高中數學復習講義 第二章 函數A
【知識導讀】
【方法點撥】
函數是中學數學中最重要，最基礎的內容之一，是學習高等數學的基礎．高中函數以具體的冪函數，指數函數，對數函數和三角函數的概念，性質和圖像為主要研究對象，適當研究分段函數，含絕對值的函數和抽象函數；同時要對初中所學二次函數作深入理解．
1.活用“定義法”解題．定義是一切法則與性質的基礎，是解題的基本出發點．利用定義，可直接判斷所給的對應是否滿足函數的條件，證明或判斷函數的單調性和奇偶性等．
2.重視“數形結合思想”滲透．“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”．當你所研究的問題較為抽象時，當你的思維陷入困境時，當你對雜亂無章的條件感到頭緒混亂時，一個很好的建議：畫個圖像！利用圖形的直觀性，可迅速地破解問題，乃至最終解決問題．
3.強化“分類討論思想”應用．分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法．進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”．
4.掌握“函數與方程思想”．函數與方程思想是最重要，最基本的數學思想方法之一，它在整個高中數學中的地位與作用很高．函數的思想包括運用函數的概念和性質去分析問題，轉化問題和解決問題．
第1課 函數的概念
【考點導讀】
1.在體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型的基礎上，通過集合與對應的語言刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域．
2.準確理解函數的概念，能根據函數的三要素判斷兩個函數是否為同一函數．
【基礎練習】
1．設有函數組：① ， ；② ， ；③ ， ；④ ， ；⑤ ， ．其中表示同一個函數的有___②④⑤___．
2.設集合 ， ，從 到 有四種對應如圖所示：
其中能表示為 到 的函數關系的有_____②③____．
3.寫出下列函數定義域：
(1) 的定義域為______________； (2) 的定義域為______________；
(3) 的定義域為______________； (4) 的定義域為_________________．
4．已知三個函數:(1) ； (2) ； (3) ．寫出使各函數式有意義時， ， 的約束條件：
(1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________．
5.寫出下列函數值域：
(1) ， ；值域是 ．
(2) ； 值域是 ．
(3) ， ． 值域是 ．
【范例解析】
例1.設有函數組：① ， ；② ， ；
③ ， ；④ ， ．其中表示同一個函數的有③④．
分析：判斷兩個函數是否為同一函數，關鍵看函數的三要素是否相同．
解：在①中， 的定義域為 ， 的定義域為 ，故不是同一函數；在②中， 的定義域為 ， 的定義域為 ，故不是同一函數；③④是同一函數．
點評：兩個函數當它們的三要素完全相同時，才能表示同一函數．而當一個函數定義域和對應法則確定時，它的值域也就確定，故判斷兩個函數是否為同一函數，只需判斷它的定義域和對應法則是否相同即可．
例2.求下列函數的定義域：① ； ② ；
解：（1）① 由題意得： 解得 且 或 且 ，
故定義域為 ．
② 由題意得： ，解得 ，故定義域為 ．
例3.求下列函數的值域：
（1） ， ；
（2） ；
（3） ．
分析：運用配方法，逆求法，換元法等方法求函數值域．
（1）解： ， ， 函數的值域為 ；
（2）解法一：由 ， ，則 ， ，故函數值域為 ．
解法二：由 ，則 ， ， ， ，故函數值域為 ．
（3）解：令 ，則 ， ，
當 時， ，故函數值域為 ．
點評：二次函數或二次函數型的函數求值域可用配方法；逆求法利用函數有界性求函數的值域；用換元法求函數的值域應注意新元的取值范圍．
【反饋演練】
1．函數f(x)＝ 的定義域是___________．
2．函數 的定義域為_________________．
3. 函數 的值域為________________．
4. 函數 的值域為_____________．
5．函數 的定義域為_____________________．
6.記函數f(x)= 的定義域為A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定義域為B．
(1) 求A；
(2) 若B A，求實數a的取值范圍．
解：(1)由2－ ≥0，得 ≥0，x<－1或x≥1， 即A=(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ．
(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0．
∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) ．
∵B A， ∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥ 或a≤－2，而a<1，
∴ ≤a<1或a≤－2，故當B A時， 實數a的取值范圍是(－∞,－2]∪[ ,1)．
第2課 函數的表示方法
【考點導讀】
1.會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖像法，列表法，解析法）表示函數．
2.求解析式一般有四種情況：（1）根據某個實際問題須建立一種函數關系式；（2）給出函數特征，利用待定系數法求解析式；（3）換元法求解析式；（4）解方程組法求解析式．
【基礎練習】
1.設函數 ， ，則 _________； __________．
2.設函數 ， ,則 _____3_______； ； ．
3.已知函數 是一次函數，且 ， ,則 __15___．
4.設f(x)＝ ，則f[f( )]＝_____________．
5.如圖所示的圖象所表示的函數解析式為__________________________．
【范例解析】
例1.已知二次函數 的最小值等于4，且 ，求 的解析式．
分析：給出函數特征，可用待定系數法求解．
解法一：設 ，則 解得
故所求的解析式為 ．
解法二： ， 拋物線 有對稱軸 ．故可設 ．
將點 代入解得 ．故所求的解析式為 ．
解法三：設 ，由 ，知 有兩個根0，2，
可設 ， ，
將點 代入解得 ．故所求的解析式為 ．
點評：三種解法均是待定系數法，也是求二次函數解析式常用的三種形式：一般式，頂點式，零點式．
例2.甲同學家到乙同學家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時出發前往乙家．如圖，表示甲從出發到乙家為止經過的路程y（km）與時間x（分）的關系．試寫出 的函數解析式．
分析：理解題意，根據圖像待定系數法求解析式．
解：當 時，直線方程為 ，當 時，直線方程為 ，
點評：建立函數的解析式是解決實際問題的關鍵，把題中文字語言描述的數學關系用數學符號語言表達．要注意求出解析式后，一定要寫出其定義域．
【反饋演練】
1．若 ， ，則 （ D ）
Ａ． �。拢� �。茫� �。模�
2．已知 ，且 ，則m等于________．
3. 已知函數f(x)和g(x)的圖象關于原點對稱，且f(x)＝x2＋2x．求函數g(x)的解析式．
解：設函數 的圖象上任意一點 關于原點的對稱點為 ，
則
∵點 在函數 的圖象上
∴ ．
第3課 函數的單調性
【考點導讀】
1.理解函數單調性，最大（�。┲导捌鋷缀我饬x；
2.會運用單調性的定義判斷或證明一些函數的增減性．
【基礎練習】
1.下列函數中：
① ； ② ； ③ ； ④ ．
其中，在區間(0，2)上是遞增函數的序號有___②___．
2.函數 的遞增區間是___ R ___．
3.函數 的遞減區間是__________．
4.已知函數 在定義域R上是單調減函數，且 ，則實數a的取值范圍__________．
5.已知下列命題：
①定義在 上的函數 滿足 ，則函數 是 上的增函數；
②定義在 上的函數 滿足 ，則函數 在 上不是減函數；
③定義在 上的函數 在區間 上是增函數，在區間 上也是增函數，則函數 在 上是增函數；
④定義在 上的函數 在區間 上是增函數，在區間 上也是增函數，則函數 在 上是增函數．
其中正確命題的序號有_____②______．
【范例解析】
例 . 求證：（1）函數 在區間 上是單調遞增函數；
（2）函數 在區間 和 上都是單調遞增函數．
分析：利用單調性的定義證明函數的單調性，注意符號的確定．
證明：（1）對于區間 內的任意兩個值 ， ，且 ，
因為
，
又 ，則 ， ，得 ，
故 ，即 ，即 ．
所以，函數 在區間 上是單調增函數．
（2）對于區間 內的任意兩個值 ， ，且 ，
因為 ，
又 ，則 ， ， 得，
故 ，即 ，即 ．
所以，函數 在區間 上是單調增函數．
同理，對于區間 ，函數 是單調增函數；
所以，函數 在區間 和 上都是單調增函數．
點評：利用單調性定義證明函數的單調性，一般分三步驟：（1）在給定區間內任意取兩值 ， ；（2）作差 ，化成因式的乘積并判斷符號；（3）給出結論．
例2.確定函數 的單調性．
分析：作差后，符號的確定是關鍵．
解：由 ，得定義域為 ．對于區間 內的任意兩個值 ， ，且 ，
則
又 ， ，
，即 ．
所以， 在區間 上是增函數．
點評：運用有理化可以對含根號的式子進行符號的確定．
【反饋演練】
1．已知函數 ，則該函數在 上單調遞__減__，（填“增”“減”）值域為_________．
2．已知函數 在 上是減函數，在 上是增函數，則 __25___.
3. 函數 的單調遞增區間為 .
