第三　導數及其應用

高考導航

考試要求重難點擊命題展望
1.導數概念及其幾何意義
(1)了解導數概念的實際背景；
(2)理解導數的幾何意義.
2.導數的運算
(1)能根據導數定義，求函數y＝c(c為常數)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝ 的導數；
(2)能利用基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數(僅限于形如f(ax＋b)的復合函數)的導數.
3.導數在研究函數中的應用
(1)了解函數單調性和導數的關系，能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間(其中多項式函數一般不超過三次)；
(2)了解函數在某點取得極值的必要條和充分條；會用導數求函數的極大值、極小值(其中多項式函數一般不超過三次)；會求閉區間上函數的最大值、最小值(其中多項式函數一般不超過三次).
4.生活中的優化問題
會利用導數解決某些實際問題.
5.定積分與微積分基本定理
(1)了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念；
(2)了解微積分基本定理的含義.本重點：
1.導數的概念；
2.利用導數求切線的斜率；
3.利用導數判斷函數單調性或求單調區間；
4.利用導數求極值或最值；
5.利用導數求實際問題最優解.
本難點：導數的綜合應用.　　導數與定積分是微積分的核心概念之一，也是中學選學內容中較為重要的知識之一.由于其應用的廣泛性，為我們解決有關函數、數列問題提供了更一般、更有效的方法.因此，本知識在高考題中常在函數、數列等有關最值不等式問題中有所體現，既考查數形結合思想，分類討論思想，也考查學生靈活運用所學知識和方法的能力.考題可能以選擇題或填空題的形式考查導數與定積分的基本運算與簡單的幾何意義，而以解答 題的形式綜合考查學生的分析問題和解決問題的能力.

知識網絡

3 .1　導數的概念與運算

典例精析
題型一　導數 的概念
【例1】 已知函數f(x)＝2ln 3x＋8x，
求 f(1－2Δx)－f(1)Δx的值.
【解析】由導數的定義知：
f(1－2Δx)－f(1)Δx＝－2 f(1－2Δx)－f(1)－2Δx＝－2f′(1)＝－20.
【點撥】導數的實質是求函數值相對于自變量的變化率，即求當Δx→0時， 平均變化率ΔyΔx的極限.
【變式訓練1】某市在一次降雨過程中，降雨量y(mm)與時間t(min)的函數關系可以近似地表示為f(t)＝t2100，則在時刻t＝10 min的降雨強度為(　　)
A.15 mm/minB.14 mm/min
C.12 mm/minD.1 mm/min
【解析】選A.
題型二　求導函數
【例2】 求下列函數的導數.
(1)y＝ln(x＋1＋x2)；
(2)y＝(x2－2x＋3)e2x；
(3)y＝3x1－x.
【解析】運用求導數公式及復合函數求導數法則.
(1)y′＝1x＋1＋x2(x＋1＋x2)′
＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2.
(2)y′＝(2x－2)e2x＋2(x2－2x＋3)e2x
＝2(x2－x＋2)e2x.
(3)y′＝13(x1－x 1－x＋x(1－x)2
＝13(x1－x 1(1－x)2
＝13x (1－x)
【變式訓練2】如下圖，函數f(x)的圖象是折線段ABC，其中A、B、C的坐標分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則f(f(0))＝　　　　　 �。� f(1＋Δx)－f(1)Δx＝　　 　　　　(用數字作答).

