四川省內江市2012-2013學年期末數學試卷（理科）一．選擇題：本大共10小題，每小題5分，共50分；在每個小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把正確選項的代號填在答題卡的指定位置．1．（5分）計算cos23°sin53°?sin23°cos53°的值等于（　�。�　A．B．C．D．考點：兩角和與差的正弦函數．專題：三角函數的求值．分析：利用兩角差的正弦公式將式子化簡，再由特殊角的正弦值求出即可．解答：解：由題意得，cos23°sin53°?sin23°cos53°=sin（53°?23°）=sin30°=，故選A．點評：本題考查了兩角差的正弦公式的逆用，關鍵是熟練掌握公式并會運用．　2．（5分）已知a+b＞0，b＜0，那么a，b，?a，?b的大小關系是（　�。�　A．a＞b＞?b＞?aB．a＞?b＞?a＞bC．a＞?b＞b＞?aD．a＞b＞?a＞?b考點：不等式比較大�。畬ｎ}：常規題型．分析：法一：特殊值法，令a=2，b=?1代入檢驗即可．法二：利用不等式的性質，及不等式的符號法則，先把正數的大小比較出來，再把負數的大小比較出來．解答：解：法一：∵A、B、C、D四個選項中，每個選項都是唯一確定的答案，∴可用特殊值法．令a=2，b=?1，則有2＞?（?1）＞?1＞?2，即a＞?b＞b＞?a．法二：∵a+b＞0，b＜0，∴a＞?b＞0，?a＜b＜0，∴a＞?b＞0＞b＞?a，即a＞?b＞b＞?a．點評：在限定條件下，比較幾個式子的大小，可以用特殊值法，也利用不等式的性質及符號法則直接推導．　3．（5分）若直線x+ay+2=0和直線2x+3y+1=0互相垂直，則a的值為（　�。�　A．B．C．D．考點：直線的一般式方程與直線的垂直關系．.專題：計算題．分析：由兩直線的方程分別找出兩直線的斜率，根據兩直線垂直時斜率的乘積為?1，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．解答：解：由直線x+ay+2=0，得到斜率為?，由直線2x+3y+1=0，得到斜率為?，因為兩直線互相垂直，所以?×（?）=?1，解得：a=?．故選A點評：此題考查了會根據直線的一般式方程找出直線的斜率，以及兩直線垂直時斜率滿足的關系．學生在計算時一定要細心，不要出現符號上的錯誤．　4．（5分）已知等比數列{an}的公比為正數，且a3?a7=4，a2=2，則a1=（　　）　A．1B．C．2D．考點：等比數列的通項公式．.專題：計算題；等差數列與等比數列．分析：由已知及等比數列的性質可得，a3?a7=a4?a6，從而可求q＞0，然后結合a2=2，可求a1，解答：解：∵a3?a7=4，由等比數列的性質可得，a3?a7=a4?a6∴a6=4a4∴=4∵an＞0∴q＞0∴q=2∵a2=2，則a1=1故選A點評：本題主要考查了等比數列的通項公式及等比數列的性質的簡單應用，屬于基礎試題　5．（5分）當a為任意實數時，直線（a?1）x?y+a+1=0恒過定點C，則以C為圓心，半徑為的圓的方程為（　�。�　A．x2+y2?2x+4y=0B．x2+y2+2x+4y=0C．x2+y2+2x?4y=0D．x2+y2?2x?4y=0考點：圓的一般方程；恒過定點的直線．.分析：先求直線過的定點，然后寫出方程．解答：解：由（a?1）x?y+a+1=0得（x+1）a?（x+y?1）=0，∴該直線恒過點（?1，2），∴所求圓的方程為（x+1）2+（y?2）2=5．即x2+y2+2x?4y=0．故選C點評：本題考查恒過定點的直線，圓的一般方程，是基礎題．　6．（5分）已知數列{an}滿足，若a1=，則a6的值為（　　）　A．B．C．D．考點：數列的應用；等比數列的通項公式．.專題：等差數列與等比數列．分析：利用數列遞推式，代入計算，即可得到結論．解答：解：∵數列{an}滿足，a1=，∴a2==，a3==，a4==∴a5=a2=，a6=a3=故選C．點評：本題考查數列遞推式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．　7．（5分）不等式x2+2x＜對任意a，b∈（0，+∞）恒成立，則實數x的取值范圍是（　　）　A．（?2，0）B．（?∞，?2）∪（0，+∞）C．（?4，2）D．（?∞，?4）∪（2，+∞）考點：一元二次不等式的解法．.專題：計算題；不等式的解法及應用．分析：由已知，只需x2+2x小于的最小值即可，可利用基本不等式求出最小值．解答：解：對任意a，b∈（0，+∞），，所以只需x2+2x＜8即（x?2）（x+4）＜0，解得x∈（?4，2）故選C點評：本題考查不等式恒成立問題，往往轉化為函數最值問題．　8．（5分）已知圓C：x2+y2?6x?8y=0，若過圓內一點（3，5）的最長弦為AC，最短弦為BD；則四邊形ABCD的面積為（　�。�　A．20B．15C．10D．考點：直線與圓相交的性質．.專題：計算題．分析：將圓C方程化為標準方程，找出圓心C坐標與半徑r，過點（3，5）最長的弦即為過此點的直徑，最短的弦即為與此直徑垂直的弦，利用垂徑定理及勾股定理求出BD的長，利用對角線垂直的四邊形面積等于對角線乘積的一半即可求出四邊形ABCD的面積．