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考點：旋轉的性質；等腰三角形的性質；等腰梯形的判定．
分析：（1）根據等腰三角形的性質以及角平分線的性質得出對應角之間的關系進而得出答案；
（2）由旋轉的性質可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，根據全等三角形證明方法得出即可；
（3）分別根據①當點E的像E′與點M重合時，則四邊形ABCM為等腰梯形，②當點E的像E′與點N重合時，求出α即可．
解答：（1）證明：∵AB=BC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=36°，
∴∠BEC=180°?∠C?∠CBE=72°，
∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，
∴AE=BE，BE=BC，
∴AE=BC．

（2）證明：∵AC=AB且EF∥BC，
∴AE=AF；
由旋轉的性質可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，
∵在△CAE′和△BAF′中
，
∴△CAE′≌△BAF′，
∴CE′=BF′．

（3）存在CE′∥AB，
理由：由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF繞點A逆時針旋轉過程中，E點經過的路徑（圓弧）與過點C且與AB平行的直線l交于M、N兩點，
如圖：①當點E的像E′與點M重合時，則四邊形ABCM為等腰梯形，
∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°，
∴α=∠CAM=36°．
②當點E的像E′與點N重合時，
由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°，
∵AM=AN，
∴∠ANM=∠AMN=72°，
∴∠MAN=180°?2×72°=36°，
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°．
所以，當旋轉角為36°或72°時，CE′∥AB．

點評：此題主要考查了旋轉的性質以及等腰三角形的性質和等腰梯形的性質等知識，根據數形結合熟練掌握相關定理是解題關鍵．
46、（2013•嘉興）小明在做課本“目標與評定”中的一道題：如圖1，直線a，b所成的角跑到畫板外面去了，你有什么辦法量出這兩條直線所成的角的度數？小明的做法是：如圖2，畫PC∥a，量出直線b與PC的夾角度數，即直線a，b所成角的度數．

（1）請寫出這種做法的理由；
（2）小明在此基礎上又進行了如下操作和探究（如圖3）：①以P為圓心，任意長為半徑畫圓弧，分別交直線b，PC于點A，D；②連結AD并延長交直線a于點B，請寫出圖3中所有與∠PAB相等的角，并說明理由；
（3）請在圖3畫板內作出“直線a，b所成的跑到畫板外面去的角”的平分線（畫板內的部分），只要求作出圖形，并保留作圖痕跡．

考點：作圖―應用與設計作圖；平行線的性質；等腰三角形的性質．
分析：（1）根據平行線的性質得出即可；
（2）根據題意，有3個角與∠PAB相等．由等腰三角形的性質，可知∠PAB=∠PDA；又對頂角相等，可知∠BDC=∠PDA；由平行線性質，可知∠PDA=∠1．因此∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1；
（3）作出線段AB的垂直平分線EF，由等腰三角形的性質可知，EF是頂角的平分線，故EF即為所求作的圖形．
解答：解：（1）PC∥a（兩直線平行，同位角相等）；

（2）∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1，
如圖，∵PA=PD，
∴∠PAB=∠PDA，
∵∠BDC=∠PDA（對頂角相等），
又∵PC∥a，
∴∠PDA=∠1，
∴∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1；

（3）如圖，作線段AB的垂直平分線EF，則EF是所求作的圖形．

點評：本題涉及到的幾何基本作圖包括：（1）過直線外一點作直線的平行線，（2）作線段的垂直平分線；涉及到的考點包括：（1）平行線的性質，（2）等腰三角形的性質，（3）對頂角的性質，（4）垂直平分線的性質等．本題借助實際問題場景考查了學生的幾何基本作圖能力，是一道好題．題目篇幅較長，需要仔細，理解題意，正確作答．
47、（2013杭州）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，線段AG，BG分別交CD于點E，F，DE=CF．
求證：△GAB是等腰三角形．

考點：等腰梯形的性質；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的判定．
專題：證明題．
分析：由在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，DE=CF，利用SAS，易證得△ADE≌△BCF，即可得∠DAE=∠CBF，則可得∠GAB=∠GBA，然后由等角對等邊，證得：△GAB是等腰三角形．
解答：證明：∵在等腰梯形中ABCD中，AD=BC，
∴∠D=∠C，∠DAB=∠CBA，
在△ADE和△BCF中，
，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴∠DAE=∠CBF，
∴∠GAB=∠GBA，
∴GA=GB，
即△GAB為等腰三角形．
點評：此題考查了等腰梯形的性質、全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的判定．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．　
48、（2013•荊門）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上．
（1）求證：BE=CE；
（2）如圖2，若BE的延長線交AC于點F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45°，原題設其它條件不變．求證：△AEF≌△BCF．

考點：全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質．
專題：證明題．
分析：（1）根據等腰三角形三線合一的性質可得∠BAE=∠EAC，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ACE全等，再根據全等三角形對應邊相等證明即可；
（2）先判定△ABF為等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的兩直角邊相等可得AF=BF，再根據同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角邊角”證明△AEF和△BCF全等即可．
解答：證明：（1）∵AB=AC，D是BC的中點，
∴∠BAE=∠EAC，
在△ABE和△ACE中， ，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE；