【解析】f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2，
由導數定義 f(1＋Δx)－f(1)Δx＝f′(1).
當0≤x≤2時，f(x)＝4－2x，f′(x)＝－2，f′(1)＝－2.
題型三　利用導數求切線的斜率
【例3】 已知曲線C：y＝x3－3x2＋2x， 直線l：y＝kx，且l與C切于點P(x0，y0) (x0≠0)，求直線l的方程及切點坐標.
【解析】由l過原點，知k＝y0x0 (x0≠0)，又點P(x0，y0) 在曲線C上，y0＝x30－3x20＋2x0，
所以 y0x0＝x20－3x0＋2.
而y′＝3x2－6x＋2，k＝3x20－6x0＋2.
又 k＝y0x0，
所以3x20－6x0＋2＝x20－3x0＋2，其中x0≠0，
解得x0＝32.
所以y0＝－38，所以k＝y0x0＝－14，
所以直線l的方程為y＝－14x，切點坐標為(32，－38).
【點撥】利用切點在曲線上，又曲線在切點處的切線的斜率為曲線在該點處的導數列方程，即可求得切點的坐標.
【變式訓練3】若函數y＝x3－3x＋4的切線經過點(－2，2)，求此切線方程.
【解析】設切點為P(x0，y0)，則由
y′＝3x2－3得切線的斜率為k＝3x20－3.
所以函數y＝x3－3x＋4在P(x0，y0)處的切線方程為
y－y0＝(3x20－3)(x－x0).
又切線經過點(－2,2)，得
2－y0＝(3x20－3)(－2－x0)，①
而切點在曲線上，得y0＝x30－3x0＋4， ②
由①②解得x0＝1或x0＝－2.
則切線方程為y＝2 或 9x－y＋20＝0.
總結提高
1.函數y＝f(x)在x＝x0處的導數通常有以下兩種求法：
(1) 導數的定義，即求 ΔyΔx＝ f(x0＋Δx)－f(x0)Δx的值；
(2)先求導函數f′(x)，再將x＝x0的值代入，即得f′(x0)的值.
2.求y＝f(x)的導函數的幾種方法：
(1)利用常見函數的導數公式；
(2)利用四則運算的導數公式；
(3)利用復合函數的求導方法.
3.導數的幾何意義：函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)，就是函數y＝f(x)的曲線在點P(x0，y0)處的切線的斜率.

3.2導數的應用(一)

