《普通高中數學課程標準（實驗）》（以下簡稱《標準》）必修課程·數學2包括立體幾何初步、平面解析幾何初步兩部分。從標題上看，是傳統內容。但從數學2的前言、內容與要求、說明與建議三部分看，數學2的教學內容、處理方式、教學要求都發生了很大的變化，特別是立體幾何初步的內容，解析幾何的內容更多強調解析幾何的思想方法。

　　從內容與要求上來看，本模塊相對獨立，而且起點較低，完全可以在義務教育階段的基礎上進行學習。

　　在《普通高中課程標準實驗教科書·數學2(必修)》A版編寫中，我們對如何更好地理解《標準》，如何更好地貫徹《標準》提出的內容和要求、說明與建議，進行了積極的思考。下面做一簡單的介紹。

　　一、對數學2主要內容的思考

　　數學是研究空間形式和數量關系的科學。本模塊的內容主要屬于“空間形式”范疇，是幾何學的研究對象。幾何學是研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系的數學學科。

　　形狀  空間幾何體的結構特征、三視圖、直觀圖都是從形的角度研究現實世界中的物體。柱、錐、臺、球及其簡單幾何體的結構特征都是運用實物模型、計算機軟件從形的角度，由大量的物體抽象出來的，是現實世界物體的形狀模型。認識柱、錐、臺、球的結構特征后，我們可以運用這些模型描述現實生活中簡單物體的結構。這一過程反映了從幾何角度進行數學建模的過程，即從實物到模型，再由模型到實物。對有關形狀內容的安排，是從對空間幾何體的整體觀察入手，通過直觀感知、操作確認，使學生對圖形有個整體認識，培養其空間觀念。在對空間幾何體有整體認識的基礎上，研究構成空間幾何體的點、直線、平面等要素，按照整體到局部，具體到抽象的原則。

　　大小  幾何體在空間都會占有空間的一部分。它的大小在一維空間中表現為長度，在二維空間中表現為面積，在三維空間中表現為體積。本模塊研究幾何體的大小，主要是根據公式，計算球、棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、棱臺、圓臺的表面積和體積。

　　位置關系  在立體幾何初步的內容中，位置關系主要包括直線與直線的位置關系、直線與平面的位置關系、平面與平面的位置關系。對于上述位置關系，要充分借助長方體這個模型，由長方體這個直觀模型認識立體幾何中上述三方面的位置關系。在位置關系中平行、垂直是研究的重點，包括直線與平面平行、平面與平面平行；直線與平面垂直、平面與平面垂直。建立直角坐標系后，平面中的點可以用有序實數對（x，y）表示，空間中的點可以用有序實數組（x，y，z）表示。這樣，平面或空間中任意兩點的距離無需通過測量，由這兩點的坐標就可以得到。把直線、圓放入平面直角坐標系中，直線、圓可以得到量化，分別用二元一次方程和二元二次方程表示。這樣直線與直線的平行、垂直以及相交等位置關系，就可以轉化為數量之間的關系。用直線的方程研究兩條直線之間的位置關系，包括平行、垂直、交點坐標以及點到直線的距離、兩條平行線間的距離等等；同樣，可以運用直線和圓的方程，研究直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系等等。

　　從人類認識空間形式和數量關系的角度看，對空間形式的認識要先于數量關系，空間形式直觀、具體，是視覺思維；數量關系理性、抽象，是精確思維。通過數量關系可以深化對空間形式的認識，空間形式可以對數量關系以形象支持，兩者相輔相成。

　　二、對認識和探索幾何圖形及其性質的主要方法的思考

　　《標準》中明確提出，認識和探索幾何圖形及其性質的主要方法是：直觀感知、操作確認、思辯論證、度量計算，這是非常經典的概括。實際上，這四種方式是一個有機的整體，循序漸進，不同的知識內容要求的方式和方法不盡相同。

