一、
1．若函數f(x)是奇函數，且有三個零點x1、x2、x3，則x1＋x2＋x3的值為(　　)
A．－1　　　　　　　　B．0
C．3D．不確定
[答案]　B
[解析]　因為f(x)是奇函數，其圖象關于原點對稱，它有三個零點，即f(x)的圖象與x軸有三個交點，故必有一個為原點另兩個橫坐標互為相反數．
∴x1＋x2＋x3＝0.
2．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)?f(b)<0，則f(x)＝0在[a，b]內(　　)
A．至少有一實數根B．至多有一實數根
C．沒有實數根D．有惟一實數根
[答案]　D
[解析]　∵f(x)為單調減函數，
x∈[a，b]且f(a)?f(b)<0，
∴f(x)在[a，b]內有惟一實根x＝0.
3．(09?天津理)設函數f(x)＝13x－lnx(x＞0)則y＝f(x)(　　)
A．在區間1e，1，(1，e)內均有零點
B．在區間1e，1，(1，e)內均無零點
C．在區間1e，1內有零點；在區間(1，e)內無零點
D．在區間1e，1內無零點，在區間(1，e)內有零點
[答案]　D
[解析]　∵f(x)＝13x－lnx(x＞0)，
∴f(e)＝13e－1＜0，
f(1)＝13＞0，f(1e)＝13e＋1＞0，
∴f(x)在(1，e)內有零點，在(1e，1)內無零點．故選D.
4．(2010?天津文，4)函數f(x)＝ex＋x－2的零點所在的一個區間是(　　)
A．(－2，－1)B．(－1,0)
C．(0,1)D．(1,2)
[答案]　C
[解析]　∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，
即f(0)f(1)<0，
∴由零點定理知，該函數零點在區間(0,1)內．
5．若方程x2－3x＋mx＋m＝0的兩根均在(0，＋∞)內，則m的取值范圍是(　　)
A．m≤1B．0C．m>1D．0[答案]　B
[解析]　設方程x2＋(m－3)x＋m＝0的兩根為x1，x2，則有Δ＝(m－3)2－4m≥0，且x1＋x2＝3－m>0，x1?x2＝m>0，解得06．函數f(x)＝(x－1)ln(x－2)x－3的零點有(　　)
A．0個B．1個
C．2個D．3個
[答案]　A
[解析]　令f(x)＝0得，(x－1)ln(x－2)x－3＝0，
∴x－1＝0或ln(x－2)＝0，∴x＝1或x＝3，
∵x＝1時，ln(x－2)無意義，
x＝3時，分母為零，
∴1和3都不是f(x)的零點，∴f(x)無零點，故選A.
7．函數y＝3x－1x2的一個零點是(　　)
A．－1B．1
C．(－1,0)D．(1,0)
[答案]　B
[點評]　要準確掌握概念，“零點”是一個數，不是一個點．
8．函數f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，則f(x)在(1,2)上零點的個數為(　　)
A．至多有一個B．有一個或兩個
C．有且僅有一個D．一個也沒有
[答案]　C
[解析]　若a＝0，則b≠0，此時f(x)＝bx＋c為單調函數，
∵f(1)>0，f(2)<0，∴f(x)在(1,2)上有且僅有一個零點；
若a≠0，則f(x)為開口向上或向下的拋物線，若在(1,2)上有兩個零點或無零點，則必有f(1)?f(2)>0，
∵f(1)>0，f(2)<0，∴在(1,2)上有且僅有一個零點，故選C.
9．(哈師大附中2009～2010高一期末)函數f(x)＝2x－log12x的零點所在的區間為(　　)
A.0，14B.14，12
C.12，1D．(1,2)
[答案]　B
[解析]　∵f14＝214－log1214＝42－2<0，f12＝2－1>0，f(x)在x>0時連續，∴選B.
10．根據表格中的數據，可以判定方程ex－x－2＝0的一個根所在的區間為(　　)
x－10123
ex0.3712.727.3920.09
A.(－1,0)B．(0,1)
C．(1,2)D．(2,3)
[答案]　C
[解析]　令f(x)＝ex－x－2，則f(1)?f(2)＝(e－3)(e2－4)<0，故選C.
