三、解答題

12.某民營企業生產A、B兩種產品，根據市場調查與預測，A產品的利潤與投資成正比，其關系如圖甲，B產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖乙(注：利潤與投資單位：萬元).

⑴分別將A、B兩種產品的利潤表示為投資的函數關系式，并寫出它們的函數關系式；

⑵該企業已籌集到10萬元資金，并全部投入A、B兩種產品的生產，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業獲得最大利潤，其最大利潤約為多少萬元(精確到1萬元)？

考查目的：考查函數建模能力、待定系數法求函數解析式、換元法求二次函數最值，以及轉化化歸思想和數形結合思想等.

答案：⑴，；⑵當A產品投入3.75萬元，B產品投入6.25萬元時，企業獲得最大利潤約4萬元.

解析：⑴設A產品投資萬元時，利潤為萬元； B產品投資萬元時，利潤為萬元，由題意設().由圖象可知，∴.又∵，∴，∴，.

⑵設投入A產品萬元，則投入B產品為萬元，這時企業獲得的利潤為萬元，依題意得

.

令，∴，

∴當時，，此時.

答：當A產品投入3.75萬元，B產品投入6.25萬元時，企業獲得最大利潤約4萬元.

 

 

13.(2011湖北理)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車流速度(單位：千米/小時)是車流密度(單位：輛/千米)的函數.當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時.研究表明：當時，車流速度是車流密度的一次函數.

⑴當時，求函數的表達式；

⑵當車流密度為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時)

可以達到最大，并求出最大值.(精確到1輛/小時)

考查目的：考查分段函數、待定系數法和函數最值的求法等基礎知識，以及運用數學知識解決實際問題的能力.

答案：⑴⑵當時，在區間[0，200]上取得最大值.

解析：⑴由題意得，當時，；當時，設().由已知條件得解得∴函數的表達式為⑵由⑴得

當時，為增函數，∴當時，其最大值為60×20=1200；

當時，，

當且僅當時，在區間[20，200]上取得最大值.

綜合以上得，當時，在區間[0，200]上取得最大值.

即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時.

 

 

14.某跨國飲料公司在對全世界所有人均GDP(即人均純收入)在0.5千美元～8千美元的地區銷售該公司A飲料情況的調查中發現：人均GDP處在中等的地區對該飲料的銷售量最多，然后向兩邊遞減.

⑴下列幾個模擬函數中的哪一個模擬函數(表示人均GDP，單位：千美元，表示年人均A飲料的銷量，單位：升)來描述人均A飲料銷量與地區的人均GDP關系更合適？說明理由.

①，②，③，④；

⑵若人均GDP為1千美元時，年人均A飲料的銷量為2升，人均GDP為4千美元時，年人均A飲料的銷量為5升，把⑴中你所選的模擬函數求出來，并求出各個地區中，年人均A飲料的銷量最多是多少？

考查目的：考查幾類增長率函數模型與實際問題的擬合，數學建模能力，綜合所學知識解決實際問題的能力.

答案：⑴；⑵年人均A飲料銷量最多是升.

解析：⑴用函數①來描述人均A飲料銷量與地區的人均GDP的關系更合適.因為函數，，在其定義域內都是單調函數，不具備先遞增后遞減的特征.

⑵∵函數圖象經過點(1，2)和(4，5)，∴，解得，∴，.

∵，∴在各地區中，當時，年人均A飲料銷量最多是升.

 

 

15.(2007廣東)已知是實數，函數，如果函數在區間上有零點，求實數的取值范圍.

考查目的：考查函數零點的定義、二次函數與二次方程之間的相互轉化和數形結合思想.

答案：或.

解析：函數在區間上有零點，即方程在上有解.若時，則，不符合題意，∴，∴方程在上有解等價于

①或②.解①得.解②得或.

綜合①②得或，即實數的取值范圍是或.

本文來自：逍遙右腦記憶 /gaozhong/195233.html

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