北京市西城區（北區）2012－2013學年下學期高一期末考試數學試卷試卷滿分：150分 考試時間：120分鐘一、本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1. 在數列中，，且，則等于（ ）（A）8 （B）6 （C）9 （D）72. 將一根長為3m的繩子在任意位置剪斷，則剪得兩段的長都不小于1m的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）3. 在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（ ）（A）銳角三角形 （B）直角三角形 （C）鈍角三角形 （D）不能確定4. 若，則下列不等式中成立的是（ ）（A） （B） （） （D）5. 若實數x，y滿足則的最小值是（ ）（A） （B）0 （C）1 （D）－16. 執行如圖所示的程序框圖，輸出s的值為（ ）（A）2（B）（C）3（D）7. 已知100件產品中有5件次品，從中任意取出3件產品，設A表示事件“3件產品全不是次品”，B表示事件“3件產品全是次品”，C表示事件“3件產品中至少有1件次品”，則下列結論正確的是（ ）（A）B與C互斥 （B）A與C互斥（C）任意兩個事件均互斥 （D）任意兩個事件均不互斥8. 口袋中裝有三個編號分別為1，2，3的小球，現從袋中隨機取球，每次取一個球，確定編號后放回，連續取球兩次。則“兩次取球中有3號球”的概率為（ ）（A） （B） （C） （D）9. 設O為坐標原點，點A（4，3），B是x正半軸上一點，則△OAB中的最大值為（ ）（A） （B） （C） （D）10. 對于項數為m的數列和，記bk為中的最小值。給出下列判斷：①若數列的前5項是5，5，3，3，1，則；②若數列是遞減數列，則數列也一定是遞減數列；③數列可能是先減后增數列；④若，C為常數，則。其中，正確判斷的序號是（ ）（A）①③ （B）②④ （C）②③ （D）②二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。11. 不等式的解集為________________。12. 在△ABC中，，則a=___________。13. 某校高一年級三個班共有學生120名，這三個班的男、女生人數如下表。已知在全年級學生中隨機抽取1人，抽到二班女生的概率是0.2。則x=_____；現用分層抽樣的方法在全年級抽取30名學生，則應在三班抽取的學生人數為____________。一班二班三班女生人數20xy男生人數2020z14. 甲、乙兩人各參加了5次測試，將他們在各次測試中的得分繪制成如圖所示的莖葉圖。已知甲、乙二人得分的平均數相等，則m=________；乙得分的方差等于____。15. 設是等差數列，Sn為其前n項的和。若，則_______；當Sn取得最小值時，n=__________。16. 當x∈[1，9]時，不等式恒成立，則k的取值范圍是_________。三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17. （本小題滿分13分）在等比數列中，。（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）設是等差數列，且b2 =a2，b4=a4。求數列的公差，并計算的值。18. （本小題滿分13分）某市某年一個月中30天對空氣質量指數的監測數據如下：61 76 70 56 81 91 55 91 75 8188 67 101 103 57 91 77 86 81 8382 82 64 79 86 85 75 71 49 45（Ⅰ）完成下面的頻率分布表；（Ⅱ）完成下面的頻率分布直方圖，并寫出頻率分布直方圖中a的值；（Ⅲ）在本月空氣質量指數大于等于91的這些天中隨機選取兩天，求這兩天中至少有一天空氣質量指數在區間[101，111）內的概率。分組頻數頻率[41，51）2[51，61）3[61，71）4[71，81）6[81，91）[91，101）[101，111）219. （本小題滿分13分）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，已知c=3，。（Ⅰ）若sinB=2sinA，求a，b的值；（Ⅱ）求a2+b2的最大值。20. （本小題滿分14分）已知函數。（Ⅰ）當a=1時，求在區間[－1，2]上的值域；（Ⅱ）若函數在區間上是減函數，求a的取值范圍；（Ⅲ）解關于x的不等式。21. （本小題滿分14分）設數列的前n項和為Sn，且。（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）設數列。（i）求數列的前n項和Tn；（ii）求bn的最大值。22. （本小題滿分13分）對于數列A：a1，a2，a3（ai∈N，i=1，2，3），定義“T變換”：T將數列A變換成數列B：b1，b2，b3，其中，且。這種“T變換”記作B=T（A），繼續對數列B進行“T變換”，得到數列C：cl，c2，c3，依此類推，當得到的數列各項均為0時變換結束。（Ⅰ）寫出數列A：2，6，4經過5次“T變換”后得到的數列；（Ⅱ）若a1，a2，a3不全相等，判斷數列A：a1，a2，a3經過不斷的“T變換”是否會結束，并說明理由；（Ⅲ）設數列A：400，2，403經過k次“T變換”得到的數列各項之和最小，求k的最小值。【試題答案】一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。1. D 2. B 3. C 4. C 5. A 6. D 7. B 8. A 9. B 10. B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分，11. 12. 13. 24 914. 6，8.4 15. －11，6 16. 注：一題兩空的試題，第一空2分，第二空3分：三、解答題：本大題共3小題，共36分，17. 解：（Ⅰ）設等比數列的公比為q，由已知， …………2分兩式相除，得q=2。 …………4分所以a1=2， …………6分所以數列的通項公式。 …………7分（Ⅱ）設等差數列的公差為d，則 ………………9分解得………………11分………………12分…………13分18. 解：（Ⅰ）如下圖所示。 ……………………4分（Ⅱ）如下圖所示�！�……………6分由己知，空氣質量指數在區間[71，81）的頻率為，所以a= 0.02�！�…8分分組頻數頻率………[81，91）10[91，101）3………（Ⅲ）設A表示事件“在本月空氣質量指數大于等于91的這些天中隨機選取兩天，這兩天中至少有一天空氣質量指數在區間[101，111）內”，由己知，質量指數在區間[91，101）內的有3天，記這三天分別為a，b，c，質量指數在區間[101，111）內的有2天，記這兩天分別為d，e，則選取的所有可能結果為：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）。基本事件數為10�！�……………10分事件“至少有一天空氣質量指數在區間[101，111）內”的可能結果為：（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）。基本事件數為7， ………………12分所以 ………………13分19. 解：（Ⅰ）因為sin B=2sinA，由正弦定理可得b=2a，………………3分由余弦定理c2= a2 +b2 －2abcosC， ………………5分得9=a2 +4a2 －2a2， ………………7分解得a2=3， ………………8分所以 ………………9分（Ⅱ）由余弦定理c2= a2 +b2 －2abcosC，得ab=a2+b2－9，………………10分又a2 +b2≥2ab， ………………11分所以a2+b2≤18，當且僅當a=b時，等號成立。 ………………12分所以a2+b2的最大值為18。 ………………13分20. 解：（Ⅰ）當a=l時，，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增所以，在區間上的最小值為…………2分又。所以在區間上的最大值為…………………3分在區間上的值域為…………………4分（Ⅱ）當a=0時，，在區間上是減函數，符合題意……5分當時，若函數在區間上是減函數，則，且， ……………………7分所以－1≤a－1。 ……………………10分當a>0時，，解得 ………………11分當a0時，不等式的解集為;當a=0時，不等式的解集為；當－1
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