對稱問題是高中數學的重要內容之一，在高考數學試題中常出現一些構思新穎解法靈活的對稱問題，為使對稱問題的知識系統化，本文特作以下歸納。
一、點關于已知點或已知直線對稱點問題
1、設點P(x，y)關于點（a,b）對稱點為P′(x′，y′)，
x′=2a-x
由中點坐標公式可得：y′=2b-y
2、點P(x，y)關于直線L：Ax+By+C=O的對稱點為
x′=x-（Ax+By+C）
P′(x′，y′)則
y′=y-（AX+BY+C）
事實上：PP′⊥L及PP′的中點在直線L上，可得:Ax′+By′=-Ax-By-2C
解此方程組可得結論。
�。�-）=-1(B≠0)
特別地，點P(x，y)關于
1、x軸和y軸的對稱點分別為(x，-y)和(-x，y)
2、直線x=a和y=a的對標點分別為(2a-x，y)和(x，2a-y)
3、直線y=x和y=-x的對稱點分別為(y，x)和(-y，-x)
例1光線從A(3,4)發出后經過直線x-2y=0反射,再經過y軸反射,反射光線經過點B(1,5),求射入y軸后的反射線所在的直線方程。
解：如圖,由公式可求得A關于直線x-2y=0的對稱點
A′(5,0),B關于y軸對稱點B′為(-1,5),直線A′B′的方程為5x+6y-25=0
｀C(0,)
�。嘀本�BC的方程為：5x-6y+25=0
二、曲線關于已知點或已知直線的對稱曲線問題
求已知曲線F(x，y)=0關于已知點或已知直線的對稱曲線方程時，只須將曲線F(x，y)=O上任意一點(x，y)關于已知點或已知直線的對稱點的坐標替換方程F(x，y)=0中相應的作稱即得，由此我們得出以下結論。
1、曲線F(x，y)=0關于點(a,b)的對稱曲線的方程是F(2a-x，2b-y)=0
2、曲線F(x，y)=0關于直線Ax+By+C=0對稱的曲線方程是F(x-(Ax+By+C)，y-(Ax+By+C))=0
特別地，曲線F(x，y)=0關于
�。�1）x軸和y軸對稱的曲線方程分別是F（x，-y）和F（-x，y）=0
�。�2）關于直線x=a和y=a對稱的曲線方程分別是F(2a-x，y)=0和F(x，2a-y)=0
�。�3）關于直線y=x和y=-x對稱的曲線方程分別是F(y，x)=0和F(-y，-x)=0
除此以外還有以下兩個結論：對函數y=f(x)的圖象而言，去掉y軸左邊圖象，保留y軸右邊的圖象，并作關于y軸的對稱圖象得到y=f(|x|)的圖象；保留x軸上方圖象，將x軸下方圖象翻折上去得到y=|f(x)|的圖象。
例2（全國高考試題）設曲線C的方程是y=x3-x。將C沿x軸y軸正向分別平行移動t，s單位長度后得曲線C1：
1）寫出曲線C1的方程
2）證明曲線C與C1關于點A(,)對稱。
(1)解知C1的方程為y=(x-t)3-(x-t)+s
(2)證明在曲線C上任取一點B（a,b），設B1(a1,b1)是B關于A的對稱點，由a=t-a1，b=s-b1，代入C的方程得：
s-b1=(t-a1)3-(t-a1)
｀b1=(a1-t)3-(a1-t)+s
�。郆1(a1,b1)滿足C1的方程
｀B1在曲線C1上，反之易證在曲線C1上的點關于點A的對稱點在曲線C上
｀曲線C和C1關于a對稱
我們用前面的結論來證：點P(x,y)關于A的對稱點為P1(t-x,s-y)，為了求得C關于A的對稱曲線我們將其坐標代入C的方程，得：s-y=(t-x)3-(t-x)
�。鄖=(x-t)3-(x-t)+s
此即為C1的方程，｀C關于A的對稱曲線即為C1。
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