最新高一數學暑假作業練習

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三、解答題(本大題共4題，滿分48分8’+12’ +12’+16’=48’)

17. 已知 ，求 的最大值

【解】由已知條件有 且 (結合 )

得 ，而 = =

令 則原式=

根據二次函數配方得：當 即 時，原式取得最大值 。

18. 已知函數f(x)= sin 2x-cos2x- ，x∈R.

(1)求函數f(x)的最小值和最小正周期;

(2)設△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且c= ，f(C)=0，若sin B=2sin A，求a，b的值.

【答案】(1)-2 π (2)a=1且b=2

(2)f(C)=sin(2C- )-1=0，則sin(2C- )=1.

∵0

∴- <2C- < π，因此2C- = ，∴C= .

∵sin B=2sin A及正弦定理，得b=2a.①

由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos ，且c= ，

∴a2+b2-ab=3，②

由①②聯立，得a=1且b=2.

19. 在等差數列 中， ， .令 ，數列 的前 項和為 .

(1)求數列 的通項公式;

(2)求數列 的前 項和 ;

(3)是否存在正整數 ， ( ),使得 ， ， 成等比數列?若存在，求出所有的 ， 的值;若不存在，請說明理由.

試題解析：(1)設數列 的公差為 ，由 得

解得 ，

∴

(2)∵

∴

(3)由(1)知， ， ，

假設存在正整數 、 ，使得 、 、 成等比數列，

則 ， 即

經化簡，得

∴

∴ (*)

當 時，(*)式可化為 ，所以

當 時，

又∵ ，∴(*)式可化為 ，所以此時 無正整數解.

綜上可知，存在滿足條件的正整數 、 ，此時 ， .

20. 已知函數 ，數列 滿足對于一切 有 ，

且 .數列 滿足 ，

設 .

(1)求證：數列 為等比數列，并指出公比;

(2)若 ，求數列 的通項公式;

(3)若 ( 為常數)，求數列 從第幾項起，后面的項都滿足 .

解(1)

故數列 為等比數列，公比為3.

(Ⅱ)

所以數列 是以 為首項,公差為 loga3的等差數列.

又

又 =1+3 ,且

(Ⅲ)

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