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數列
1、數列的概念:數列是一個定義域為正整數集 (或它的有限子集 )的特殊函數數列的通項公式也就是相應函數的解析式.
典例:1)已知 ,則在數列 的最大項為 ;
2)數列 的通項為 ,則 與 的大小關系為 ;
3)數列 的通項為 ,若 遞增,則實數 的取值范圍 ;
4)一給定函數 的圖象在下列圖中,并且對任意 ,由關系式 得到的數列 滿足 ,則該函數的圖象是( A )

A B C D
2.等差數列的有關概念:
(1)等差數列的判斷方法:
①定義法 、
②等差中項法 .
典例:設 是等差數列,求證:以bn= 為通項公式的數列 為等差數列.
(2)等差數列的通項: 或 .
典例:1)等差數列 中, , ,則通項 ;
2)首項為-24的等差數列,從第10項起開始為正數,則公差的取值范圍是 ;
(3)等差數列的前 和: , .
典例:1)數列 中, , , ,則 -3 , = 10 ;
2)已知數列 的前n項和 ,求數列 的前 項和 （答: ）.
(4)等差中項:若 成等差數列,則A叫做 與 的等差中項,且 .
提醒:(1)等差數列的 公式中,涉及到5個元素: 其中 稱作為基本元素.只要已知這5個元素中的任意3個,便可求出其余2個,即知3求2.
(2)為減少運算量,要注意設元的技巧:
如奇數個數成等差,可設為…, …（公差為 ）;
偶數個數成等差,可設為…, ,…（公差為2 ）
3.等差數列的性質:
(1)當公差 時,等差數列的
①通項公式 是關于 的一次函數,且斜率為公差 ;
所以, 1)若公差 ,則 為遞增等差數列;
2)若公差 ,則 為遞減等差數列,
3)若公差 ,則 為常數列.
②前 和 是關于 的二次函數且常數項為0.
提醒:若 時, 不是等差數列,但從第二項起(含第二項)為等差數列.
(3)當 時,則有 ,特別地,當 時,則有 .
典例:1)等差數列 中, ,則 ＝ 27 ;
2)在等差數列 中, ,且 , 是其前 項和,則( B )
A. 都小于0, 都大于0 B. 都小于0, 都大于0　C. 都小于0, 都大于0　　 D. 都小于0, 都大于0　
(4)若 , 是等差數列,則 、 ( 、 是非零常數)、 、 ,…也成等差數列(注:其新公差與原數列的公差關系為: ),而 成等比數列;若 是等比數列,且 ,則 是等差數列.
典例:等差數列的前n項和為25,前2n項和為100,則它的前3n和為 225 ;
(5)等差數列 中,項數為偶數 時, ;項數為奇數 時, ,
(這里 即 ); .
典例:1)在等差數列中,S11＝22,則 ＝ 2 ;
2)項數為奇數的等差數列 中, ,求此數列的中間項與項數(答:5;31).
(6)若等差數列 , 的前 和分別為 ,則 .
典例:若{ },{ }是等差數列,它們前 項和分別為 , ,若 ,則 .
(7)等差數列 的前 項和 的最值求法:
法一(二次函數法):由 解析式結合二次函數圖象求解;
法二(通項比較法):具體操作如下
①當 時,可求 的最大值;第一,若 時,顯然 ;若 時,設前 項和最大,則應滿足 ;特別地,當 時,則 ;
②當 時,可求 的最小值;第一,若 時,顯然 ;若 時,設前 項和最小,則應滿足 ;特別地,當 時,則 ;
典例:1)等差數列 中, , ,則數列前 13 項和最大,最大值為 169 .
2)若 是等差數列,首項 , ,則使前n項和 成立的最大正整數n是 4006 ;
4.等比數列的有關概念:
(1)等比數列的判斷方法:
①定義法 ,其中 ;
②等比中項法 或 .
注: 是數列 等比的 必要不充分條 .(想想為什么?)
典例:1)一個等比數列{ }共有 項,奇數項之積為100,偶數項之積為120,則 為 ;
2)數列 中, 且 =1,若 ,求證:數列 是等比數列.
(2)等比數列的通項: 或 .
典例:數列 等比, , , ,求 和公比 .(答: , 或2)
(3)等比數列的前 和:當 時, ;當 時, .