典例精析
題型一　求函數f(x)的單調區間
【例1】已知函數f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)，求函數f(x)的單調區間.
【解析】函數f(x)＝x2－ax－aln(x－1)的定義域是(1，＋∞).
f′(x)＝2x－a－ax－1＝2x(x－a＋22)x－1，
①若a≤0，則a＋22≤1，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤0時，f(x)的增區間為(1，＋∞).
②若a＞0，則a＋22＞1，
故當x∈(1，a＋22]時，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1≤0；
當x∈[a＋22，＋∞)時，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1≥0，
所以a＞0時，f(x)的減區間為(1，a＋22]，f(x)的增區間為[a＋22，＋∞).
【點撥】在定義域x＞1下，為了判定f′(x)符號，必須討論實數a＋22與0及1的大小，分類討論是解本題的關鍵.
【變式訓練1】已知函數f(x)＝x2＋ln x－ax在(0,1)上是增函數，求a的取值范圍.
【解析】因為f′(x)＝2x＋1x－a，f(x)在(0,1)上是增函數，
所以2x＋1x－a≥0在(0,1)上恒成立，
即a≤2x＋1x恒成立.
又2x＋1x≥22(當且僅當x＝22時，取等號).
所以a≤22，
故a的取值范圍為(－∞，22].
【點撥】當f(x)在區間(a，b)上是增函數時⇒f′(x)≥0在(a，b)上恒成立；同樣，當函數f(x)在區間(a，b)上為減函數時⇒f′(x)≤0在(a，b)上恒成立.然后就要根據不等式恒成立的條求參數的取值范圍了.
題型二　求函數的極值
【例2】已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1時取得極值，且f(1)＝－1.
(1)試求常數a，b，c的值；
(2)試判斷x＝±1是函數的極小值點還是極大值點，并說明理由.
【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
因為x＝±1是函數f(x)的極值點，
所以x＝±1是方程f′(x)＝0，即3ax2＋2bx＋c＝0的兩根.
由根與系數的關系，得
又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1. ③
由①②③解得a＝12，b＝0，c＝－32.
(2)由(1)得f(x)＝12x3－32x，
所以當f′(x)＝32x2－32＞0時，有x＜－1或x＞1；
當f′(x)＝32x2－32＜0時，有－1＜x＜1.
所以函數f(x)＝12x3－32x在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函數，在(－1,1)上是減函數.
所以當x＝－1時，函數取得極大值f(－1)＝1；當x＝1時，函數取得極小值f(1)＝－1.
【點撥】求函數的極值應先求導數.對于多項式函數f(x)講， f(x)在點x＝x0處取極值的必要條是f′(x)＝0.但是， 當x0滿足f′(x0)＝0時， f(x)在點x＝x0處卻未必取得極 值，只有在x0的兩側f(x)的導數異號時，x0才是f(x)的極值點.并且如果f′(x)在x0兩側滿足“左正右負”，則x0是f(x)的極大值點，f(x0)是極大值；如果f′(x)在x0兩側滿足“左負右正”，則x0是f(x)的極小值點，f(x0)是極小值.
