●考點目標定位
1.理解函數的概念，了解映射的概念.
2.了解函數的單調性的概念，掌握判斷一些簡單函數的單調性的方法.
3.了解反函數的概念及互為反函數的函數圖象間的關系，會求一些簡單函數的反函數.
4.理解分數指數冪的概念，掌握有理指數冪的運算性質，掌握指數函數的概念、圖象和性質.
5.理解對數的概念，掌握對數的運算性質，掌握對數函數的概念、圖象和性質.
6.能夠運用函數的性質、指數函數和對數函數的性質解決某些簡單的實際問題.
●復習方略指南
基本函數：一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數與對數函數，它們的圖象與性質是函數的基石.求反函數，判斷、證明與應用函數的三大特性（單調性、奇偶性、周期性）是高考命題的切入點，有單一考查（如全國2004年第2題），也有綜合考查（如江蘇2004年第22題）.函數的圖象、圖象的變換是高考熱點（如全國2004年Ⅳ，北京2005年春季理2），應用函數知識解其他問題，特別是解應用題能很好地考查學生分析問題、解決問題的能力，這類問題在高考中具有較強的生存力.配方法、待定系數法、數形結合法、分類討論等，這些方法構成了函數這一章應用的廣泛性、解法的多樣性和思維的創造性，這均符合高考試題改革的發展趨勢.
特別在“函數”這一章中，數形結合的思想比比皆是，深刻理解和靈活運用這一思想方法，不僅會給解題帶來方便，而且這正是充分把握住了中學數學的精髓和靈魂的體現.
復習本章要注意：
1.深刻理解一些基本函數，如二次函數、指數函數、對數函數的圖象與性質，對數與形的基本關系能相互轉化.
2.掌握函數圖象的基本變換，如平移、翻轉、對稱等.
3.二次函數是初中、高中的結合點，應引起重視，復習時要適當加深加寬.二次函數與二次方程、二次不等式有著密切的聯系，要溝通這些知識之間的內在聯系，靈活運用它們去解決有關問題.
4.含參數函數的討論是函數問題中的難點及重點，復習時應適當加強這方面的訓練，做到條理清楚、分類明確、不重不漏.
5.利用函數知識解應用題是高考重點，應引起重視.
2.1函數的概念
●知識梳理
1.函數的定義：設A、B是非空的數集，如果按某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f（x），x∈A，其中x叫做自變量.x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y的值叫做函數值，函數值的集合{f（x）x∈A}叫做函數的值域.
2.兩個函數的相等：函數的定義含有三個要素，即定義域A、值域C和對應法則f.當函數的定義域及從定義域到值域的對應法則確定之后，函數的值域也就隨之確定.因此，定義域和對應法則為函數的兩個基本條件，當且僅當兩個函數的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數才是同一個函數.
3.映射的定義：一般地，設A、B是兩個集合，如果按照某種對應關系f，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，那么，這樣的對應（包括集合A、B，以及集合A到集合B的對應關系f）叫做集合A到集合B的映射，記作f:A→B.
由映射和函數的定義可知，函數是一類特殊的映射，它要求A、B非空且皆為數集.
特別提示
函數定義的三要素是理解函數概念的關鍵，用映射的觀點理解函數概念是對函數概念的深化.
●點擊雙基
1.設集合A=R，集合B=正實數集，則從集合A到集合B的映射f只可能是
A.f:x→y=xB.f:x→y=
C.f:x→y=3－xD.f:x→y=log2（1+x）
解析：指數函數的定義域是R，值域是（0，+∞），所以f是x→y=3－x.
答案：C
2.設M={x－2≤x≤2}，N={y0≤y≤2}，函數f（x）的定義域為M，值域為N，則f（x）的圖象可以是
解析：A項定義域為［－2，0］，D項值域不是［0，2］，C項對任一x都有兩個y與之對應，都不符.故選B.
答案：B
3.（2004年全國Ⅰ，理2）已知函數f（x）=lg ，若f（a）=b，則f（－a）等于
A.bB.－bC. D.－
解析：f（－a）=lg =－lg =－f（a）=－b.
【答案】B
4.（2004年全國Ⅲ，理5）函數y= 的定義域是
A.［－ ，－1）∪（1， ］B.（－ ，－1）∪（1， ）
C.［－2，－1）∪（1，2］D.（－2，－1）∪（1，2）
解析： － ≤x＜－1或1＜x≤ .∴y= 的定義域為［－ ，－1）∪（1， ］.
答案：A
5.（2004年浙江，文9）若函數f（x）=loga（x+1）（a＞0，a≠1）的定義域和值域都是［0，1］，則a等于
A. B. C. D.2
解析：f（x）=loga（x+1）的定義域是［0，1］，∴0≤x≤1，則1≤x+1≤2.
當a＞1時，0=loga1≤loga（x+1）≤loga2=1，∴a=2；
當0＜a＜1時，loga2≤loga（x+1）≤loga1=0，與值域是［0，1］矛盾.
綜上，a=2.
