一. 教學內容：三角函數

【結構】

二、要求

（一）理解任意角的概念、弧度的意義、正確進行弧度與角度的換算；掌握任意角三角函數的定義、會利用單位圓中的三角函數線表示正弦、余弦、正切。

（二）掌握三角函數公式的運用（即同角三角函數基本關系、誘導公式、和差及倍角公式）

（三）能正確運用三角公式進行簡單三角函數式的化簡、求值和恒等式證明。

（四）會用單位圓中的三角函數線畫出正弦函數、正切函數的圖線、并在此基礎上由誘導公式畫出余弦函數的圖象、會用“五點法”畫出正弦函數、余弦函數及Y=Asin（ωx φ）的簡圖、理解A、ω、 < 1271864542"> 的意義。

三、熱點分析

1. 近幾年高考對三角變換的考查要求有所降低，而對本章的內容的考查有逐步加強的趨勢，主要表現在對三角函數的圖象與性質的考查上有所加強.

2. 對本章內容一般以選擇、填空題形式進行考查，且難度不大，從1993年至2002年考查的內容看，大致可分為四類問題（1）與三角函數單調性有關的問題；（2）與三角函數圖象有關的問題；（3）應用同角變換和誘導公式，求三角函數值及化簡和等式證明的問題；（4）與周期有關的問題

3. 基本的解題規律為：觀察差異（或角，或函數，或運算），尋找聯系（借助于熟知的公式、或技巧），分析綜合（由因導果或執果索因），實現轉化.解題規律：在三角函數求值問題中的解題思路，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解；在最值問題和周期問題中，解題思路是合理運用基本公式將表達式轉化為由一個三角函數表達的形式求解.

4. 立足課本、抓好基礎.從前面敘述可知，我們已經看到近幾年高考已逐步拋棄了對復雜三角變換和特殊技巧的考查，而重點轉移到對三角函數的圖象與性質的考查，對基礎知識和基本技能的考查上來，所以在中首先要打好基礎.在考查利用三角公式進行恒等變形的同時，也直接考查了三角函數的性質及圖象的變換，可見高考在降低對三角函數恒等變形的要求下，加強了對三角函數性質和圖象的考查力度.

四、復習建議

本章內容由于公式多，且習題變換靈活等特點，建議同學們復習本章時應注意以下幾點：

（1）首先對現有公式自己推導一遍，通過公式推導了解它們的內在聯系從而培養邏輯推理。

（2）對公式要抓住其特點進行。有的公式運用一些順口溜進行。

（3）三角函數是階段研究的一類初等函數。故對三角函數的性質研究應結合一般函數研究方法進行對比。如定義域、值域、奇偶性、周期性、圖象變換等。通過與函數這一章的對比，加深對函數性質的理解。但又要注意其個性特點，如周期性，通過對三角函數周期性的復習，類比到一般函數的周期性，再結合函數特點的研究類比到抽象函數，形成解決問題的能力。

（4）由于三角函數是我們研究的一門基礎工具，近幾年高考往往考查知識網絡交匯處的知識，故學習本章時應注意本章知識與其它章節知識的聯系。如平面向量、參數方程、換元法、解三角形等。（2003年高考應用題源于此）

（5）重視數學思想方法的復習，如前所述本章都以選擇、填空題形式出現，因此復習中要重視選擇、填空題的一些特殊解題方法，如數形結合法、代入檢驗法、特殊值法，待定系數法、排除法等.另外對有些具體問題還需要掌握和運用一些基本結論.如：關于對稱問題，要利用y＝sinx的對稱軸為x＝kπ＋ （k∈Z），對稱中心為（kπ，0），（k∈Z）等基本結論解決問題，同時還要注意對稱軸與函數圖象的交點的縱坐標特征.在求三角函數值的問題中，要學會用勾股數解題的方法，因為高題一般不能查表，給出的數都較特殊，因此主動發現和運用勾股數來解題能起到事半功倍的效果.