典例:1)等比數列中, , ,求 （答:44）;
2)已知 等比,其 成等差數列,則公比 .
特別提醒:等比數列前 項和公式有兩種形式,為此在求等比數列前 項和時,首先要判斷公比 是否為1,再由 的情況選擇求和公式的形式,當不能判斷公比 是否為1時,要對 分 和 兩種情形討論求解.
（4）等比中項:若 成等比數列,那么A叫做 與 的等比中項.
提醒:不是任何兩數都有等比中項,只有同號兩數才存在等比中項,且有兩個 .
典例:兩個正數 的等差中項為 ,等比中項為 ,則A與B的大小關系為 .
提醒:(1)等比數列的通項公式及前 和公式中,涉及到5個元素: 、 、 、 及 ,其中 、 稱作為基本元素.只要已知這5個元素中的任意3個,便可求出其余2個,即知3求2;
(2)為減少運算量,要注意設元的技巧,如奇數個數成等比,可設為…, …（公比為 ）;但偶數個數成等比時,不能設為… ,…,因公比不一定為正數,只有公比為正時才可如此設,且公比為 .
典例:有四個數,其中前三個數成等差數列,后三個成等比數列,且第一個數與第四個數的和是16,第二個數與第三個數的和為12,求此四個數.(答:15,,9,3,1或0,4,8,16)
5.等比數列的性質:
(1)當 時,則有 ,特別地,當 時,則有 .
典例:1)在等比數列 中, ,公比q是整數,則 = 512 ;
2)等比數列 中,若 ,則 10 .
(2)若 是等比數列,則 、 、 成等比數列;若 成等比數列,則 、 成等比數列;
若 是等比數列,且公比 ,則數列 ,…也是等比數列(其新公比與原數列公比之間關系式為 ).
注:當 ,且 為偶數時,數列 ,…是常數數列0,它不是等比數列.
典例:1)已知 且 ,設數列 滿足 ,且
,則 ;
2)在等比數列 中, 為其前n項和,若 ,則 的值為 40 .
(3)若 ,則 為遞增數列;若 ,則 為遞減數列;
若 ,則 為遞減數列;若 ,則 為遞增數列;
若 ,則 為擺動數列;若 ,則 為常數列.
(4)當 時, ,這里 ,但 ,這是等比數列前 項和公式的一個特征,據此很容易根據 ,判斷數列 是否為等比數列.
典例:1)若 是等比數列,且其前 項和 滿足: ,則 ＝ -1 .
2)等比數列 前 項和 等差數列 前 項和 則 -1 .
(5) .
典例:1)設等比數列 的公比為 ,若 成等差數列,則 的值 -2 .
2)在等比數列 中,公比 ,設前 項和為 .若 ,則 的大小關系是( B )
A. B. C. D. 不確定
(6)數列 等比,當項數為偶數 時, ;項數為奇數 時, .
(7)如果數列 既成等差數列又成等比數列,那么數列 是非零常數數列.
提醒:故常數數列 僅是此數列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條.
典例:設數列 的前 項和為 ,關于數列 有下列三個命題:
①若 ,則 既是等差數列又是等比數列;
②若 ,則 是等差數列;
③若 ,則 是等比數列.這些命題中,真命題的序號是 ②③ .
6.數列的通項求法:
⑴公式法:①等差數列通項公式;②等比數列通項公式.
典例:已知數列 試寫出其一個通項公式: .
⑵已知 (即 )求 ,用作差法: .
典例:1)已知 的前 項和滿足 ,求 .（答: ）;
2)數列 滿足 ,求 .（答: ）
⑶已知 求 ,用作商法: .
典例:數列 中, 對所有的 都有 ,則 .
⑷若 求 用累加法:
典例:已知數列 滿足 , ,則 = .
⑸已知 求 ,用累乘法: .
典例:已知數列 中, ,前 項和 ,若 ,求 （答: ）
⑹已知遞推關系求 ,用構造法(構造等差、等比數列)..
(1)形如 、 ( 為常數)的遞推數列都可以用待定系數法轉化為公比為 的等比數列后,再求 .
典例:1)已知 ,求 (答: );
2)已知 ,求 (答: );
(2)形如 的遞推數列都可以用倒數法求通項.