（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，
∴△ABF為等腰直角三角形，
∴AF=BF，
∵AB=AC，點D是BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中， ，
∴△AEF≌△BCF（ASA）．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形三線合一的性質，等腰直角三角形的判定與性質，同角的余角相等的性質，是基礎題，熟記三角形全等的判定方法與各性質是解題的關鍵．
49、（2013哈爾濱）如圖，在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，A點的坐標為(3，0)，以0A為邊作等邊三角形OAB，點B在第一象限，過點B作AB的垂線交x軸于點C．動點P從0點出發沿0C向C點運動，動點Q從B點出發沿BA向A點運動，P,Q兩點同時出發，速度均為1個單位／秒。設運動時間為t秒．
(1)求線段BC的長；
(2)連接PQ交線段OB于點E，過點E作x軸的平行線交線段BC于點F。設線段EF的長為m，求m與t之間的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍：
(3)在(2)的條件下，將△BEF繞點B逆時針旋轉得到△BE1F1,使點E的對應點E1落在線段AB上，點F的對應點是F1，E1F1交x軸于點G，連接PF、QG，當t為何值時，2BQ-PF= QG?

考點：等邊三角形判定與性質、相似三角形判定與性質、直角三角形的判定、三角形內角和、等腰三角形判定，一元一次方程
分析：（1）由△AOB為等邊三角形得∠ACB=∠OBC=300，
由此CO=OB=AB=OA=3，在RT△ABC中，AC為6 ，從而BC= （2）過點Q作QN∥0B交x軸于點N，先證△AQN為等邊三角形，從而NQ=NA=AQ=3-t，NON=3- (3-t)=t
PN=t+t=2t，再由△POE∽△PNQ后 對應邊成比例計算得 再由EF=BE易得出m與t之間的函數關系式
(3)先證△AE’G為等邊三角形，再證∠QGA=900
通過兩邊成比例夾角相等得△FCP∽△BCA 再用含t的式子表示BQ、、PF、QG通過解方程求出
解答：(1)解：如圖l∵△AOB為等邊三角形 ∴∠BAC=∠AOB=60。
∵BC⊥AB ∴∠ABC=900 ∴∠ACB=300∠OBC=300
∴∠ACB=∠OBC ∴CO=OB=AB=OA=3
∴AC=6 ∴BC= AC=
(2)解：如圖l過點Q作QN∥0B交x軸于點N
∴∠QNA=∠BOA=600=∠QAN ∴QN=QA
∴△AQN為等邊三角形
∴NQ=NA=AQ=3-t
∴NON=3- (3-t)=t
∴PN=t+t=2t
∴OE∥QN．∴△POE∽△PNQ
∴
∴ ∴
∵EF∥x軸
∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=300
∴EF=BE∴m=BE=OB-OE
(0<t<3)
(3)解：如圖2

∴∠AEG=600=∠EAG
∴GE1=GA ∴△AE’G為等邊三角形

∴∠l=∠2 ∠3=∠4
∵∠l+∠2+∠3+∠4=1800∴∠2+∠3=900
即∠QGA=900
∵∠FCP=∠BCA ∴△FCP∽△BCA．
∵2BQ―PF= QG ∴ ∴t=1∴當t=1 時，2BQ―PF= QG
50、（2013•牡丹江）已知∠ACD=90°，MN是過點A的直線，AC=DC，DB⊥MN于點B，如圖（1）．易證BD+AB= CB，過程如下：
過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．
∵四邊形ACDB內角和為360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．
∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．
又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB為等腰直角三角形，∴BE= CB．
又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB= CB．
（1）當MN繞A旋轉到如圖（2）和圖（3）兩個位置時，BD、AB、CB滿足什么樣關系式，請寫出你的猜想，并對圖（2）給予證明．
（2）MN在繞點A旋轉過程中，當∠BCD=30°，BD= 時，則CD=　2　，CB=　 +1�。�

考點：全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；旋轉的性質．
分析：（1）過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E，證明△ACE≌△DCB，則△ECB為等腰直角三角形，據此即可得到BE= CB，根據BE=AB?AE即可證得；
（2）過點B作BH⊥CD于點H，證明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的長，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得．
解答：（1）如圖（2）：AB?BD= CB．
證明：過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°?∠DCE，∠BCD=90°?∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°?∠AFC，∠D=90°?∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE= CB．
又∵BE=AB?AE，
∴BE=AB?BD，
∴AB?BD= CB．

如圖（3）：BD?AB= CB．
證明：過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°?∠AFB，∠D=90°?∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE= CB．
又∵BE=AE?AB，
∴BE=BD?AB，
∴BD?AB= CB．

（2）如圖（1），過點B作BH⊥CD于點H，
∵∠ABC=45°，DB⊥MN，
∴∠CBD=135°，
∵∠BCD=30°，
∴∠CBH=60°，
∴∠DBH=75°，
∴∠D=15°，
∴BH=B D•sin45°，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴DH=BH= BD= × =1，
∵∠BCD=30°
∴CD=2DH=2，
∴CH= = ，
∴CB=CH+BH= +1；