　　本模塊的內容中“空間幾何體”主要是通過直觀感知、操作確認的方式讓學生認識人類生存的現實空間，通過空間圖形，培養和發展學生的空間想象能力。在“點、直線、平面之間的位置關系”中，借助長方體模型，通過直觀感知、操作確認先認識它們之間的位置關系，歸納關于平面、平行的一些公理以及直線與平面平行、平面與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理，進而對直線與平面平行、平面與平面平行以及直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質定理進行思辯論證，并且運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題，培養學生的推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力。

　　解析幾何初步的內容中，主要是培養學生用代數方法處理幾何問題的思想，使用度量計算的方法。這部分的教學，通過直角坐標系這個橋梁，首先將幾何問題，比如點、直線、圓以及直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系，直線與直線的交點坐標、直線與圓的坐標等代數化，用代數語言描述上述幾何要素及其關系，把直線與在直線、直線與圓的位置關系轉化為數量之間的關系；處理數量關系；分析數量關系的幾何含義，最終確定直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系。幫助學生不斷地體會“數形結合”的思想方法。

　　我們經常說，行萬里路，讀萬卷書。這說明認識世界的兩種方式：感性認識和理性認識。具體到數學學科中，觀察和推理是學習數學的兩種手段。由觀察（實踐）歸納出一些事實（如公理），在此基礎上，從這些事實出發，運用邏輯推理的方法，推導、證明一些新的事實。在立體幾何初步的內容中，我們采用了觀察和推理兩種方式。通過直觀感知、操作確認、思辯論證，認識和把握點、直線、平面之間的位置關系。而當把直線和圓放到直角坐標系中后，它們可以用方程表示，通過代數運算，由運算結果判斷直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系。

　　三、對立體幾何初步體系結構的思考

　　與以往立體幾何的結構體系相比，本模塊立體幾何的體系結構有重大改革。以往立體幾何內容，常從研究構成空間幾何體的基本要素：點、直線和平面開始，講述平面及其基本性質，點、直線、平面之間位置關系和有關公理、定理，再研究由它們組成的幾何體，包括棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、臺、球的結構特征、體積、表面積等等，基本上按照從局部到整體的原則�，F在，先從對空間幾何體的整體感受入手，再研究組成空間幾何體的點、直線和平面。

　　這種安排遵循人類認識世界的過程，也符合學生的認知特點。它有助于發展學生的空間觀念、培養學生的空間想象能力、幾何直觀能力，適當減輕幾何論證的難度，降低立體幾何學習入門的門檻，提高學生學習立體幾何的興趣。

　　整體和局部是一個有機的整體。沒有對整體的把握，也無從認識局部；同樣，如果沒有對局部更細致的認識，我們也無法更好地把握整體。因此，在學習完“點、直線、平面之間的位置關系”后，可引導學生從點、直線、平面的角度重新認識空間幾何體，從本質上把握空間幾何體的結構特征，對空間幾何體的結構特征有更全面的認識。

　　四、對幾何直觀以及幾何推理的思考

　　立體幾何學習的知識內容與學生的聯系非常密切，空間幾何體是很多物體的幾何模型，這些模型可以描述現實世界中的許多物體。它們直觀、具體，對培養學生的幾何直觀能力有很大的幫助。空間幾何體，特別是長方體，其中的棱與棱、棱與面、面與面之間的位置關系，是研究直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關系的直觀載體。學習時，一方面要引導學生從生活實際出發，把學習的知識與周圍的實物聯系起來，另一方面，要引導學生經歷從現實的生活抽象空間圖形的過程，注重探索空間圖形的位置關系，歸納、概括它們的判定定理和性質定理。比如，在有關直線與平面、平面與平面平行與垂直判定定理的教學中，要注重引導學生通過直觀感知、操作確認，歸納出直線與平面、平面與平面平行與垂直的判定定理；在直線與平面、平面與平面平行與垂直的性質定理的教學中，同樣不能忽視學生從實際問題出發，進行探究的過程。要引導學生借助圖形直觀，通過歸納、類比等合情推理以及演繹推理，探索直線與平面、平面與平面平行與垂直等性質定理及其證明。在此基礎上，進一步運用已經能夠獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題。