【變式訓練2】定義在R上的函數y＝f(x)，滿足f(3－x)＝f(x)，(x－32)f′(x)＜0，若x1＜x2，且x1＋x2＞3，則有(　　)
A. f(x1)＜f(x2)B. f(x1)＞f(x2)
C. f(x1)＝f(x2)D.不確定
【解析】由f(3－x)＝f(x)可得f[3－(x＋32)]＝f(x＋32)，即f(32－x)＝f(x＋32)，所以函數f(x)的圖象關于x＝32對稱.又因為(x－32)f′(x)＜0，所以當x＞32時，函數f(x)單調遞減，當x＜32時，函數f(x)單調遞增.當x1＋x22＝32時，f(x1)＝f(x2)，因為x1＋x2＞3，所以x1＋x22＞32，相當于x1，x2的中點向右偏離對稱軸，所以f(x1)＞f(x2).故選B.
題型三　求函數的最值
【例3】 求函數f(x)＝ln(1＋x)－14x2在區間[0,2]上的最大值和最小值.
【解析】f′(x)＝11＋x－12x，令11＋x－12x＝0，化簡為x2＋x－2＝0，解得x1＝－2或x2＝1，其中x1＝－2舍去.
又由f′(x)＝11＋x－12x＞0，且x∈[0,2]，得知函數f(x)的單調遞增區間是(0,1)，同理， 得知函數f(x)的單調遞減區間是(1,2)，所以f(1)＝ln 2－14為函數f(x)的極大值.又因為f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1＞0，f(1)＞f(2)，所以，f(0)＝0為函數f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)＝ln 2－14為函數f(x)在[0,2]上的最大值.
【點撥】求函數f(x)在某閉區間[a，b]上的最值，首先需求函數f(x)在開區間(a，b)內的極值，然后，將f(x)的各個極值與f(x)在閉區間上的端點的函數值f(a)、f(b)比較，才能得出函數f(x)在[a，b]上的最值.
【變式訓練3】(2008江蘇)f(x)＝ax3－3x＋1對x∈[－1,1]總有f(x)≥0成立，則a＝　　　.
【解析】若x＝0，則無論a為 何值，f(x)≥0恒成立.
當x∈(0,1]時，f(x)≥0可以化為a≥3x2－1x3，
設g(x)＝3x2－1x3，則g′(x)＝3(1－2x)x4，
x∈(0，12)時，g′(x)＞0，x∈(12，1]時，g′(x)＜0.
因此g(x)max＝g(12)＝4，所以a≥4.
當x∈[－1,0)時，f(x)≥0可以化為
a≤3x2－1x3，此時g′(x)＝3(1－2x)x4＞0，
g(x)min＝g(－1)＝4，所以a≤4.
綜上可知，a＝4.
總結提高
1.求函數單調區間的步驟是：
(1)確定函數f(x)的定義域D；
(2)求導數f′(x)；
(3)根據f′(x)＞0，且x∈D，求得函數f(x)的單調遞增區間；根據f′(x)＜0，且x∈D，求得函數f(x)的單調遞減區間.
2.求函數極值的步驟是：
(1)求導數f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)判斷f′(x)在方程根左右的值的符號，確定f(x)在這個根處取極大值還是取極小值.
3.求函數最值的步驟是：
先求f(x)在(a，b)內的極值；再將f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.