答案：D
●典例剖析
【例1】試判斷以下各組函數是否表示同一函數？
（1）f（x）= ，g（x）= ；
（2）f（x）= ，g（x）=
（3）f（x）= ，g（x）=（ ）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）= ，g（x）= ；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1.
剖析：對于兩個函數y=f（x）和y=g（x），當且僅當它們的定義域、值域、對應法則都相同時，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函數.若兩個函數表示同一函數，則它們的圖象完全相同，反之亦然.
解：（1）由于f（x）= =x，g（x）= =x，故它們的值域及對應法則都不相同，所以它們不是同一函數.
（2）由于函數f（x）= 的定義域為（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）= 的定義域為R，所以它們不是同一函數.
（3）由于當n∈N*時，2n±1為奇數，∴f（x）= =x，g（x）=（ ）2n－1=x，它們的定義域、值域及對應法則都相同，所以它們是同一函數.
（4）由于函數f（x）= 的定義域為{xx≥0}，而g（x）= 的定義域為{xx≤－1或x≥0}，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數.
（5）函數的定義域、值域和對應法則都相同，所以它們是同一函數.
評述：（1）第（5）小題易錯判斷成它們是不同的函數，原因是對函數的概念理解不透.要知道，在函數的定義域及對應法則f不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表達式，這對于函數本身并無影響，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可視為同一函數.
（2）對于兩個函數來講，只要函數的三要素中有一要素不相同，則這兩個函數就不可能是同一函數.
【例2】集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立從A到B的映射個數是__________，從B到A的映射個數是__________.
剖析：從A到B可分兩步進行：第一步A中的元素3可有3種對應方法（可對應5或6或7），第二步A中的元素4也有這3種對應方法.由乘法原理，不同的映射種數N1＝3×3＝9.反之從B到A，道理相同，有N2＝2×2×2＝8種不同映射.
答案：98
深化拓展
設集合A中含有4個元素，B中含有3個元素，現建立從A到B的映射f:A→B，且使B中每個元素在A中都有原象，則這樣的映射有___________________個.
提示：因為集合A中有4個元素，集合B中有3個元素，根據題意，A中必須有2個元素有同一個象，因此，共有C A =36個映射.
答案：36
【例3】（2004年廣東，19）設函數f（x）=1－ （x＞0），證明：當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，ab＞1.
剖析一：f（a）=f（b） 1－ =1－ （1－ ）2=（1－ ）2 2ab=a+b≥2 ab＞1.
證明：略.
剖析二：f（x）=
證明：f（x）在（0，1］上是減函數，在（1，+∞）上是增函數.由0＜a＜b且f（a）=f（b），得0＜a＜1＜b且 －1=1－ ，即 + =2 a+b=2ab≥2 ab＞1.
評注：證法一、證法二是去絕對值符號的兩種基本方法.
●闖關訓練
夯實基礎
1.設集合A和B都是自然數集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，則在映射f下，象20的原象是
A.2B.3C.4D.5
解析：由2n＋n＝20求n，用代入法可知選C.
答案：C
2.某種型號的手機自投放市場以來，經過兩次降價，單價由原來的2000元降到1280元，則這種手機平均每次降價的百分率是
A.10%B.15%C.18%D.20%
解析：設降價百分率為x%，
∴2000（1－x%）2=1280.解得x=20.
答案：D
3.（2004年全國Ⅲ，理11）設函數f（x）= 則使得f（x）≥1的自變量x的取值范圍為
A.（－∞，－2］∪［0，10］B.（－∞，－2］∪［0，1］
C.（－∞，－2］∪［1，10］D.［－2，0］∪［1，10］
解析：f（x）是分段函數，故f（x）≥1應分段求解.
當x＜1時，f（x）≥1 （x+1）2≥1 x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x＜1.
當x≥1時，f（x）≥1 4－ ≥1 ≤3 x≤10，∴1≤x≤10.
綜上所述，x≤－2或0≤x≤10.
答案：A
4.（2004年浙江，文13）已知f（x）= 則不等式xf（x）+x≤2的解集是___________________.
解析：x≥0時，f（x）=1，
xf（x）+x≤2 x≤1，∴0≤x≤1；
當x＜0時，f（x）=0，
xf（x）+x≤2 x≤2，∴x＜0.綜上x≤1.
答案：{xx≤1}
5.（2004年全國Ⅳ，文）已知函數y=log x與y=kx的圖象有公共點A，且A點的橫坐標為2，則k的值等于
A.－ B. C.－ D.
解析：由點A在y=log x的圖象上可求出A點縱坐標y=log 2=－ .又A（2，－ ）在y=kx圖象上，－ =k?2，∴k=－ .
答案：A
培養能力
6.如下圖，在邊長為4的正方形ABCD上有一點P，沿著折線BCDA由B點（起點）向A點（終點）移動，設P點移動的路程為x，△ABP的面積為y=f（x）.
（1）求△ABP的面積與P移動的路程間的函數關系式；
（2）作出函數的圖象，并根據圖象求y的最大值.
解：（1）這個函數的定義域為（0，12）.
當0＜x≤4時，S=f（x）= ?4?x=2x；
當4＜x≤8時，S=f（x）=8；
當8＜x＜12時，S=f（x）= ?4?（12－x）=2（12－x）=24－2x.