4. 函數 的單調遞減區間為 ．
5. 已知函數 在區間 上是增函數，求實數a的取值范圍．
解：設對于區間 內的任意兩個值 ， ，且 ，
則 ，
， ， 得， ， ，即 ．
第4課 函數的奇偶性
【考點導讀】
1.了解函數奇偶性的含義，能利用定義判斷一些簡單函數的奇偶性；
2.定義域對奇偶性的影響：定義域關于原點對稱是函數為奇函數或偶函數的必要但不充分條件；不具備上述對稱性的，既不是奇函數，也不是偶函數．
【基礎練習】
1.給出4個函數：① ；② ；③ ；④ ．
其中奇函數的有___①④___；偶函數的有____②____；既不是奇函數也不是偶函數的有____③____．
2. 設函數 為奇函數，則實數 －1 ．
3.下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是（ A ）
A. B. C. D.
【范例解析】
例1.判斷下列函數的奇偶性：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6）
分析：判斷函數的奇偶性，先看定義域是否關于原點對稱，再利用定義判斷．
解：（1）定義域為 ，關于原點對稱； ,
所以 為偶函數．
（2）定義域為 ，關于原點對稱； ，
，故 為奇函數．
（3）定義域為 ，關于原點對稱； ， 且 ，
所以 既為奇函數又為偶函數．
（4）定義域為 ，不關于原點對稱；故 既不是奇函數也不是偶函數．
（5）定義域為 ，關于原點對稱； ， ，則 且 ，故 既不是奇函數也不是偶函數．
（6）定義域為 ，關于原點對稱；
， 又 ，
，故 為奇函數．
點評：判斷函數的奇偶性，應首先注意其定義域是否關于原點對稱；其次，利用定義即 或 判斷，注意定義的等價形式 或 ．
例2. 已知定義在 上的函數 是奇函數，且當 時， ，求函數 的解析式，并指出它的單調區間．
分析：奇函數若在原點有定義，則 ．
解：設 ，則 ， ．
又 是奇函數， ， ．
當 時， ．
綜上， 的解析式為 ．
作出 的圖像，可得增區間為 ， ，減區間為 ， ．
點評：（1）求解析式時 的情況不能漏；（2）兩個單調區間之間一般不用“ ”連接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通過“ ”實現轉化；（4）根據圖像寫單調區間．
【反饋演練】
1．已知定義域為R的函數 在區間 上為減函數，且函數 為偶函數，則（ D ）
A． B． C． D．
2. 在 上定義的函數 是偶函數，且 ，若 在區間 是減函數，則函數 （ B ）
A.在區間 上是增函數，區間 上是增函數
B.在區間 上是增函數，區間 上是減函數
C.在區間 上是減函數，區間 上是增函數
D.在區間 上是減函數，區間 上是減函數
3. 設 ，則使函數 的定義域為R且為奇函數的所有 的值為____1，3 ___．
4．設函數 為奇函數， 則 ________．
5．若函數 是定義在R上的偶函數，在 上是減函數，且 ，則使得 的x的取
值范圍是（－2，2）．
6. 已知函數 是奇函數．又 ， ,求a，b，c的值；
解：由 ，得 ，得 ．又 ，得 ，
而 ，得 ，解得 ．又 ， 或1．
若 ，則 ，應舍去；若 ，則 ．
所以， ．
綜上，可知 的值域為 ．
第5 課 函數的圖像
【考點導讀】
1.掌握基本初等函數的圖像特征，學會運用函數的圖像理解和研究函數的性質；
2.掌握畫圖像的基本方法：描點法和圖像變換法．
【基礎練習】
1.根據下列各函數式的變換，在箭頭上填寫對應函數圖像的變換：
（1） ；
（2） ．
2.作出下列各個函數圖像的示意圖：
（1） ； （2） ； （3） ．
解：（1）將 的圖像向下平移1個單位，可得 的圖像．圖略；
（2）將 的圖像向右平移2個單位，可得 的圖像．圖略；
（3）由 ，將 的圖像先向右平移1個單位，得 的圖像，再向下平移1個單位，可得 的圖像．如下圖所示：
3.作出下列各個函數圖像的示意圖：
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
解：（1）作 的圖像關于y軸的對稱圖像，如圖1所示；
（2）作 的圖像關于x軸的對稱圖像，如圖2所示；
（3）作 的圖像及它關于y軸的對稱圖像，如圖3所示；
（4）作 的圖像，并將x軸下方的部分翻折到x軸上方，如圖4所示．
4. 函數 的圖象是（ B ）
【范例解析】
例1.作出函數 及 ， ， ， ， 的圖像．
分析：根據圖像變換得到相應函數的圖像．
解： 與 的圖像關于y軸對稱；
與 的圖像關于x軸對稱；
將 的圖像向左平移2個單位得到 的圖像；
保留 的圖像在x軸上方的部分，將x軸下方的部分關于x軸翻折上去，并去掉原下方的部分；
將 的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y軸的左邊部分替代原y軸左邊部分，并保留 在y軸右邊部分．圖略．
點評：圖像變換的類型主要有平移變換，對稱變換兩種．平移變換：左“+”右“－”，上“+”下“－”；對稱變換： 與 的圖像關于y軸對稱；
與 的圖像關于x軸對稱； 與 的圖像關于原點對稱；
保留 的圖像在x軸上方的部分，將x軸下方的部分關于x軸翻折上去，并去掉原下方的部分；
將 的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y軸的左邊部分替代原y軸左邊部分，并保留 在y軸右邊部分．
例2.設函數 .
（1）在區間 上畫出函數 的圖像；
（2）設集合 . 試判斷集合 和 之間的關系，并給出證明.
分析：根據圖像變換得到 的圖像，第（3）問實質是恒成立問題．
解：（1）
（2）方程 的解分別是 和 ，由于 在 和 上單調遞減，在 和 上單調遞增，因此 .
由于 .
【反饋演練】
1．函數 的圖象是（ B ）
2. 為了得到函數 的圖象，可以把函數 的圖象向右平移1個單位長度得到．
3．已知函數 的圖象有公共點A，且點A的橫坐標為2，則 = ．
4．設f(x)是定義在R上的奇函數，且y=f (x)的圖象關于直線 對稱，則
f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ．
5. 作出下列函數的簡圖：
（1） ； （2） ； （3） ．
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