專題四 三角函數
【重點知識回顧】
三角函數是傳統知識內容中變化最大的一部分，新教材處理這一部分內容時有明顯的降調傾向，突出正、余弦函數的主體地位，加強了對三角函數的圖象與性質的考查，因此三角函數的性質是本章復習的重點。第一輪復習的重點應放在課本知識的重現上，要注重抓基本知識點的落實、基本方法的再認識和基本技能的掌握，力求系統化、條理化和網絡化，使之形成比較完整的知識體系；第二、三輪復習以基本綜合檢測題為載體，綜合試題在形式上要貼近高考試題，但不能上難度。當然，這一部分知識最可能出現的是“結合實際，利用少許的三角變換（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的應用）來考查三角函數性質”的命題，因此，建議三角函數的復習應控制在課本知識的范圍和難度上，這樣就能夠適應未來高考命題趨勢�？傊�，三角函數的復習應立足基礎、加強訓練、綜合應用、提高能力
方法技巧：
1.八大基本關系依據它們的結構分為倒數關系、商數關系、平方關系，用三角函數的定義反復證明強化記憶，這是最有效的記憶方法。誘導公式用角度制和弧度制表示都成立，記憶方法可概括為“奇變偶不變，符號看象限”，變與不變是相對于對偶關系的函數而言的
2.三角函數值的符號在求角的三角函數值和三角恒等變換中，顯得十分重要，根據三角函數的，可簡記為“一全正，二正弦，三兩切，四余弦”，其含義是：在第一象限各三角函數值皆為正；在第二象限正弦值為正；在第三象限正余切值為正；在第四象限余弦值為正
3.在利用同角三角函數的基本關系式化簡、求值和證明恒等關系時，要注意用是否“同角”來區分和選用公式，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等數學思想方法的運用，在利用誘導公式進行三角式的化簡、求值時，要注意正負號的選取
4.求三角函數值域的常用方法：
求三角函數值域除了判別式、重要不等式、單調性等方法之外，結合三角函數的特點，還有如下方法：
（1）將所給三角函數轉化為二次函數，通過配方法求值域；
（2）利用 的有界性求值域；
（3）換元法，利用換元法求三角函數的值域，要注意前后的等價性，不能只注意換元，不注意等價性
5. 三角函數的圖象與性質
（一）列表綜合三個三角函數 ， ， 的圖象與性質，并挖掘：
⑴最值的情況；
⑵了解周期函數和最小正周期的意義．會求 的周期，或者經過簡單的恒等變形可化為上述函數的三角函數的周期，了解加了絕對值后的周期情況；
⑶會從圖象歸納對稱軸和對稱中心；
的對稱軸是 ，對稱中心是 ；
的對稱軸是 ，對稱中心是
的對稱中心是
注意加了絕對值后的情況變化.
⑷寫單調區間注意 .
（二）了解正弦、余弦、正切函數的圖象的畫法，會用“五點法”畫正弦、余弦函數和函數 的簡圖，并能由圖象寫出解析式．
⑴“五點法”作圖的列表方式；
⑵求解析式 時處相 的確定方法：代（最高、低）點法、公式 .
（三）正弦型函數 的圖象變換方法如下：
先平移后伸縮
的圖象
得 的圖象
得 的圖象
得 的圖象
得 的圖象．
先伸縮后平移
的圖象
得 的圖象
得 的圖象
得 的圖象 得 的圖象．
【典型例題】
例1.已知 ，求（1） ；（2） 的值.
解：（1） ；
(2)
.
說明：利用齊次式的結構特點（如果不具備，通過構造的辦法得到），進行弦、切互化，就會使解題過程簡化
例2.已知向量
，且 ，
(1)求函數 的表達式；
(2)若 ，求 的最大值與最小值
解：(1) ， ， ，又 ，
所以 ，
所以 ，即 ；
(2)由(1)可得，令 導數 ，解得 ，列表如下：
t－1(－1，1)1(1，3)
導數0－0+
極大值遞減極小值遞增
而 所以
說明：本題將三角函數與平面向量、導數等綜合考察，體現了知識之間的融會貫通。
例3. 平面直角坐標系有點
（1）求向量 和 的夾角 的余弦用 表示的函數 ；
（2）求 的最值.
解：（1） ，
即
（2） ， 又 ，
， ， .
說明：三角函數與向量之間的聯系很緊密，解題時要時刻注意
例4. 設 q Î[0, ], 且 cos2q+2msinq-2m-2<0 恒成立, 求 m 的取值范圍.
解法 1 由已知 0≤sinq≤1 且 1-sin2q+2msinq-2m-2<0 恒成立.