∴這個函數的解析式為f（x）=
（2）其圖形為
由圖知，［f（x）］max=8.
7.若f:y=3x+1是從集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一個映射，求自然數a、k的值及集合A、B.
解：∵f（1）=3×1+1=4，f（2）=3×2+1=7，f（3）=3×3+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定義知（1） 或（2）
∵a∈N，∴方程組（1）無解.
解方程組（2），得a=2或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}.
8.如果函數f（x）=（x+a）3對任意x∈R都有f（1+x）=－f（1－x），試求f（2）+f（－2）的值.
解：∵對任意x∈R，總有f（1+x）=－f（1－x），
∴當x=0時應有f（1+0）=－f（1－0），
即f（1）=－f（1）.∴f（1）=0.
又∵f（x）=（x+a）3，∴f（1）=（1+a）3.
故有（1+a）3＝0 a=－1.∴f（x）=（x－1）3.
∴f（2）+f（－2）=（2－1）3＋（－2－1）3＝13＋（－3）3＝－26.
探究創新
9.集合M={a，b，c}，N={－1，0，1}，映射f:M→N滿足f（a）+f（b）+f（c）=0，那么映射f:M→N的個數是多少？
解：∵f（a）∈N，f（b）∈N，f（c）∈N，且f（a）+f（b）+f（c）=0，
∴有0+0+0=0+1+（－1）=0.
當f（a）=f（b）=f（c）=0時，只有一個映射；
當f（a）、f（b）、f（c）中恰有一個為0，而另兩個分別為1，－1時，有C ?A =6個映射.因此所求的映射的個數為1+6=7.
評述：本題考查了映射的概念和分類討論的思想.
●思悟小結
1.本節重點內容是函數概念、定義域、值域，難點是映射及其意義.
2.理解映射的概念，應注意以下幾點：
（1）集合A、B及對應法則f是確定的，是一個系統；
（2）對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從集合B到集合A的對應關系一般是不同的；
（3）集合A中每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，這是映射區別于一般對應的本質特征；
（4）集合A中不同元素，在集合B中對應的象可以是同一個；
（5）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象.
3.函數的定義域是構成函數的非常重要的部分，如沒有標明定義域，則認為定義域為使得函數解析式有意義的x的取值范圍，即分式中分母應不等于0；偶次根式中被開方數應為非負數；零指數冪中，底數不等于0，負分數指數冪中，底數應大于0；對數式中，真數必須大于0，底數必須大于0且不等于1……實際問題中還需考慮自變量的實際意義.若解析式由幾個部分組成，則定義域為各個部分相應集合的交集.
●教師下載中心
點睛
1.復習本節時，教師應先指導學生看課本，并對課本上的重要知識點歸納總結，對課本上的典型例題、典型習題要讓學生再做，并注重一題多解、一題多變.
2.畫分段函數的圖象，求分段函數的定義域、值域是本節的一個難點.時，要指導學生按x的特點分好段，并向學生指明分段函數其實是一個函數，只是由于該函數在自變量取值的各個階段其對應關系不一樣才以分段式給出，因此它的定義域、值域應是各階段相應集合的并集.
拓展題例
【例1】設f（x）是定義在（－∞，+∞）上的函數，對一切x∈R均有f（x）+f（x+2）=0，當－1＜x≤1時，f（x）=2x－1，求當1＜x≤3時，函數f（x）的解析式.
解：設1＜x≤3，則－1＜x－2≤1，又對任意的x，有f（x）+f（x+2）=0，∴f（x+2）=－f（x）.∴f（x－2）=－f［（x－2）+2］=－f（x）.又－1＜x－2≤1時，f（x－2）=2（x－2）－1=2x－5，∴f（x）=－f（x－2）=－2x+5（1＜x≤3）.
評述：將1＜x≤3轉化成－1＜x－2≤1，再利用已知條件是解本題的關鍵.
【例2】設m=（log2x）2+（t－2）log2x+1－t，若t在區間［－2，2］上變化時，m值恒正，求x的取值范圍.
解：由m=［log2x+（t－1）］（log2x－1）＞0，得
①或 ②
在①中，（log2x－1）+t＞0對于t∈［－2，2］恒成立時，應有log2x－1＞2，即x＞8；
在②中，（log2x－1）+t＜0對于t∈［－2，2］恒成立時，應有log2x－1＜－2，即0＜
x＜ .
綜上，得x＞8或0＜x＜ .
評述：本題還可用如下方法求解：m=（log2x－1）t+［（log2x）2－2log2x+1］關于變量t的圖象是直線，要t∈［－2，2］時m值恒正，只要t=－2和2時m的值恒正，即有
∴log2x＞3或log2x＜－1.
本文來自：逍遙右腦記憶 /gaosan/53884.html
相關閱讀：高中數學競賽標準教材(第十章直線與圓的方程)
高三數學理科復習：函數解析式
2012屆高考數學知識算法初步與框圖復習講義
2012屆高考數學三角函數知識導航復習教案
集合與簡易邏輯