傳說在很久很久以前，黃河里躍起一匹龍馬，馬背上馱著一幅圖；洛水里也浮出一只神龜，龜背上也馱著一幅圖。這兩幅圖上都用圓點來表示一組數字，馬背上的那幅稱為“河圖”，龜背上的那幅稱為“洛書”。（參見圖1-9-1）再后來，經過人們研究，發現圖中右邊的那幅“洛書”，其實是一幅縱橫圖，即用1到9這9個數字組成一幅數字圖，使它橫的每行相加、豎的每列相加以及對角線相加，其和都等于15（參見圖1-9-2）。我們知道，縱橫圖就是今天所說的“幻方”，一般地，是指把從1到十的自然數排成縱橫各有m個數，并且使同行、同列及同一對角線上的n個數的和都相等的一種方陣，其中涉及的是組合數學的問題。而前面所說的“洛書”，就是我國最早的一個三階幻方。
圖1-9-1 河圖洛書
圖1-9-2 縱橫圖
長期以來，縱橫圖一直被看作是一種數字游戲。一直到南宋時期的數學家楊輝，才真正把它作為一個數學問題而加以深入的研究。楊輝在他的《續古摘奇算法》一書中，不僅搜集到了大量的各種類型的縱橫圖，而且對其中的部分縱橫圖還給出了如何構造的規則和方法，從而開創了這一組合數學研究的新領域。
楊輝給出的方形縱橫圖共有十三幅，它們是：洛書數（三階幻方）一幅，四四圖（四階幻方）兩幅，五五圖（五階幻方）兩幅，六六圖（六階幻方）兩幅，七七圖（七階幻方）兩幅，六十四圖（八階幻方）兩幅，九九圖（九階幻方）一幅，百子圖（十階幻方）一幅（參見圖1-9-3）。其中還給出了“洛書數”和“四四陰圖”的構造方法。如“洛書數”的構造方法為：“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出”。(參見圖1-9-4)
圖 1-9-3 百子圖
圖1-9-4 洛書圖
除了以上這些方形的縱橫圖外，楊輝書中還有一些其他形狀的數圖，如“聚五圖”（見圖1-9-5）／聚六圖”／聚八圖”／攢九圖”／八陣圖”／連環圖”等等。這些都屬于縱橫圖的衍化發展，它們精妙絕倫，耐人尋味，給后世數學家以極大的啟發。以后明代數學家程大位、王文素，清代數學家方中通、張潮、保其壽等在這個基礎上進一步發展，又創作了“瓜瓞圖”。“立方圖”（見圖1-9-6）�！皽喨菆D”／六道渾天圖”等等，使中國古代的組合數學研究具有了豐富的內容和獨特的風格。
圖1-9-5 聚五圖
圖1-9-6 立方圖
縱橫圖在古代主要屬于數學游戲，但現在已經在許多實際問題上得到了應用。目前，國際上有不少科學家正在絞盡腦汁研究它的規律。有的科學家甚至設想，如果我們的宇宙飛船飛到了一個有高級智慧生物存在的星球上，用縱橫圖那樣的數學語言，也許可以作為媒介，溝通相互之間的思想呢。
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