2013-2014學年度下學期期中考試
高 一 年級 數學（理科）試題
考試時間： 120分鐘 試題分數：150分
一、（本題共12小題，每小題5分，共60分）
1．已知全集 ，集合 ，則 等于 （ ）
A. B. C. D.
2．已知 ，則 （ ）
A． B．—1C．1D．0
3．函數 的零點有（ ）
A． 個 B． 個 C． 個 D． 個
4. 已知兩條直線 和 互相平行，則 等于（ ）
A． 或- B． 或 C． 或 D． 或
5. 函數 ，任取一點 ，使 的概率( )
A. B. C. D.
6．函 數 （其中 ）的圖象如圖所示，為了得到 的圖像，則只要將 的圖像（ ）
A．向右平移 個 單位長度 B．向右平移 個單位長度
C．向左平移 個單位長度 D．向左平移 個單位長度:學§科
7．若函數 與 在區間[1,2]上都是減函數，則 的取值范圍是（ ）
A．（-1,0） B．（-1,0）∪（0,1] C．（0,1] D．（0,1）
8.函數f(x)＝sin2x＋2cosx在區間[－23π，θ]上的最大值為1，則θ的值是( )
A.0 B.π3 C.π2 D.－π2
9．已知直線 ,直線 ，則下列四個命題：① ；② ；③ ；④ .其中正確的是( ).
A、①② B、③④ C、①③ D、②④
10. 設向量 ， 滿足： ， ， ．以 ， ， 的模為邊長構成三角形，則它的邊與半徑為 的圓的公共點個數最多為u.c.o.m （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11. 定義在R上的偶函數 滿足 ，當 時， ，則 （ ）
A． B．
C． D．
12.圖1是某高校參加2010年上海世博會志愿者選拔的學生身高的條形統計圖，從左到右各表示學生人數依次記為A1、A2、…、A10（如A2表示身高（單位：cm）在[150，155 內的人數）.圖2是統計圖1中身高在一定范圍內學生人數的一個算法流程圖.現要統計身高在[160，180 內的學生人數，那么在流程圖中的判斷框內應填寫的條件是（ ）
A．i<6 B．i<7
C．i<8 D．i<9
二、題（每小題5分,共20分）
13. 函數 的最小值是 。
14. 在等邊三角形ABC中,點 在線段 上，滿足 ，若 ，則實數 的值是___________．
15.直線 被圓 截得弦長的最小值為 。
16．把邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折起，形成三 棱錐C－ABD，它的主視圖與俯視圖如右上圖所示，則二面角 C－AB－D的正切值為
三、解答題
17. (本小題滿分10分)
在平面直角坐標系xOy中，點A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；
(2)設實數t滿足( )? =0，求t的值。
18.（本小題滿分12分）
設平面向量 ＝ （ m , -1）, = ( 2 , n )，其中 m， n {-2,-1,1,2}．
（1）記“使得 // 成立的（ m，n ）”為事件A，求事件A發生的概率；
（2）記“使得 ⊥（ -2 ）成立的（ m，n ）”為事件B，求事件B發生的概率.
19.（本小題12分）
已知函數 的圖象在 軸上的截距為1，在相鄰兩最值點 ， 上 分別取得最大值和最小值．
⑴求 的解析式；
⑵若函數 滿足方程 求在 內的所有實數根之和。
20.（本小題滿分12分）
如圖，已知矩形 所在平面與矩形 所在平面垂直， ， =1， ， 是線段 的中點.
（1）求證： 平面 ；
（2）求多面體 的表面積；
（3）求多面體 的體積.
21．（本小題12分）
設 ，函數 的定義域為 且 ，
當 時有
（1）求 ；
（2）求 的值；
（3）求函數 的單調區間．
22．(本小題滿分12分)
在直角坐標系 中，以坐標原點 為圓心的圓與直線： 相切。
（1）求圓 的方程；
（2）若圓 上有兩點 關于直線 對稱，且 ,求直線MN的方程；
（3）圓 與x軸相交于A、B兩點，圓內的動點P使PA、PO、PB成等比數列，求 的取值范圍。
高一理科數學答案詳解
A卷CCAADA DDDBCC B卷CDABCA CDCBCC
-1， , ,
17.解：（1）方法一：由題設知 ，則
……2分
所以
故所求的兩條對角線的長分別為 、 ……5分
（2）由題設知： =(－2,－1)， 。……7分
由( )? =0，得： ，
從而 所以 ……10分
18．解：（1）有序數組（m,n）的所有可能結果為：（-2，-2），（-2，-1），（-2，1），（-2，2），（-1，-2），（-1，-1），（-1，1），（-1，2），(1,-2)，（1，-1），（1，1），（1，2）,(2,-2)，（2，-1），（2，1），（2，2）共有16種. ………2分
使得 // 成立的（ m，n ）,滿足：mn=-2
事件A有（-2，1），（-1，2）,（1，-2）,（2，-1）4種. ……………4分
故所求的概率為： ……………………6分
（2）使得 ⊥（ -2 ）成立的（ m，n ）滿足：
即： ………9分
事件B有：（1,1）一種 ……………………………10分
故所求的概率為： …………………………………12分
19. 解：（1）依題意，得：
， …………2分
最大值為2，最小值為－2，
…………4分
圖象經過 ， ，即
又 ， …………6分
（2）∵ 的周期 ，∴函數 在 上恰好是三個周期。函數 與 在在 內有6個交點�！�8分由于函數 的圖象具有對稱性，數形結合可知：方程 有6個實數根。且前兩個根關于直線 對稱，所以前兩根之和1。 …………10分
再由周期性可知：中間兩根之和為1+6=7，后兩根之和為1+12=13………11分
所以方程 在 內的所有實數根之和為1+7+13=21�！�12分
20.解：（1）連接 交 于點 ,連接 , …… 1分
在矩形 中， 為中點， , ……… 3 分
, ，
平面 . ………… 4分
（2）由題設和圖形易知:
CE⊥面ABCD ， …………… 5分
………… 6分
, …7分
. ……………8分
（3）過點 在面 內作 垂直于 點 ，則 面 ，
即 的大小為四棱錐 - 的高， = = ， ………10分
= . ……………………12分
21.解：（1）對f[(x+y)/2]=f(x)sinα+(1- sinα)f(y)，
令x=1，y=0，得f(1/2)=sinα；……2分
令x=1/2，y=0，得f(1/4)=sin²α；……4分
(2)令x=1，y=1/2，得f(3/4)=2 sinα-sin²α；
令x=3/4，y=1/4，得f(1/2)=3sin²α-2 sin³α；
兩個f(1/2)相等，得sinα=3sin²α-2 sin³α，結合a∈(0，π/2)可解得sinα=1/2。 ……8分
(3)
單調增區間為 ……12分
22.解：（1）依題設，圓 的半徑 等于原點 到直線 的距離，
即 ．
得圓 的方程為 ． ………………3分
（2）由題意，可設直線MN的方程為 。
則圓心 到直線MN的距離 。 ………………4分
由垂徑分弦定理得： ，即 。
所以直線MN的方程為： 或 。…………6分
（3）不妨設 ．由 得 ．
設 ，由 成等比數列，得
，即 ． …………8分
∴ =
由于點 在圓 內，故 由此得 ． …………10分
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