（6）加強三角函數應用意識的訓練，1999年高考理科第20題實質是一個三角問題，由于考生對三角函數的概念認識膚淺，不能將以角為自變量的函數迅速與三角函數之間建立聯系，造成障礙，思路受阻.實際上，三角函數是以角為自變量的函數，也是以實數為自變量的函數，它產生于生產實踐，是客觀實際的抽象，同時又廣泛地應用于客觀實際，故應培養實踐第一的觀點.總之，三角部分的考查保持了內容穩定，難度穩定，題量穩定，題型穩定，考查的重點是三角函數的概念、性質和圖象，三角函數的求值問題以及三角變換的方法.

（7）變為主線、抓好訓練.變是本章的主題，在三角變換考查中，角的變換，三角函數名的變換，三角函數次數的變換，三角函數式表達形式的變換等比比皆是，在訓練中，強化“變”意識是關鍵，但題目不可太難，較特殊技巧的題目不做，立足課本，掌握課本中常見問題的解法，把課本中習題進行歸類，并進行分析比較，尋找解題規律.針對高考中的題目看，還要強化變角訓練，經常注意收集角間關系的觀察分析方法.另外如何把一個含有不同名或不同角的三角函數式化為只含有一個三角函數關系式的訓練也要加強，這也是高考的重點.同時應掌握三角函數與二次函數相結合的題目.

（8）在復習中，應立足基本公式，在解題時，注意在條件與結論之間建立聯系，在變形過程中不斷尋找差異，講究算理，才能立足基礎，發展能力，適應高考.

在本章內容中，高考試題主要反映在以下三方面：其一是考查三角函數的性質及圖象變換，尤其是三角函數的最大值與最小值、周期。多數題型為選擇題或填空題；其次是三角函數式的恒等變形。如運用三角公式進行化簡、求值解決簡單的綜合題等。除在填空題和選擇題出現外，解答題的中檔題也經常出現這方面內容。

另外，還要注意利用三角函數解決一些應用問題。

【典型例題】

兩角和與差的三角函數

例1. 已知解：設 = = ∴ =

從而可得： 的最值。

解：∵ ∴- ， ∴∵ ∴即∴

y=

當sina∈[ ，1]時函數y遞增，∴當sina= 時 ymin= ；

當sina∈ 時，函數y遞減，∴當sina=0時，ymin=

例3.

解：∵ A B C=π，

三角函數的圖象與性質

例4. 求函數解：∵

∴

當

例5. 已知函數f（asin2asinx a、b為常數，a<0），它的定義域為[0， ]，值域為[－3，1]，試求解：x）=2x－2 xcosa b－1

=x）－ x =－2asin

∵0≤x≤ ∴ ≤2 ∴

∵a≤－2a

∴3asina b－1≤b－1

∵值域為[－3，1] ∴

例6. 已知函數y軸上的截距為1，它在 ）和（ ）.

（1）求y=x）圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的y=g（y=g（y=g（解：（1）由已知，易得A=2.

，解得 ，得

. 又 ，解得 . ∴ 為所求.

（2）壓縮后的函數解析式為 再平移，

得

0

0

2

0

-2

0

例7. 在Δ 的最小值.并指出取最小值時ΔABC的形狀，并說明理由.

解：令

∵在Δ ，∴

又 .

∴

當 時，y取得最小值 ；

由 知 知 ，B=60°；

故 時，Δ ） b；（1）求這段時間的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數解析式.

） b的半個周期的圖象.

∴ ，由圖示A=<0" > （30－10）=10，b=<1" > （30 10）=20，這時y=10sin（ x <3" style=' > ） 20，將x=6，y=10代入上式可取 （<9" style='' > ，且均為常數），

（1）求函數 的最小正周期；

（2）若 在區間 上單調遞增，且恰好能夠取到 的值.

）、一種三角函數的形式.

