集合與函數概念訓練題（有答案）
第一章 集合與函數概念
1．1集合
1．1．1集合的含義與表示
練習（第5頁）
1．用符號“ ”或“ ”：
（1）設 為所有亞洲國家組成的集合，則：中國_______ ，美國_______ ，
印度_______ ，英國_______ ；
（2）若 ，則 _______ ；
（3）若 ，則 _______ ；
（4）若 ，則 _______ ， _______ ．
1．（1）中國 ，美國 ，印度 ，英國 ；
中國和印度是屬于亞洲的國家，美國在北美洲，英國在歐洲．
（2） ．
（3） ．
（4） ， ．
2．試選擇適當的方法表示下列集合：
（1）由方程 的所有實數根組成的集合；
（2）由小于 的所有素數組成的集合；
（3）一次函數 與 的圖象的交點組成的集合；
（4）不等式 的解集．
2．解：（1）因為方程 的實數根為 ，
所以由方程 的所有實數根組成的集合為 ；
（2）因為小于 的素數為 ，
所以由小于 的所有素數組成的集合為 ；
（3）由 ，得 ，
即一次函數 與 的圖象的交點為 ，
所以一次函數 與 的圖象的交點組成的集合為 ；
（4）由 ，得 ，
所以不等式 的解集為 ．
1．1．2集合間的基本關系
練習（第7頁）
1．寫出集合 的所有子集．
1．解：按子集元素個數分類，不取任何元素，得 ；
取一個元素，得 ；
取兩個元素，得 ；
取三個元素，得 ，
即集合 的所有子集為 ．
2．用適當的符號：
（1） ______ ； （2） ______ ；
（3） ______ ； （4） ______ ；
（5） ______ ； （6） ______ ．
2．（1） 是集合 中的一個元素；
（2） ；
（3） 方程 無實數根， ；
（4） （或 ） 是自然數集合 的子集，也是真子集；
（5） （或 ） ；
（6） 方程 兩根為 ．
3．判斷下列兩個集合之間的關系：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ．