3.3　導數的應用(二)

典例精析
題型一　利用導數證明不等式
【例1】已知函數f(x)＝12x2＋ln x.
(1)求函數f(x)在區間[1，e]上的值域；
(2)求證：x＞1時，f(x)＜23x3.
【解析】(1)由已知f′(x)＝x＋1x，
當x∈[1，e]時，f′(x)＞0，因此f(x)在 [1，e]上為增函數.
故f(x)max＝f(e)＝e22＋1，f(x)min＝f(1)＝12，
因而f(x)在區間[1，e]上的值域為[12，e22＋1].
(2)證明：令F(x)＝f(x)－23x3＝－23x3＋12x2＋ln x，則F′(x)＝x＋1x－2x2＝(1－x)(1＋x＋2x2)x，
因為x＞1，所以F′(x)＜0，
故F(x)在(1，＋∞)上為減函數.
又F(1)＝－16＜0，
故x＞1時，F(x)＜0恒成立，
即f(x)＜23x3.
【點撥】有關“超越性不等式”的證明，構造函數，應用導數確定所構造函數的單調性是常用的證明方法.
【變式訓練1】已知對任意實數x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0時，f′(x)＞0，g′(x)＞0，則x＜0時(　　)
A.f′(x)＞0，g′(x)＞0B.f′(x)＞0，g′(x)＜0
C.f′(x)＜0，g′(x)＞0D.f′(x)＜0，g′(x)＜0
【解析】選B.
題型二　優化問題
【例2】 (2009湖南)某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩個橋墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經測算，一個橋墩的工程費用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2＋x)x萬元.假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素.記余下工程的費用為y萬元.
(1)試寫出y關于x的函數關系式；
(2)當m＝640米時，需新建多少個橋墩才能使y最��？
【解析】(1)設需新建n個橋墩，則(n＋1)x＝m，
即n＝mx－1.
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x
＝256(mx－1)＋mx(2＋x)x
＝256mx＋mx＋2m－256.
(2)由(1)知f′(x)＝－256mx2＋12mx ＝m2x2(x －512).
令f′(x)＝0，得x ＝512.所以x＝64.
當0＜x＜64時，f′(x)＜0，f(x)在區間(0,64)內為減函數；當64＜x＜640時，f′(x)＞0，f(x)在區間(64,640)內為增函數.
所以f(x)在x＝64處取得最小值.
此時n＝mx－1＝64064－1＝9.
故需新建9個橋墩才能使y最小.
【變式訓練2】(2010上海)如圖所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計耗用9.6米鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圓柱的側面和下底面(不安裝上底面).當圓柱底面半徑r取何值時，S取得最大值？并求出該最大值(結果精確到0.01平方米).
【解析】設圓柱底面半徑為r，高為h，
則由已知可得4(4r＋2h)＝9.6，所以2r＋h＝1.2.
S＝2.4πr－3πr2，h＝1.2－2r＞0，所以r＜0.6.
所以S＝2.4πr－3πr2(0＜r＜0.6).
令f(r)＝2.4πr－3πr2，則f′(r)＝2 .4π－6πr.
令f′(r)＝0得r＝0.4.所以當0＜r＜0.4，f′(r)＞0；
當0.4＜r＜0.6，f′(r)＜0.
所以r＝0.4時S最大，Smax＝1.51.
題型三　導數與函數零點問題
【例3】 設函數f(x)＝13x3－mx2＋(m2－4)x，x∈R.
(1)當m＝3時，求曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程；
(2)已知函數f(x)有三個互不相同的零點0，α，β，且α＜β.若對任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，求實數m的取值范圍.
【解析】(1)當m＝3時，f(x)＝13x3－3x2＋5x，f′(x)＝x2－6x＋5.
因為f(2)＝23，f′(2)＝－3，所以切點坐標為(2，23)，切線的斜率為－3，
則所求的切線方程為y－23＝－3(x－2)，即9x＋3y－20＝0.
(2)f′(x)＝x2－2mx＋(m2－4).
令f′(x)＝0，得x＝m－2或x＝m＋2.
當x∈(－∞，m－2)時，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，m－2)上是增函數；
當x∈(m－2，m＋2)時，f′(x)＜0，f(x)在(m－2，m＋2)上是減函數；
當x∈(m＋2，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)在(m＋2，＋∞)上是增函數.
因為函數f(x)有三個互不 相同的零點0，α，β，且f(x)＝13x[x2－3mx＋3(m2－4)]，
所以
解得m∈(－4，－2)∪(－2,2)∪(2,4).
當m∈(－4，－2)時，m－2＜m＋2＜0，
所以α＜m－2＜β＜m＋2＜0.
此時f(α)＝0，f(1)＞f(0)＝0，與題意不合，故舍去.
當m∈(－2,2)時，m－2＜0＜m＋2，
所以α＜m－2＜0＜m＋2＜β.
因為對任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，
所以α＜1＜β.
所以f(1)為函數f(x)在[α，β]上的最小值.
因為當x＝m＋2時，函數f(x)在[α，β]上取最小值，
所以m＋2＝1，即m＝－1.
當m∈(2,4)時，0＜m－2＜m＋2，
所以0＜m－2＜α＜m＋2＜β.
因為對任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，
所以α＜1＜β.
所以f(1)為函數f(x)在[α，β]上的最小值.
因為當x＝m＋2時，函數f(x)在[α，β]上取最小值，
所以m＋2＝1，即m＝－1(舍去).
綜上可知，m的取值范圍是{－1}.