（1）

（其中 ）

所以，函數 的最小正周期為 （2） 由（1）可知： .

另外，由 在區間 上單調遞增，可知： ，所以， .

解之得： ，試比較 =解：觀察所給的兩個函數，它們均是兩個三角函數的復合函數，因此，我們不難想到：它們可能仍然具備三角函數的某些性質，如單調性、周期性、奇偶性等.

初步判斷便可以確定： 都是周期函數，且最小正周期分別為 . 所以，只需考慮 為偶函數， 的范圍繼續縮��？

事實上，當 >0， > 的余弦函數，把 看作是關于 的正弦函數，那么這兩個函數既不同名，自變量也不相同，為了能進行比較，我們可以作如下恒等變換，使之成為同名函數，以期利用三角函數的單調性.

至此為止，可以看出：由于 和 ， 與 ）－ －

所以，利用余弦函數在 < . 也即

綜上， .

2. 函數f（x）=cos2x sin（ x）是（ ）

A. 非奇非偶函數 B. 僅有最小值的奇函數

C. 僅有最大值的偶函數 D. 高中語文 既有最大值又有最小值的偶函數

二、填空題

3. 函數f（x）=（ ）｜cosx｜在［－π，π］上的單調減區間為_________.

4. 設ω＞0，若函數f（x）=2sinωx在［－ a－ 在閉區間［0， ］上的最大值是1？若存在，求出對應的a值；若不存在，試說明理由.

【試題答案

一、

1. 解析：函數y=－xcosx是奇函數，圖象不可能是A和C，又當x∈（0， ）時，y＜0.

答案：D

2. 解析：f（x）=cos2x sin（ x）=2cos2x－1 cosx=2［（cosx ）－1.

答案：D

二、3. 解：在［－π，π］上，y=｜cosx｜的單調遞增區間是［－ ，0］及［ ，π］.而f（x）依｜cosx｜取值的遞增而遞減，故［－ ，0］及［ ，π］為f（x）的遞減區間.

4. 解：由－ ≤ωx≤ ，得f（x）的遞增區間為［－ ， ］，由題設得

三、5. 證明：（1）∵－1≤sinα≤1且f（sinα）≥0恒成立，∴f（1）≥0

∵1≤2 cosβ≤3，且f（2 cosβ）≤0恒成立.∴f（1）≤0.

從而知f（1）=0∴b c 1=0.

（2）由f（2 cosβ）≤0，知f（3）≤0，∴9 3b c≤0.又因為b c=－1，∴c≥3.

解：（3）∵f（sinα）=sin2α （－1－c）sinα c=（sinα－ ）2 c－ 2，

當sinα=－1時，［f（sinα）］max=8，由 解得b=－4，c=3.

6. 解：如圖，設矩形木板的長邊AB著地，并設OA=x，OB=y，則a2=x2 y2－2xycosα≥2xy－2xycosα=2xy（1－cosα）.

∵0＜α＜π，∴1－cosα＞0，∴xy≤ （當且僅當x=y時取“=”號），故此時谷倉的容積的最大值V1=（ xysinα）b= .同理，若木板短邊著地時，谷倉的容積V的最大值V2= ab2cos ，

∵a＞b，∴V1＞V2

從而當木板的長邊著地，并且谷倉的底面是以a為底邊的等腰三角形時，谷倉的容積最大，其最大值為 a2bcos .

7. 解：如下圖，扇形AOB的內接矩形是MNPQ，連OP，則OP=R，設∠AOP= ，NP=Rsin ，

∴PQ= ）.S矩形MNPQ=QP?NP= sin（45°－ －45°）－ ］≤ －45°）=1，即θ=22.5°時，

S矩形MNPQ的值最大且最大值為 R2.

8. 解：∵在［－ ］上恒成立，

∴原函數即是y=2log2cosx，

在x∈［－ ≤log2cosx≤log21，即－1≤y≤0，

也就是在x∈［－

綜合上述知，存在

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