3．解：（1）因為 ，所以 ；
（2）當 時， ；當 時， ，
即 是 的真子集， ；
（3）因為 與 的最小公倍數是 ，所以 ．
1．1．3集合的基本運算
練習（第11頁）
1．設 ，求 ．
1．解： ，
．
2．設 ，求 ．
2．解：方程 的兩根為 ，
方程 的兩根為 ，
得 ，
即 ．
3．已知 ， ，求 ．
3．解： ，
．
4．已知全集 ， ，
求 ．
4．解：顯然 ， ，
則 ， ．
1．1集合
習題1．1 （第11頁） A組
1．用符號“ ”或“ ”填空：
（1） _______ ； （2） ______ ； （3） _______ ；
（4） _______ ； （5） _______ ； （6） _______ ．
1．（1） 是有理數； （2） 是個自然數；
（3） 是個無理數，不是有理數； （4） 是實數；
（5） 是個整數； （6） 是個自然數．
2．已知 ，用 “ ”或“ ” 符號填空：
（1） _______ ； （2） _______ ； （3） _______ ．
2．（1） ； （2） ； （3） ．
當 時， ；當 時， ；
3．用列舉法表示下列給定的集合：
（1）大于 且小于 的整數；
（2） ；
（3） ．
3．解：（1）大于 且小于 的整數為 ，即 為所求；
（2）方程 的兩個實根為 ，即 為所求；
（3）由不等式 ，得 ，且 ，即 為所求．
4．試選擇適當的方法表示下列集合：
（1）二次函數 的函數值組成的集合；
（2）反比例函數 的自變量的值組成的集合；
（3）不等式 的解集．
4．解：（1）顯然有 ，得 ，即 ，
得二次函數 的函數值組成的集合為 ；
（2）顯然有 ，得反比例函數 的自變量的值組成的集合為 ；
（3）由不等式 ，得 ，即不等式 的解集為 ．
5．選用適當的符號填空：
（1）已知集合 ，則有：
_______ ； _______ ； _______ ； _______ ；
（2）已知集合 ，則有：
_______ ； _______ ； _______ ； _______ ；
（3） _______ ；
_______ ．
5．（1） ； ； ； ；
，即 ；
（2） ； ； ； = ；
；
（3） ；
菱形一定是平行四邊形，是特殊的平行四邊形，但是平行四邊形不一定是菱形；
．
等邊三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等邊三角形．
6．設集合 ，求 ．
6．解： ，即 ，得 ，
則 ， ．
7．設集合 ， ，求 ，
， ， ．
7．解： ，
則 ， ，
而 ， ，
則 ，
．
8．學校里開運動會，設 ，
， ，
學校規定，每個參加上述的同學最多只能參加兩項，請你用集合的語言說明這項規定，
并解釋以下集合運算的含義：（1） ；（2） ．
8．解：用集合的語言說明這項規定：每個參加上述的同學最多只能參加兩項，
即為 ．
（1） ；
（2） ．
9．設 ， ， ，
，求 ， ， ．
9．解：同時滿足菱形和矩形特征的是正方形，即 ，
平行四邊形按照鄰邊是否相等可以分為兩類，而鄰邊相等的平行四邊形就是菱形，
即 ，
．
10．已知集合 ，求 ， ，
， ．
10．解： ， ，
， ，
得 ，
，
，
．
B組
1．已知集合 ，集合 滿足 ，則集合 有 個．
1． 集合 滿足 ，則 ，即集合 是集合 的子集，得 個子集．
2．在平面直角坐標系中，集合 表示直線 ，從這個角度看，
集合 表示什么？集合 之間有什么關系？
2．解：集合 表示兩條直線 的交點的集合，
即 ，點 顯然在直線 上，
得 ．
3．設集合 ， ，求 ．
3．解：顯然有集合 ，
當 時，集合 ，則 ；
當 時，集合 ，則 ；
當 時，集合 ，則 ；
當 ，且 ，且 時，集合 ，
則 ．
4．已知全集 ， ，試求集合 ．
4．解：顯然 ，由 ，
得 ，即 ，而 ，
得 ，而 ，
即 ．
第一章 集合與函數概念
1．2函數及其表示
1．2．1函數的概念
練習（第19頁）
1．求下列函數的定義域：
（1） ； （2） ．
1．解：（1）要使原式有意義，則 ，即 ，
得該函數的定義域為 ；
（2）要使原式有意義，則 ，即 ，
得該函數的定義域為 ．
2．已知函數 ，
（1）求 的值；
（2）求 的值．
2．解：（1）由 ，得 ，
同理得 ，
則 ，
即 ；
（2）由 ，得 ，
同理得 ，
則 ，
即 ．
3．判斷下列各組中的函數是否相等，并說明理由：
（1）表示炮彈飛行高度 與時間 關系的函數 和二次函數 ；
（2） 和 ．
3．解：（1）不相等，因為定義域不同，時間 ；
（2）不相等，因為定義域不同， ．
1．2．2函數的表示法
練習（第23頁）
1．如圖，把截面半徑為 的圓形木頭鋸成矩形木料，如果矩形的一邊長為 ，
面積為 ，把 表示為 的函數．
1．解：顯然矩形的另一邊長為 ，
，且 ，
即 ．
2．下圖中哪幾個圖象與下述三件事分別吻合得最好？請你為剩下的那個圖象寫出一件事．
（1）我離開家不久，發現自己把作業本忘在家里了，于是返回家里找到了作業本再上學；（2）我騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；
（3）我出發后，心情輕松，緩緩行進，后為了趕時間開始加速．

2．解：圖象（A）對應事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示離開家的距離不發生變化；
圖象（B）對應事件（3），剛剛開始緩緩行進，后為了趕時間開始加速；
圖象（D）對應事件（1），返回家里的時刻，離開家的距離又為零；
圖象（C）我出發后，以為要遲到，趕時間開始加速，后心情輕松，緩緩行進．
3．畫出函數 的圖象．
3．解： ，圖象如下所示．

4．設 ，從 到 的映射是“求正弦”，與 中元素 相對應
的 中的元素是什么？與 中的元素 相對應的 中元素是什么？
4．解：因為 ，所以與 中元素 相對應的 中的元素是 ；
因為 ，所以與 中的元素 相對應的 中元素是 ．
1．2函數及其表示
習題1．2（第23頁）
1．求下列函數的定義域：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
1．解：（1）要使原式有意義，則 ，即 ，
得該函數的定義域為 ；
（2） ， 都有意義，
即該函數的定義域為 ；
（3）要使原式有意義，則 ，即 且 ，
得該函數的定義域為 ；
（4）要使原式有意義，則 ，即 且 ，
得該函數的定義域為 ．
2．下列哪一組中的函數 與 相等？
（1） ； （2） ；
（3） ．
2．解：（1） 的定義域為 ，而 的定義域為 ，
即兩函數的定義域不同，得函數 與 不相等；
（2） 的定義域為 ，而 的定義域為 ，
即兩函數的定義域不同，得函數 與 不相等；
（3）對于任何實數，都有 ，即這兩函數的定義域相同，切對應法則相同，
得函數 與 相等．
3．畫出下列函數的圖象，并說出函數的定義域和值域．
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
3．解：（1）