　　立體幾何在構建直觀、形象的數學模型方面有其獨特作用。圖形的直觀，不僅為學生感受、理解抽象的概念提供有力的支撐，而且有助于培養學生合情推理和演繹推理的能力。

　　幾何的現實性與論理性是幾何的兩個方面。歐幾里得公理體系把幾何與邏輯結合起來，幾何就與演繹推理結下了不解之緣，很久以來幾何學就成為訓練邏輯推理的素材，用主觀的東西去理解客觀世界，把握客觀世界，以期對客觀世界有更理性的認識。從幾何推理的角度來看，既有合情推理，又有演繹推理，而且從數學自身發展的過程來看，即使演繹推理也并非幾何所獨有，它廣泛存在于數學的各個分支中。近幾十年的國際數學教育改革對幾何推理的要求發生了一些變化，適當弱化演繹推理，更多地強調從具體情境或前提出發，進行合情推理；從單純強調幾何的邏輯推理，轉向更全面地體現幾何的教育價值，特別是幾何在發展學生空間觀念，以及觀察、操作、試驗、探索、合情推理等“過程性”方面的教育價值。本模塊立體幾何初步特別注意，使學生經歷從特殊到一般，從具體到抽象的過程，逐步認識直線與平面、平面與平面的位置關系，在推理過程中滲透公理化思想，養成言必有據的理性思維精神。

　　五、對解析幾何基本思想方法的思考

　　解析幾何的基本思想是“坐標法”。當我們用方程表示直線和圓，運用方程研究直線與直線、圓與圓的位置關系，研究兩條直線的交點、點到直線的距離、兩條平行直線之間的距離等問題時，都需要把幾何問題代數化，先用方程表示直線和圓，然后再通過代數運算解決有關問題。
我們在教科書編寫時，結合大量的例題，突出用坐標方法解決幾何問題的“三步曲”：

　　第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數問題；
　　第二步：通過代數運算，解決代數問題；
　　第三步：把代數運算結果“翻譯”成幾何結論。

　　解析幾何的本質是用代數方法研究圖形的幾何性質，它溝通了代數與幾何之間的聯系，體現了數形結合的重要數學思想。對于幾何中的直線，我們既從一次函數的角度研究它，又從方程的角度研究它，用數及其運算作為工具，函數與方程對直線進行了定量化描述，使對直線的研究由定性進入到定量。平面直角坐標系成為溝通平面幾何、函數、解析幾何的紐帶，對同一個問題可以從不同的角度去認識。

　　在此需要特別說明的是，函數與曲線以及曲線與方程的關系。對一個圓，它是曲線，我們即可以從函數（分段函數）的角度研究它，也可以從方程的角度研究它。但是兩者之間是有區別的，從函數的角度看，函數體現更多的是一種數量關系，曲線只不過是它的一個直觀支持；從方程的角度看，它是從曲線的幾何特征出發，確定它的代數關系（即方程），用方程研究曲線，即解析幾何的思想方法。它們雖然都體現了數形結合，但是數形結合的不同側面。

　　六、對數學2教學要求的思考

　　與以往的立體幾何教學要求相比，本模塊在幾何推理證明方面的教學要求大大降低了，削弱了以演繹推理為主要形式的定理證明，減少了定理的數量，刪去了大量的幾何證明題，淡化了幾何證明的技巧。對于直線與平面、平面與平面的平行和垂直的判定定理只要求通過直觀感知、操作確認的方式歸納得出，不進行推理證明。在削弱證明的同時，加強了空間觀念的培養。重視對空間圖形的整體認識和把握，從看實物到想圖形、再從三視圖想象空間圖形；然后從空間圖形的整體，到直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，強調發展學生的空間想象能力，以及聯系實際運用幾何知識，觀察和解決現實世界中有關圖形的問題。