二、題
11．方程2x＝x3精確到0.1的一個近似解是________．
[答案]　1.4
12．方程ex－x－2＝0在實數范圍內的解有________個．
[答案]　2
三、解答題
13．借助計算器或計算機，用二分法求方程2x－x2＝0在區間(－1,0)內的實數解(精確到0.01)．
[解析]　令f(x)＝2x－x2，∵f(－1)＝2－1－(－1)2＝－12<0，f(0)＝1>0，
說明方程f(x)＝0在區間(－1,0)內有一個零點．
取區間(－1,0)的中點x1＝－0.5，用計算器可算得f(－0.5)≈0.46>0.因為f(－1)?f(－0.5)<0，所以x0∈(－1，－0.5)．
再取(－1，－0.5)的中點x2＝－0.75，用計算器可算得f(－0.75)≈－0.03>0.因為f(－1)?f(－0.75)<0，所以x0∈(－1，－0.75)．
同理，可得x0∈(－0.875，－0.75)，x0∈(－0.8125，－0.75)，x0∈(－0.78125，－0.75)，x0∈(－0.78125，－0.765625)，x0∈(－0.7734375，－0.765625)．
由于(－0.765625)－(0.7734375)<0.01，此時區間(－0.7734375，－0.765625)的兩個端點精確到0.01的近似值都是－0.77，所以方程2x－x2＝0精確到0.01的近似解約為－0.77.
14．證明方程(x－2)(x－5)＝1有兩個相異實根，且一個大于5，一個小于2.
[解析]　令f(x)＝(x－2)(x－5)－1
∵f(2)＝f(5)＝－1＜0，且f(0)＝9＞0.
f(6)＝3＞0.
∴f(x)在(0,2)和(5,6)內都有零點，又f(x)為二次函數，故f(x)有兩個相異實根，且一個大于5、一個小于2.
15．求函數y＝x3－2x2－x＋2的零點，并畫出它的簡圖．
[解析]　因為x3－2x2－x＋2＝x2(x－2)－(x－2)
＝(x－2)(x2－1)＝(x－2)(x－1)(x＋1)，
所以函數的零點為－1,1,2.
3個零點把x軸分成4個區間：
(－∞，－1]，[－1,1]，[1,2]，[2，＋∞]．
在這4個區間內，取x的一些值(包括零點)，列出這個函數的對應值(取精確到0.01的近似值)表：
x…－1.5－1－0.500.511.522.5…
y…－4.3801.8821.130－0.6302.63…
　在直角坐標系內描點連線，這個函數的圖象如圖所示．
16．借助計算器或計算機用二分法求方程(x＋1)(x－2)(x－3)＝1在區間(－1,0)內的近似解．(精確到0.1)
[解析]　原方程為x3－4x2＋x＋5＝0，令f(x)＝x3－4x2＋x＋5.∵f(－1)＝－1，f(0)＝5，f(－1)?f(0)＜0，∴函數f(x)在(－1,0)內有零點x0.
取(－1,0)作為計算的初始區間用二分法逐步計算，列表如下
端點或中點橫坐標端點或中點的函數值定區間
a0＝－1，b0＝0f(－1)＝－1，f(0)＝5[－1,0]
x0＝－1＋02＝－0.5
f(x0)＝3.375＞0[－1，－0.5]
x1＝－1＋(－0.5)2＝－0.75f(x1)≈1.578＞0[－1，－0.75]
x2＝－1＋(－0.75)2＝－0.875f(x2)≈0.393＞0[－1，－0.875]
x3＝－1－0.8752＝－0.9375f(x3)≈－0.277＜0[－0.9375，－0.875]
　∵－0.875－(－0.9375)＝0.0625＜0.1，
∴原方程在(－1,0)內精確到0.1的近似解為－0.9.
17．若函數f(x)＝log3(ax2－x＋a)有零點，求a的取值范圍．
[解析]　∵f(x)＝log3(ax2－x＋a)有零點，
∴log3(ax2－x＋a)＝0有解．∴ax2－x＋a＝1有解．
當a＝0時，x＝－1.
當a≠0時，若ax2－x＋a－1＝0有解，
則Δ＝1－4a(a－1)≥0，即4a2－4a－1≤0，
解得1－22≤a≤1＋22且a≠0.
綜上所述，1－22≤a≤1＋22.
18．判斷方程x3－x－1＝0在區間[1,1.5]內有無實數解；如果有，求出一個近似解(精確到0.1)．
[解析]　設函數f(x)＝x3－x－1，因為f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，且函數f(x)＝x3－x－1的圖象是連續的曲線，所以方程x3－x－1＝0在區間[1,1.5]內有實數解．
取區間(1,1.5)的中點x1＝1.25，用計算器可算得f(1.25)＝－0.30<0.因為f(1.25)?f(1.5)<0，所以x0∈(1.25,1.5)．
再取(1.25,1.5)的中點x2＝1.375，用計算器可算得f(1.375)≈0.22>0.因為f(1.25)?f(1.375)<0，所以x0∈(1.25，1.375)．
同理，可得x0∈(1.3125,1.375)，x0∈(1.3125，1.34375)．


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