定義域是 ，值域是 ；

定義域是 ，值域是 ；
（4）

定義域是 ，值域是 ．
4．已知函數 ，求 ， ， ， ．
4．解：因為 ，所以 ，
即 ；
同理， ，
即 ；
，
即 ；
，
即 ．
5．已知函數 ，
（1）點 在 的圖象上嗎？
（2）當 時，求 的值；
（3）當 時，求 的值．
5．解：（1）當 時， ，
即點 不在 的圖象上；
（2）當 時， ，
即當 時，求 的值為 ；
（3） ，得 ，
即 ．
6．若 ，且 ，求 的值．
6．解：由 ，
得 是方程 的兩個實數根，
即 ，得 ，
即 ，得 ，
即 的值為 ．
7．畫出下列函數的圖象：
（1） ； （2） ．

7．圖象如下：

8．如圖，矩形的面積為 ，如果矩形的長為 ，寬為 ，對角線為 ，
周長為 ，那么你能獲得關于這些量的哪些函數？

8．解：由矩形的面積為 ，即 ，得 ， ，
由對角線為 ，即 ，得 ，
由周長為 ，即 ，得 ，
另外 ，而 ，
得 ，
即 ．
9．一個圓柱形容器的底部直徑是 ，高是 ，現在以 的速度向容器內注入某種溶液．求溶液內溶液的高度 關于注入溶液的時間 的函數解析式，并寫出函數的定義域和值域．
9．解：依題意，有 ，即 ，
顯然 ，即 ，得 ，
得函數的定義域為 和值域為 ．
10．設集合 ，試問：從 到 的映射共有幾個？
并將它們分別表示出．
10．解：從 到 的映射共有 個．
分別是 ， ， ， ，
， ， ， ．

Ｂ組
1．函數 的圖象如圖所示．
（1）函數 的定義域是什么？
（2）函數 的值域是什么？
（3） 取何值時，只有唯一的 值與之對應？
1．解：（1）函數 的定義域是 ；
（2）函數 的值域是 ；
（3）當 ，或 時，只有唯一的 值與之對應．
2．畫出定義域為 ，值域為 的一個函數的圖象．
（1）如果平面直角坐標系中點 的坐標滿足 ， ，那么其中哪些點不能在圖象上？
（2）將你的圖象和其他同學的相比較，有什么差別嗎？
2．解：圖象如下，（1）點 和點 不能在圖象上；（2）省略．

3．函數 的函數值表示不超過 的最大整數，例如， ， ．
當 時，寫出函數 的解析式，并作出函數的圖象．
3．解：
圖象如下

4．如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的點 的距離是 ，從點 沿海岸正東 處有一個城鎮．

（1）假設一個人駕駛的小船的平均速度為 ，步行的速度是 ， （單位： ）表示他從小島到城鎮的時間， （單位： ）表示此人將船停在海岸處距 點的距離．請將 表示為 的函數．
（2）如果將船停在距點 處，那么從小島到城鎮要多長時間（精確到 ）？
4．解：（1）駕駛小船的路程為 ，步行的路程為 ，
得 ， ，
即 ， ．
（2）當 時， ．

第一章 集合與函數概念
1．3函數的基本性質
1．3．1單調性與最大（�。┲�
練習（第32頁）
1．請根據下圖描述某裝配線的生產效率與生產線上工人數量間的關系．

1．答：在一定的范圍內，生產效率隨著工人數量的增加而提高，當工人數量達到某個數量時，生產效率達到最大值，而超過這個數量時，生產效率隨著工人數量的增加而降低．由此可見，并非是工人越多，生產效率就越高．
2．整個上午 天氣越越暖，中午時分 一場暴風雨使天氣驟然涼爽了許多.暴風雨過后，天氣轉暖，直到太陽落 才又開始轉涼.畫出這一天 期間氣溫作為時間函數的一個可能的圖象，并說出所畫函數的單調區間.
2．解：圖象如下

是遞增區間， 是遞減區間， 是遞增區間， 是遞減區間．
3．根據下圖說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，函數是增函數還是減函數.