　　在解析幾何初步的內容中，注意結合具體的圖形：直線和圓，引導學生探索在平面上確定這些圖形的幾何要素，推導出它們的代數方程，進而運用方程研究它們在平面上的位置以及相互關系，體會用代數方法解決幾何問題的思想。教學中要注意控制難度，避免進行綜合性強、難度較大的數學題的訓練，避免在解題技巧上做文章。比如，義務教育階段“空間與圖形”部分涉及的許多結論都可以用坐標法來加以證明，而義務教育階段的教學要求現已有所改變。因此，用坐標法證明平面幾何題要求不宜過高，適可而止。

　　七、對前后銜接的思考

　　由于2004年、2005年使用高中課標教材的絕大多數學生在義務教育階段沒有使用義務教育課程標準實驗教科書，造成部分知識內容不銜接。在數學2中，比較突出的是視圖和投影的內容。在編寫教科書時，應充分考慮到這種實際情況，在投影和視圖方面，應該適當補充《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》“空間與圖形”中的視圖與投影內容，它包括：（1）會畫基本幾何體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖），會判斷簡單物體的三視圖，能根據三視圖描述基本幾何體或實物原型；（2）了解直棱柱、圓錐的側面展開圖，能根據展開圖判斷和制作立體模型；（3）了解基本幾何體與其三視圖、展開圖（球除外）之間的關系，通過典型實例，知道這種關系在現實生活中的應用（如物體的包裝）；（4）通過實例了解中心投影和平行投影。

　　立體幾何初步的內容與選修2-1中“空間向量與立體幾何”內容的銜接，在立體幾何初步中不要求證明的三個判定定理在“空間向量與立體幾何” 中可用向量方法進行嚴格證明。解析幾何初步的內容也能自然延伸到選修1-1和選修2-1的“圓錐曲線與方程”中。

　　八、對運用現代信息技術的思考

　　在數學2中，現代信息技術的作用主要體現在以下幾個方面：

　�。�1）通過現代信息技術，如計算機、網絡等展示豐富的圖片，讓學生感受大量的實物，抽象出空間幾何體及其結構特征。
　�。�2）運用現代信息技術和有關軟件，制作一些課件，如動態演示空間點、直線、平面之間的位置關系，空間中的平行與垂直關系等等。
　�。�3）平面解析幾何是一門典型的數與形結合的學科。信息技術在加強幾何直觀，促使數與形結合方面有著特殊的作用。借助信息技術，可以形象、直觀地幫助學生認識所研究的曲線。在動態演示中，觀察曲線的性質，在直觀了解的基礎上，尋求形成這些性質的原因以及代數表示。通過方程研究曲線與曲線的關系時，運用現代信息技術，可以進一步驗證得到的結果，為抽象的認識增添形象的支持。例如，在探究點的軌跡時，可以借助信息技術，探究軌跡的形狀。

　　九、對數學2在必修課程中順序的思考

　　按照傳統的安排，立體幾何初步和解析幾何初步內容通常安排在三角函數和平面向量的后面，把平面向量和三角函數作為工具研究解析幾何。具體到必修課程的順序安排，就是先學數學4再學數學2。孰前孰后，孰優孰劣，應該說，兩種方式各有自己的特點。數學2在前，解析幾何初步中在引進斜率的概念時，就需要采取新的方式。雖然無法建立直線的傾斜角與斜率之間的數量關系，但是整個解析幾何初步的學習內容變得平易、淺顯。數學4在前，可用平面向量和三角函數作為工具，研究直線的傾斜角與斜率之間的關系，同時豐富直線和圓的內容。

　　以上是我們在編寫《普通高中課程標準實驗教科書?數學2(必修)》A版時的一些思考。誠懇地希望在教材實驗過程中，教師和學生給我們提出寶貴的意見和建議。

本文來自：逍遙右腦記憶 /gaozhong/203082.html

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