令 t=sinq, 則 0≤t≤1 且 1-t2+2mt-2m-2<0 恒成立.
即 f(t)=t2-2mt+2m+1=(t-m)2-m2+2m+1>0 對 tÎ[0, 1] 恒成立.
故可討論如下:
(1)若 m<0, 則 f(0)>0. 即 2m+1>0. 解得 m> , ∴
綜上所述 m> . 即 m 的取值范圍是 ( , +∞).
解法 2 題中不等式即為 2(1-sinq)m>-1-sin2q.∵qÎ[0, ], ∴0≤sinq≤1.
當 sinq=1 時, 不等式顯然恒成立, 此時 mÎR;
當 0≤sinq<1 時, 恒成立.
令 t=1-sinq, 則 tÎ(0, 1], 且 恒成立.
易證 g(t)=1- 在 (0, 1] 上單調遞增, 有最大值 - ,
∴m> . 即 m 的取值范圍是 ( , +∞).
說明：三角函數與不等式綜合，注意“恒成立”問題的解決方式
【模擬演練】
一、選擇
1．點 位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．函數 在區間( ， )內的圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．已知∠A．∠B．∠C為三角形的三個內角，且 ，則△ABC是（ ）
A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．無法確定
7．關于函數 的圖象，有以下四個說法：
①關于點 對稱；②關于點 對稱；
③關于直線 對稱；④關于直線 對稱
則正確的是（ �。�
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
9.如圖，某走私船在航行中被我軍發現，我海軍艦艇在 處獲悉后，測出該走私船在方位角為 ，距離為 的 處，并測得走私船正沿方位角為 的方向，以 的速度向小島靠攏，我海軍艦艇立即以 的速度沿直線方向前去追擊.艦艇并在B處靠近走私船所需的時間為 （ ）
A．20 B． C．30 D．50
11．在 中， 分別為三個內角 的對邊，設向量 ，若向量 ，則 的值為（ ）
A． B． C． D．
二、填空
13．已知向量 且 ，則與 方向相反的單位向量的坐標為_________。
原專題三的平面向量與三角函數的第15題
16．已知函數 （ ， ， ）的一段圖象如圖所示，則這個函數的單調遞增區間為 。
18．（12分）已知 ，
（1）求 的最大值和最小值；
（2）若不等式 在 上恒成立，求m的取值范圍。
19．（12分）已知向量 ，且 分別為 的三邊 所對的角。
（1）求角C的大��；
（2）若 成等差數列，且 ，求c的邊長。
21．（12）已知：向量 ， ，函數
（1）若 且 ，求 的值；
（2）求函數 的單調增區間以及函數取得最大值時，向量 與 的夾角．
專題訓練答案
1．D 解析： ，易知 角終邊在第三象限，從而有 為正， 為負，所以點 位于第四象限。
2．A．解：y＝ ，所以，選A．。
6．B．解：因為 ，所以
即： ，有
即 ＝ ，即
則 ，又因為 為三角形的內角，則 ，所以為等腰三角形。
7．B．解：當 時， ＝1，當x＝ 時， ＝0，所以，②③正確。
9．B 解：設艦艇收到信號后 在 處靠攏走私船，則 ， ，又 nmile， .
由余弦定理，得
，
即
.
化簡，得
，
解得 （負值舍去）.
答案：B
11．B 解析：由 ，得 ，又 ，所以 ，所以 。
13. 解：因為 ，所以 ，解得： ，所以 ，所以 ，所以與 方向相反的單位向量的坐標為 。
16． 解：由圖象可知： ；A＝ ＝3。所以，y＝3sin（2x＋ ），
將 代入上式，得： ＝1， ＝2k ＋ ，即 ＝2k ＋ ，
由｜ ｜＜ ，可得： 所以，所求函數解析式為： 。
∵當 時， 單調遞增
∴
18．解：（1）
。 4分
所以當 =1時 。
所以當 =-1時 。 6分
（2） 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
只需 ， 。 8分
令 ， ，
。
所以當 時， 有最小值 ， ，
故 。 12分
19．解：（1） ，
，
。 2分
又 ， ，
。 4分
， 。 6分
（2） 成等差數列， 。
。 8分
又 ， 。
， 。 10分
， ，
， 。 12分
21.解：∵ ＝ 。 2分
（1）由 得 即 ，
∵ ∴ 或
∴ 或 。 4分
（2）∵
＝
。 8分
由 得 ，
∴ 的單調增區間 . 10分
由上可得 ，當 時，由 得
， ， ∴ 。 12分
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