3．解：該函數在 上是減函數，在 上是增函數，在 上是減函數，
在 上是增函數．
4．證明函數 在 上是減函數.
4．證明：設 ，且 ，
因為 ，
即 ，
所以函數 在 上是減函數.
5．設 是定義在區間 上的函數.如果 在區間 上遞減，在區間 上遞增，畫出 的一個大致的圖象，從圖象上可以發現 是函數 的一個 .
5．最小值．
1．3．2單調性與最大（�。┲�
練習（第36頁）
1．判斷下列函數的奇偶性：
（1） ； （2）
（3） ； （4） .
1．解：（1）對于函數 ，其定義域為 ，因為對定義域內
每一個 都有 ，
所以函數 為偶函數；
（2）對于函數 ，其定義域為 ，因為對定義域內
每一個 都有 ，
所以函數 為奇函數；
（3）對于函數 ，其定義域為 ，因為對定義域內
每一個 都有 ，
所以函數 為奇函數；
（4）對于函數 ，其定義域為 ，因為對定義域內
每一個 都有 ，
所以函數 為偶函數.
2.已知 是偶函數， 是奇函數，試將下圖補充完整.

2．解： 是偶函數，其圖象是關于 軸對稱的；
是奇函數，其圖象是關于原點對稱的．

習題1.3
A組
1.畫出下列函數的圖象，并根據圖象說出函數 的單調區間，以及在各單調區間
上函數 是增函數還是減函數.
（1） ； （2） .
1．解：（1）
函數在 上遞減；函數在 上遞增；
（2）

函數在 上遞增；函數在 上遞減.
2.證明：
（1）函數 在 上是減函數；
（2）函數 在 上是增函數.
2．證明：（1）設 ，而 ，
由 ，得 ，
即 ，所以函數 在 上是減函數；
（2）設 ，而 ，
由 ，得 ，
即 ，所以函數 在 上是增函數.
3.探究一次函數 的單調性，并證明你的結論.
3．解：當 時，一次函數 在 上是增函數；
當 時，一次函數 在 上是減函數，
令 ，設 ，
而 ，
當 時， ，即 ，
得一次函數 在 上是增函數；
當 時， ，即 ，
得一次函數 在 上是減函數.
4.一名心率過速患者服用某種藥物后心率立刻明顯減慢，之后隨著藥力的減退，心率再次
慢慢升高.畫出自服藥那一刻起，心率關于時間的一個可能的圖象（示意圖）.
4．解：自服藥那一刻起，心率關于時間的一個可能的圖象為

5.某汽車租賃公司的月收益 元與每輛車的月租金 元間的關系為
，那么，每輛車的月租金多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？
5．解：對于函數 ，
當 時， （元），
即每輛車的月租金為 元時，租賃公司最大月收益為 元．
6.已知函數 是定義在 上的奇函數，當 時， .畫出函數
的圖象，并求出函數的解析式.
6．解：當 時， ，而當 時， ，
即 ，而由已知函數是奇函數，得 ，
得 ，即 ，
所以函數的解析式為 .
B組
1.已知函數 ， .
（1）求 ， 的單調區間； （2）求 ， 的最小值.
1．解：（1）二次函數 的對稱軸為 ，
則函數 的單調區間為 ，
且函數 在 上為減函數，在 上為增函數，
函數 的單調區間為 ，
且函數 在 上為增函數；
（2）當 時， ，
因為函數 在 上為增函數，
所以 ．
2.如圖所示，動物園要建造一面靠墻的 間面積相同的矩形熊貓居室，如果可供建造圍墻的材料總長是 ，那么寬 （單位： ）為多少才能使建造的每間熊貓居室面積最大？每間熊貓居室的最大面積是多少？

2．解：由矩形的寬為 ，得矩形的長為 ，設矩形的面積為 ，
則 ，
當 時， ，
即寬 才能使建造的每間熊貓居室面積最大，
且每間熊貓居室的最大面積是 ．
3.已知函數 是偶函數，而且在 上是減函數，判斷 在 上是增函數還是減函數，并證明你的判斷.
3．判斷 在 上是增函數，證明如下：
設 ，則 ，
因為函數 在 上是減函數，得 ，
又因為函數 是偶函數，得 ，
所以 在 上是增函數．