【變式訓練3】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.
(1)討論函數F(x)＝f(x)－g(x)的單調性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在區間[2，e]上有兩個不等解，求a的取值范圍.
【解析】(1)當a＞0時，F(x)的遞增區間為(1a，＋∞)，遞 減區間為(0，1a)；
當a≤0時，F(x)的遞減區間為(0，＋∞).
(2)[12ln 2，1e).
總結提高
在應用導數處理方程、不等式有關問題時，首先應熟練地將方程、不等式問題直接轉化為函數問題，再利用導數確定函數單調性、極值或最值.

3.4　定積分與微積分基本定理

典例精析
題型一　求常見函數的定積分
【例1】 計算下列定積分的值.
(1) (x－1)5dx；
(2) (x＋sin x)dx.
【解析】(1)因為[16(x－1)6]′＝(x－1)5，
所以 (x－1)5dx＝ ＝16.
(2)因為(x22－cos x)′＝x＋sin x，
所以 (x＋sin x)dx＝ ＝π28＋1.
【點撥】(1)一般情況下，只要能找到被積函數的原函數，就能求出定積分的值；
(2)當被積函數是分段函數時，應對每個區間分段積分，再求和；
(3)對于含有絕對值符號的被積函數，應先去掉絕對值符號后積分；
(4)當被積函數具有奇偶性時，可用以下結論：
①若f(x)是偶函數 時，則 f(x)dx＝2 f(x)dx；
②若f(x)是奇函數時，則 f(x)dx＝0.
【變式訓練1】求 (3x3＋4sin x)dx.
【解析】 (3x3＋4sin x)dx表示直線x＝－5，x＝5，y＝0和曲線 y＝3x3＋4sin x所圍成的曲邊梯形面積的代數和，且在x軸上方 的面積取正號，在x軸下方的面積取負號.
又f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)
＝－(3x3＋4sin x)＝－f(x).
所以f(x)＝3x3＋4sin x在[－5,5]上是奇函數，
所以 (3x3＋4sin x)dx＝－ (3x3＋4sin x)dx，
所以 (3x3＋4sin x)dx＝ (3x3＋4sin x)dx＋ (3x3＋4sin x)dx＝0.
題型二　利用定積分計算曲邊梯形的面積
【例2】求拋物線y2＝2x與直線y＝4－x所圍成的平面圖形的面積.
【解析】方法一：如圖，
由
得交點A(2,2)，B(8，－4)，
則S＝ [2x－(－2x)]dx＋ [4－x－(－2x)]dx
＝ ＋
＝163＋383＝18.
方法二：S＝ [(4－y)－y22]dy
＝ ＝18.
【點撥】根據圖形的特征，選擇不同的積分變量，可使計算簡捷，在以y為積分變量時，應注意將曲線方程變為x＝φ(y)的形式，同時，積分上、下限必須對應y的取值.
【變式訓練2】設k 是一個正整數，(1＋xk)k的展開式中x3的系數為116，則函數y＝x2與y＝kx－3的圖象所圍成的陰影部分(如圖)的面積為　　　　.
【解析】Tr＋1＝Crk(xk)r，令r＝3，得x3的系數為C3k1k3＝116，解得k＝4.由 得函數y＝x2與y＝4x－3的圖象的交點的橫坐標分別為1,3.
所以陰影部分的面積為S＝ (4x－3－x2)dx＝(2x2－3x－ ＝43.
題型三　定積分在物理中的應用
【例3】 (1) 變速直線運動的物體的速度為v (t)＝1－t2，初始位置為x0＝1，求它在前2秒內所走過的路程及2秒末所在的位置；
(2)一物體按規律x＝bt3作直線運動，式中x為時間t內通過的距離，媒質的阻力正比于速度的平方，試求物體由x＝0運動到x＝a時阻力所做的功.
【解析】(1)當0≤t≤1時，v(t)≥0，當1≤t≤2時，v(t)≤0，所以前2秒內所走過的路程為
s＝ v(t)dt＋ (－v(t))dt
＝ (1－t2)dt＋ (t2－1)dt
= ＋ ＝2.
2秒末所在的位置為
x1＝x0＋ v(t)dt＝1＋ (1－t2)dt＝13.
所以它在前2秒內所走過的路程為2,2秒末所在的位置為x1＝13.
(2) 物體的速度為v＝(bt3)′＝3bt2.
媒質阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4，其中k為比例常數，且k＞0.
當x＝0時，t＝0；
當x＝a時，t＝t1＝(ab) ，
又ds＝vdt，故阻力所做的功為
W阻＝ ds ＝ kv2•vdt＝k v3dt
＝ k (3bt 2)3dt＝277kb3t71 ＝ 277k3a7b2.
【點撥】定積分在物理學中的應用應注意：v(t)＝ a(t)dt，s(t)＝ v(t)dt和W＝ F(x)dx這三個公式.
【變式訓練3】定義F(x，y)＝(1＋x)y，x，y∈(0，＋∞).令函數f(x)＝F[1，log2(x2－4x＋9)]的圖象為曲線C1，曲線C1與y軸交于點A(0，m)，過坐標原點O向曲線C1作切線，切點為B(n，t)(n＞0)，設曲線C1在點A，B之間的曲線段與線段OA，OB所圍成圖形的面積為S，求S的值.
【解析】因為F(x，y)＝(1＋x)y，所以f(x)＝F(1，log2(x2－4x＋9))＝ ＝x2－4x＋9，故A(0,9)，又過坐標原點O向曲線C1作切線，切點為B(n，t)(n＞0)，f′(x)＝2x－4.
所以 解得B(3,6)，
所以S＝ (x2－4x＋9－2x)dx＝(x33－3x2＋9x) =9.

總結提高
1.定積分的計算關鍵是通過逆向思維求得被積函數的原函數.?
2.定積分在物理學中的應用必須遵循相應的物理過程和物理原理.?
3.利用定積分求平面圖形面積的步驟：?
（1）畫出草圖，在直角坐標系中畫出曲線或直線的大致圖象；?
（2）借助圖形確定出被積函數，求出交點坐標，確定積分的上、下限；?
（3）把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和；?
（4）計算定積分，寫出答案.

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