ，∴ ，
綜合①②,可得 ………………………………………8分
（3）解法一：函數 恒具有性質 ，即關于 的方程 （*）恒有解. ………………………………………9分
　　　 ①若 ，則方程（*）可化為
　　　 整理， 得 ，當 時，關于 的方程（*）無解，
∴ 不恒具備性質 ； ………………………………………10分
②若 ，則方程（*）可化為 ，解得 ，
∴函數 一定具備性質 ； …………………12分
③若 ，則方程（*）可化為 無解，
∴ 不具備性質 ； ……………………………………………13分
④若 ，則方程（*）可化為 ，化簡得 ，
當 時，方程（*）無解，
∴ 不恒具備性質 ； …………………………14分
⑤若 ，則方程（*）可化為 ，化簡得 ，
顯然方程無解，
∴ 不 具備性質 ； …………………………15分
綜上所述，只有函數 一定具備性質 ． …………16分
（注：第（3）問直接得 一定具備性質 而不說明理由
只給1分）

本文來自：逍遙右腦記憶 /gaoyi/38480.html

相關閱讀：江西省高安二中2013-2014年度高一上學期期中考試數學試題（奧賽
【名師解析】內蒙古包頭市一中2015-2016學年高一上學期期中考試
福建省長樂二中等五校2015-2016學年高一上學期期中聯考數學試題
對數同步檢測題（有答案）)
云南省瀘西縣瀘源中學2015—2015學年高一上學期期中考試數學試題