復習參考題
A組
1．用列舉法表示下列集合：
（1） ；
（2） ；
（3） .
1．解：（1）方程 的解為 ，即集合 ；
（2） ，且 ，則 ，即集合 ；
（3）方程 的解為 ，即集合 ．
2．設 表示平面內的動點，屬于下列集合的點組成什么圖形？
（1） ；
（2） .
2．解：（1）由 ，得點 到線段 的兩個端點的距離相等，
即 表示的點組成線段 的垂直平分線；
（2） 表示的點組成以定點 為圓心，半徑為 的圓．
3.設平面內有 ，且 表示這個平面內的動點，指出屬于集合
的點是什么.
3．解：集合 表示的點組成線段 的垂直平分線，
集合 表示的點組成線段 的垂直平分線，
得 的點是線段 的垂直平分線與線段 的
垂直平分線的交點，即 的外心．
4.已知集合 ， .若 ，求實數 的值.
4．解：顯然集合 ，對于集合 ，
當 時，集合 ，滿足 ，即 ；
當 時，集合 ，而 ，則 ，或 ，
得 ，或 ，
綜上得：實數 的值為 ，或 ．
5.已知集合 ， ， ，求 ， ， .
5．解：集合 ，即 ；
集合 ，即 ；
集合 ；
則 .
6.求下列函數的定義域：
（1） ；
（2） .
6．解：（1）要使原式有意義，則 ，即 ，
得函數的定義域為 ；
（2）要使原式有意義，則 ，即 ，且 ，
得函數的定義域為 ．
7.已知函數 ，求：
（1） ； （2） .
7．解：（1）因為 ，
所以 ，得 ，
即 ；
（2）因為 ，
所以 ，
即 ．
8.設 ，求證：
（1） ； （2） .
8．證明：（1）因為 ，
所以 ，
即 ；
（2）因為 ，
所以 ，
即 .
9.已知函數 在 上具有單調性，求實數 的取值范圍.
9．解：該二次函數的對稱軸為 ，
函數 在 上具有單調性，
則 ，或 ，得 ，或 ，
即實數 的取值范圍為 ，或 ．
10．已知函數 ，
（1）它是奇函數還是偶函數？
（2）它的圖象具有怎樣的對稱性？
（3）它在 上是增函數還是減函數？
（4）它在 上是增函數還是減函數？
10．解：（1）令 ，而 ，
即函數 是偶函數；
（2）函數 的圖象關于 軸對稱；
（3）函數 在 上是減函數；
（4）函數 在 上是增函數．

B組
1.學校舉辦運動會時，高一（1）班共有 名同學參加比賽，有 人參加游泳比賽，有 人參加田徑比賽，有 人參加球類比賽，同時參加游泳比賽和田徑比賽的有 人，同時參加游泳比賽和球類比賽的有 人，沒有人同時參加三項比賽.問同時參加田徑和球類比賽的有多少人？只參加游泳一項比賽的有多少人？
1．解：設同時參加田徑和球類比賽的有 人，
則 ，得 ，
只參加游泳一項比賽的有 （人），
即同時參加田徑和球類比賽的有 人，只參加游泳一項比賽的有 人．
2.已知非空集合 ，試求實數 的取值范圍.
2．解：因為集合 ，且 ，所以 ．
3.設全集 ， ， ，求集合 .
3．解：由 ，得 ，
集合 里除去 ，得集合 ，
所以集合 .
4.已知函數 .求 ， ， 的值.
4．解：當 時， ，得 ；
當 時， ，得 ；
．
5.證明：
（1）若 ，則 ；
（2）若 ，則 .
5．證明：（1）因為 ，得 ，
，
所以 ；
（2）因為 ，
得 ，

，
因為 ，
即 ，
所以 .
6.（1）已知奇函數 在 上是減函數，試問：它在 上是增函數還是減函數？
（2）已知偶函數 在 上是增函數，試問：它在 上是增函數還是減函數？
6．解：（1）函數 在 上也是減函數，證明如下：
設 ，則 ，
因為函數 在 上是減函數，則 ，
又因為函數 是奇函數，則 ，即 ，
所以函數 在 上也是減函數；
（2）函數 在 上是減函數，證明如下：
設 ，則 ，
因為函數 在 上是增函數，則 ，
又因為函數 是偶函數，則 ，即 ，
所以函數 在 上是減函數．
7.《中華人民共和國個人所得稅》規定，公民全月工資、薪金所得不超過 元的部分
不必納稅，超過 元的部分為全月應納稅所得額.此項稅款按下表分段累計計算：
某人一月份應交納此項稅款為 元，那么他當月的工資、薪金所得是多少？

全月應納稅所得額 稅率

不超過 元的部分

超過 元至 元的部分

超過 元至 元的部分

7．解：設某人的全月工資、薪金所得為 元，應納此項稅款為 元，則

由該人一月份應交納此項稅款為 元，得 ，
，得 ，
所以該人當月的工資、薪金所得是 元．

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