二項式定理（1）
一．復習目標：
1．掌握二項式定理和二項展開式的性質，并能用它們討論整除、近似計算等相關問題．
2．能利用二項展開式的通項公式求二項式的指數、求滿足條的項或系數．
二．知識要點：
1．二項式定理： ．
2．二項展開式的性質：
（1）在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數 ．
（2）若 是偶數，則 的二項式系數最大；若 是奇數，則 的二項式系數最大．
（3）所有二項式系數的和等于 ．
（4）奇數項的二項式系數的和與偶數項的二項式系數的和 ．
三．前預習：
1．設二項式 的展開式的各項系數的和為 ，所有二項式系數的和為 ，若 ，則 （ ）
4 5 6 8
2．當 且 時， （其中 ,且 ），則 的值為 （ ）
0 1 2 與 有關
3．在 的展開式中常數項是 ；中間項是 ．
4．在 的展開式中，有理項的項數為第3，6，9項．
5．求 展開式里 的系數為-168．
6．在 的展開式中， 的系數是 的系數與 的系數的等差中項，若實數 ，那么 ．
四．例題分析：
例1．求 展開式中系數絕對值最大的項．
解： 展開式的通項為 ，
設第 項系數絕對值最大，即 ，
所以 ，∴ 且 ，∴ 或 ，
故系數絕對值最大項為 或 ．
例2．已知 展開式中最后三項的系數的和是方程 的正數解，它的中間項是 ，求 的值．
解：由 得 ，∴ （舍去）或 ，
由題意知， ，∴
已知條知，其展開式的中間項為第4項，即 ，
∴ ，∴ 或 ，∴ 或 ．
經檢驗知，它們都符合題意。
例3．證明 能被 整除( )．
證明： ∵ 是整數，∴ 能被64整除．

五．后作業： 班級 學號 姓名
1．若 ，則 的值為 （ ）
1 -1 0 2
2．由 展開所得的 的多項式中，系數為有理數的共有 （ ）
50項 17項 16項 15項

3． 的展開式中， 的系數為179．(用數字作答)
4． 的展開式中， 的系數為 ，常數 的值為4．
5．求 除以 的余數．
解：∵ 由上面展開式可知199911除以8的余數是7．

6．（1）求 展開式中系數最大項．（2）求 展開式中系數最大項．
解：(1)設第 項系數最大，則有
，即 ，即 ，
∴ 且 ，∴ ．
所以系數最大項為
(2)展開式共有8項，系數最大項必為正項，即在第一、三、五、七這四項中取得，故系數最大項必在中間或偏右，故只需比較 和 兩項系數大小即可．又因為
， ，所以系數最大的項是第五項為 ．

7．設 ，若展開式中關于 的一次項系數和為11，試問 為何值時，含 項的系數取得最小值．
解：由題意知 ，即 ，
又展開式中含 項的系數 ，
∴當 或 時，含 項的系數最小，最小值為 ．
此時 ；或 ．
8．設 展開式中第2項的系數與第4項的系數的比為4：45，試求 項的系數．
解：第 項 ，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ 或 （舍負）．
令 ，即 ，∴ ．
∴ 項的系數 ．
9．求 的近似值，使誤差小于 ．
解：

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