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性質是全等三角形的對應邊相等，對應角相等．
51、（2013•綏化壓軸題）如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點，分別過A，C兩點作x軸，y軸的垂線相交于B點，且OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x2?14x+48=0的兩個實數根．
（1）求C點坐標；
（2）求直線MN的解析式；
（3）在直線MN上存在點P，使以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出P點的坐標．

考點：一次函數綜合題
分析：（1）通過解方程x2?14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．則C（0，6）；
（2）設直線MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把點A、C的坐標分別代入解析式，列出關于系數k、b的方程組，通過解方程組即可求得它們的值；
（3）需要分類討論：PB為腰，PB為底兩種情況下的點P的坐標．根據等腰三角形的性質、兩點間的距離公式以及一次函數圖象上點的坐標特征進行解答．
解答：解：（1）解方程x2?14x+48=0得
x1=6，x2=8．
∵OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x2?14x+48=0的兩個實數根，
∴OC=6，OA=8．
∴C（0，6）；

（2）設直線MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．
由（1）知，OA=8，則A（8，0）．
∵點A、C都在直線MN上，
∴ ，
解得， ，
∴直線MN的解析式為y=? x+6；

（3）∵A（8，0），C（0，6），
∴根據題意知B（8，6）．
∵點P在直線MNy=? x+6上，
∴設P（a，? a+6）
當以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形時，需要分類討論：
①當PC=PB時，點P是線段BC的中垂線與直線MN的交點，則P1（4，3）；
②當PC=BC時，a2+（? a+6?6）2=64，
解得，a= ，則P2（? ， ），P3（ ， ）；
③當PB=BC時，（a?8）2+（? a+6?6）2=64，
解得，a= ，則? a+6=? ，∴P4（ ，? ）．
綜上所述，符合條件的點P有：P1（4，3），P2（? ， ）P3（ ， ），P4（ ，? ）．

點評：本題考查了一次函數綜合題．其中涉及到的知識點有：待定系數法求一次函數解析式，一次函數圖象上點的坐標特征，等腰三角形的性質．解答（3）題時，要分類討論，防止漏解．另外，解答（3）題時，還利用了“數形結合”的數學思想．

52、（2013•郴州）如圖，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P為AC邊上一動點，設PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．
（1）證明：△PCE是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分別是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代數式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之間的數量關系；
（3）當k=4時，求四邊形PEBF的面積S與x的函數關系式．x為何值時，S有最大值？并求出S的最大值．

考點：等腰三角形的判定與性質；二次函數的最值；解直角三角形．
分析：（1）根據等邊對等角可得∠A=∠C，然后根據兩直線平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，從而得到∠CPE=∠C，即可得證；
（2）根據等腰三角形三線合一的性質求出CM= CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的長，再根據結果整理可得EM+FN=BH；
（3）分別求出EM、FN、BH，然后根據S△PCE，S△APF，S△ABC，再根據S=S△ABC?S△PCE?S△APF，整理即可得到S與x的關系式，然后利用二次函數的最值問題解答．
解答：（1）證明：∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵PE∥AB，
∴∠CPE=∠A，
∴∠CPE=∠C，
∴△PCE是等腰三角形；

（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，
∴CM= CP= ，tanC=tanA=k，
∴EM=CM•tanC= •k= ，
同理：FN=AN•tanA= •k=4k? ，
由于BH=AH•tanA= ×8•k=4k，
而EM+FN= +4k? =4k，
∴EM+FN=BH；

（3）解：當k=4時，EM=2x，FN=16?2x，BH=16，
所以，S△PCE= x•2x=x2，S△APF= （8?x）•（16?2x）=（8?x）2，S△ABC= ×8×16=64，
S=S△ABC?S△PCE?S△APF，
=64?x2?（8?x）2，
=?2x2+16x，
配方得，S=?2（x?4）2+32，
所以，當x=4時，S有最大值32．
點評：本題考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，銳角三角函數，二次函數的最值問題，表示出各三角形的高線是解題的關鍵，也是本題的難點．

53、（13年安徽省14分、23壓軸題）我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準等腰梯形”。如圖1，四邊形ABCD即為“準等腰梯形”。其中∠B=∠C。
（1）在圖1所示的“準等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個頂點引一條直線將四邊形ABCD分割成一個等腰梯形和一個三角形或分割成一個等腰三角形和一個梯形（畫出一種示意圖即可）。

（2）如圖2，在“準等腰梯形”ABCD中，∠B=∠C，E為邊BC上一點，若AB∥DE，AE∥DC，求證：
（3）在由不平行于BC的直線截ΔPBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點E，若EB=EC，請問當點E在四邊形ABCD內部時（即圖3所示情形），四邊形ABCD是不是“準等腰梯形”，為什么？若點E不在四邊形ABCD內部時，情況又將如何？寫出你的結論（不必說明理由）

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