典例:1)已知 ,求 (答: );
2)已知數列滿足 =1, ,求 (答: )
注意:(1)用 求數列的通項公式時,你注意到此等式成立的條了嗎？（ ,當 時, ）;
(2)一般地當已知條中含有 與 的混合關系時,常需運用關系式 ,先將已知條轉化為只含 或 的關系式,然后再求解.
典例:數列 滿足 ,求 (答: )
7.數列求和的常用方法:
(1)公式法:①等差數列求和公式;②等比數列求和公式.③其它常用公式:
; ; .
, .
典例:1)等比數列 的前 項和 ,則 ＝ ;
2)計算機是將信息轉換成二進制數進行處理的.二進制即”逢2進1”,如 表示二進制數,將它轉換成十進制形式是 ,那么將二進制 轉換成十進制數是 .
(2)分組求和法:在直接運用公式法求和有困難時,常將“和式”中“同類項”先合并在一起,再運用公式法求和.
典例:求 （答: ）
(3)并項法求和:將數列的每兩項(或多項)并到一起后,再求和,這種方法常適用于擺動數列的求和.
典例:求 （答: ;先分奇偶性討論）
(4)倒序相加法:將一個數列倒過排序,它與原數列相加時,若有公因式可提,并且剩余的項易于求和.(這也是等差數列前 和公式的推導方法).
典例:已知 ,則 ＝
(4)錯位相減法:如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成,那么常選用錯位相減法(這也是等比數列前 和公式的推導方法).
典例:1)設 為等比數列, ,已知 , .
①求數列 的首項和公比;(答: , )
②求數列 的通項公式.（答: ）
2)若 ,數列 滿足 .
①求證:數列 是等比數列;(答:略;)
②令 ,求函數 在點 處的導數 ,并比較 與 的大小.(答: ,當 時, ＝ ;當 時, < ;當 時, > ).
(5)裂項相消法:如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式,且相鄰項分裂后相關聯,那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有:
① ;② ;
③ , ;
④ ;⑤ ;
⑥ .
⑦
典例:1)求和: ;
2)在數列 中, ,且Sｎ＝９,則n＝ 99 ;
(6)通項轉換法:先對通項進行變形,發現其內在特征,再運用分組求和法求和.
典例:1)求數列1×4,2×5,3×6,…, ,…前 項和 = ）;
2)求和 .
8.“分期付款”、“森林木材”型應用問題
(1)這類應用題一般可轉化為等差數列或等比數列問題.但在求解過程中,務必“卡手指”,細心計算“年限”.對于“森林木材”既增長又砍伐的問題,則常選用“統一法”統一到“最后”解決.
(2)利率問題:
①單利問題:如零存整取儲蓄(單利)本利和計算模型:若每期存入本金 元,每期利率為 ,則 期后本利和為: .(等差數列問題);
②復利問題:按揭貸款的分期等額還款(復利)模型:若貸款(向銀行借款) 元,采用分期等額還款方式,從借款日算起,一期(如一年)后為第一次還款日,如此下去,分 期還清.如果每期利率為 (按復利),那么每期等額還款 元應滿足:
(等比數列問題).
典例:1)從2008年到2011年期間,甲每年6月1日都到銀行存入 元的一年定期儲蓄.若年利率為 保持不變,且每年到期的存款本息均自動轉為新的一年定期,到2012年6月1日,甲去銀行不再存款,而是將每年所有的存款的本息全部取回,則取回的金額是( D )
A. B. C. D.
2)陳老師購買安居工程集資房 ,單價為1000元/ ,一次性國家財政補貼28800元,學校補貼14400元,余款由個人負擔.房地產開發公司對教師實行分期付款,即各期所付的款以及各期所付的款到最后一次付款時所生的利息合計,應等于個人負擔的購買房余款的現價以及這個余款現價到最后一次付款時所生利息之和,每期為一年,等額付款,簽訂購房合同后一年付款一次,再過一年又付款一次,等等,共付10次,10年后付清.如果按年利率7.5%,每年復利一次計算(即本年利息計入次年的本金生息),那么每年付款多少元?(參考數據: )
【解】由題知余款額為 元;
設每期(年)付款為 元,依題意得,

所以 元.

本文來自：逍遙右腦記憶 /gaosan/34703.html

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