解答：解：將圓C方程化為標準方程得：（x?3）2+（y?4）2=25，∴圓心C（3，4），半徑r=5，∴過圓內一點（3，5）的最長弦為AC=10，且直線AC的斜率不存在，∴直線BD的斜率為0，即直線BD解析式為y=5，∴圓心C到直線BD的距離d=1，∴最短弦為BD=2=4，則四邊形ABCD的面積S=AC?BD=20．故選A點評：此題考查了直線與圓的相交的性質，涉及的知識有：圓的標準方程，垂徑定理，勾股定理，以及四邊形的面積，找出最長的弦與最短的弦長是解本題的關鍵．　9．（5分）（2010?閔行區二模）已知△ABC中，，BC=2，則角A的取值范圍是（　�。�　A．B．C．D．考點：解三角形．.專題：計算題．分析：知道兩邊求角的范圍，余弦定理得到角和第三邊的關系，而第三邊根據三角形的構成條件是有范圍的，這樣轉化到角的范圍．解答：解：利用余弦定理得：，即，∴△=32cos2A?16≥0，∵A為銳角∴，故選D．點評：本題的考點是解三角形，主要考查利用余弦定理解答三角形有解問題，知道兩邊求角的范圍，余弦定理得到角和第三邊的關系，而第三邊根據三角形的構成條件是有范圍的，這樣轉化到角的范圍，有一定難度．　10．（5分）（2012?藍山縣模擬）已知實系數一元二次方程x2+（1+a）x+a+b+1=0的兩個實根為x1，x2，且 0＜x1＜1，x2＞1，則的取值范圍是（　�。�　A．B．C．D．考點：一元二次方程的根的分布與系數的關系．.專題：計算題．分析：由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x1＜1＜x2，結合對應二次函數性質得到 ，然后在平面直角坐標系中，做出滿足條件的可行域，分析 的幾何意義，然后數形結合即可得到結論．解答：解：由程x2+（1+a）x+1+a+b=0的二次項系數為1＞0，故函數f（x）=x2+（1+a）x+1+a+b圖象開口方向朝上又∵方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x1＜1＜x2，則 即 即 其對應的平面區域如下圖陰影示：∵表示陰影區域上一點與原點邊線的斜率由圖可知 ∈故選D．點評：本題考查的知識點是一元二次方程的根的分布與系數的關系，三個二次之間的關系，線性規劃，其中由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x1＜1＜x2，結合二次函數性質得到 是解答本題的關鍵．　二．填空題：本大題共5個小題，每小題5分，共25分，請吧答案填在答題卡上．11．（5分）已知，則sin2x的值為　�。�考點：兩角和與差的正弦函數；二倍角的正弦．.專題：三角函數的求值．分析：由兩角差的正弦公式將展開，再兩邊平方后利用平方關系化簡，根據倍角的正弦公式化簡求值．解答：解：由得，，兩邊平方得，，解得sin2x=，故答案為：．點評：本題考查了兩角差的正弦公式，倍角的正弦公式和平方關系應用，關鍵是熟練掌握公式并會運用．　12．（5分）如圖，A，B兩點在河的對岸，測量者在A的同側選定一點C，測出A，C之間的距離是100米，∠BAC=105°，∠ACB=45°，則A、B兩點之間為　100　米．考點：解三角形的實際應用．.專題：計算題；解三角形．分析：在△ABC中，利用正弦定理，即可得到結論．解答：解：∵∠BAC=105°，∠ACB=45°，∴∠ABC=30°∵AC=100米∴∴AB=100米故答案為：100點評：本題考查正弦定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．　13．（5分）若曲線y=1+，x∈[?2，2]與直線y=k（x?2）+4有兩個不同的公共點，則實數k的取值范圍是�。�，]　．考點：函數的零點．.專題：直線與圓．分析：先將曲線進行化簡得到一個圓心是（0，1）的上半圓，直線y=k（x?2）+4表示過定點（2，4）的直線，利用直線與圓的位置關系可以求實數k的取值范圍．解答：解：因為y=1+，所以x2+（y?1）2=4，此時表示為圓心M（0，1），半徑r=2的圓．因為x∈[?2，2]，y=1+≥1，所以表示為圓的上部分．直線y=k（x?2）+4表示過定點P（2，4）的直線，當直線與圓相切時，有圓心到直線kx?y+4?2k=0的距離d=，解得．當直線經過點B（?2，1）時，直線PB的斜率為．所以要使直線與曲線有兩個不同的公共點，則必有＜k≤．即實數k的取值范圍是（，]．故答案為：（，]．點評：本題主要考查了直線與圓的位置關系的應用以及直線的斜率和距離公式．利用數形結合思想是解決本題的關鍵．同時要注意曲線化簡之后是個半圓，而不是整圓，這點要注意，防止出錯．　14．（5分）數列{an}滿足a1=1，且對任意的正整數m，n都有am+n=am+an+mn，則=　�。�考點：數列遞推式；數列的求和．.專題：等差數列與等比數列．分析：先令n=1找遞推關系并求通項公式，再利用通項的特征求和，即可得到結論．解答：解：令n=1，得an+1=a1+an+n=1+an+n，∴an+1?an=n+1用疊加法：an=a1+（a2?a1）+…+（an?an?1）=1+2+…+n=所以==2（）所以==2×=故答案為：點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項與求和，考查裂項法的運用，屬于中檔題．　15．（5分）【解析版】四川省內江市2012-2013學年高一下學期期末考試數學理試題
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